立體幾何垂直證明題常見模型及方法精編版

1、最新資料推薦立體幾何垂直證明題常見模型及方法證明空間線面垂直需注意以下幾點： 由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。 立體幾何論證題的解答中， 利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線 （或面） 是解題的常用方 法之一。 明確何時應用判定定理， 何時應用性質(zhì)定理， 用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié) 論。垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直 線面垂直 面面垂直 ；基礎篇類型一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）（ 1） 共面垂直：實際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直 （只需要同學們掌握以下幾種模型）1 等腰（等邊）三角形中的中線2 菱形（正方形）的對角線互相垂直3 勾股定理中的三角形4 1:1:

2、2 的直角梯形中 5 利用相似或全等證明直角。例：在正方體 ABCD A1B1C1D1 中，O 為底面 ABCD 的中心， E為CC1,求證： A1O OE（ 2） 異面垂直 （利用線面垂直來證明，高考中的意圖） 例 1 在正四面體 ABCD中，求證 AC BD變 式 1 如 圖 ， 在 四 棱 錐 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD是 矩 形 ， 已 知 AB 3,AD 2,PA 2,PD 2 2, PAB 60 證明： AD PB ；最新資料推薦變式 2 如圖，在邊長為 2的正方形 ABCD中，點 E是 AB的中點，點 F是BC的中點，將 AED, DCF 分別沿 DE,DF 折起，使

3、 A,C 兩點重合于 A. 求證:AD EF ；變式 3 如圖，在三棱錐 P ABC 中， PAB 是等邊三角形，PAC=PBC=90 o證明： AB PC類型二：線面垂直證明方法 1 利用線面垂直的判斷定理例 2：在正方體 ABCD A1B1C1D1中，O為底面 ABCD 的中心， E 為CC1,求證：A1O 平面 BDE變式 1： 在正方體 ABCD A1B1C1D1 中， ,求證： A1C 平面 BDC1變式 2：如圖：直三棱柱 ABCA1B1C1 中， 的中點， D 點在 AB 上且 DE= 3 . 求證： CD 平面 A1ABB 1；AC=BC=AA1=2， ACB=90 .E 為

4、BB1最新資料推薦變 式 3 ： 如 圖 ， 在 四 面 體 ABCD 中 ， O 、 E 分 別 是 BD 、 BC 的 中 點 ，CA CB CD BD 2 , AB AD 2.求證： AO 平面 BCD ；C變式 4 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐 P ABCD 中，ADBC， ABC 90， PA 平面 ABCD PA 3， AD 2， AB 2 3，1 求證：BD 平面 PAC2 利用面面垂直的性質(zhì)定理例 3：在三棱錐 P-ABC 中， PA 底面 ABCBC 6方法點撥：此種情形，條件中含有面面垂直。變式 1, 在四棱錐 P ABCD ，底面 ABCD是正方形，側(cè)面 PAB是等腰三

5、角形，且 面 PAB 底面 ABCD ,求證： BC 面 PAB變式 2：平面 ACD， ACD 為等邊三角形，BF變式 1 已知直四棱柱 ABCDABC D的底面是菱形，ABC 60 ，E、F 分別是棱 CC與 BB上的點，且 EC=BC =2FB=2 （ 1）求證：平面 AEF平面 AACC；最新資料推薦類型 3：面面垂直的證明。 （本質(zhì)上是證明線面垂直 ）例 1 如圖，已知 AB 平面 ACD ， DE AD DE 2AB，F(xiàn) 為CD的中點.（1） 求證： AF / 平面 BCE ；（2） 求證：平面 BCE 平面 CDE ；例 2 如 圖 ， 在 四 棱 錐 P A B C中 ， PA

6、 底 面 A B C ，DAB AD，AC CD， ABC 60， PA AB BC， E是PC的中點1）證明 CD AE； （2）證明 PD 平面 ABE ；最新資料推薦舉一反三1.設 M 表示平面，a、b 表示直線，給出下列四個命題：a/baMbM a M a/ b bMaMb Maba/ Mb M.ab其中正確的命題是 ( )A. B.C.D.2. 下列命題中正確的是( )A. 若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個平面B. 若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平面C. 若一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必定垂直于這條直線D. 若

7、一條直線垂直于一個平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面3. 如圖所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分別是 AB、BC 的中點.現(xiàn)在沿 DE、DF 及 EF 把 ADE、 CDF 和 BEF折起，使 A、B、C 三點重合，重合后的點記為 P.那么，在四面體 P DEF 中，必有( )A.DP平面 PEF B.D 4.設 a、 b 是異面直線，下 A.過不在 a、 b 上的一點 B.過不在 a、 b 上的一點C.過 a 一定可以作一個平面與 b 垂直 D.過 a 一定可以作一個平面與 b 平行 5.如果直線 l,m 與平面 ,滿足:l=列正F C.PM 是 作一條直線和 個平面和

8、DEF D.交 b 都垂直PF平面 DEF第 3 題圖,l,m 和 m ,那么必有( )A. 且 lm B.且 m C.m 且 lm D.且6. AB 是圓的直徑， C 是圓周上一點， PC 垂直于圓所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，則 P到 AB的距離為 ( )2 5 3 5A.1 B.2 C. D.557. 有三個命題： 垂直于同一個平面的兩條直線平行； 過平面 的一條斜線 l 有且僅有一個平面與 垂直； 異面直線 a、 b 不垂直，那么過 a 的任一個平面與 b 都不垂直 其中正確命題的個數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.38. d 是異面直線 a、b 的公垂線，平面 、

9、 滿足 a，b，則下面正確的結(jié)論是 ( )A. 與必相交且交線 md 或 m 與 d 重合B. 與必相交且交線 md 但 m與 d 不重合C. 與必相交且交線 m與 d 一定不平行D. 與不一定相交9. 設 l、m 為直線， 為平面，且 l ，給出下列命題 若 m，則 m l；若 ml，則 m ；若 m ，則 ml；若 ml，則 m ，其中真命題的序號是( )最新資料推薦A.B.C. D. 10. 已知直線 l平面 ，直線 m 平面 ，給出下列四個命題：若，則 lm；若 ，則 lm；若 lm，則；若 lm，則 .其中正確的命題是 ()A.與 B.與 C.與D. 與、思維激活 的同側(cè)，它們在 A

10、A 3cm，BB11. 如圖所示， ABC 是直角三角形， AB 是斜邊，三個頂點在平面 內(nèi)的射影分別為 A， B， C，如果 ABC是正三角形，且5cm， CC 4cm，則 ABC的面積是第 11 題圖第 12 題圖12.如圖所示 ,在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD 中,當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD 滿足條件時,第 14 題圖有 A1CB1D1(注 :填上你認為正確的一種條件即可 ,不必考慮所有可能的情形 )13. 如圖所示，在三棱錐 VABC 中，當三條側(cè)棱 VA、VB、VC 之間滿足條件時，有 VC AB.(注：填上你認為正確的一種條件即可) 三、能力提高14. 如圖所示 ,三棱錐 V-AB

11、C中,AH側(cè)面 VBC,且 H是 VBC 的垂心， BE 是 VC邊上的 高.(1) 求證 :VCAB;(2) 若二面角 EABC的大小為 30,求 VC 與平面 ABC 所成角的大小 .15. 如圖所示， PA矩形 ABCD 所在平面， M、N 分別是 AB、 PC 的中點 .(1) 求證： MN平面 PAD.(2) 求證： MNCD.(3) 若 PDA 45，求證： MN平面 PCD.第 15 題圖6最新資料推薦16. 如圖所示，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形， BAD 60， AB 4，AD2，側(cè)棱 PB 15，PD 3 .(1) 求證： BD 平面 PAD.(

12、2) 若 PD 與底面 ABCD 成 60的角，試求二面角 PBC A的大小 .第 16 題圖第 18 題圖17. 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1= 6，M是 CC1 的中點，求證： AB1 A1M18. 如圖所示，正方體 ABCDABCD的棱長為 a，M 是 AD 的中點， N 是BD 上一點，且 DNNB1 2，MC 與 BD 交于 P.(1) 求證： NP平面 ABCD.(2) 求平面 PNC 與平面 CCD D 所成的角 .(3) 求點 C 到平面 D MB 的距離 .最新資料推薦第 4 課 線面垂直習題解答1. A 兩平行中有一條與

13、平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平 行.2. C 由線面垂直的性質(zhì)定理可知 .3. A 折后 DP PE,DP PF， PEPF.4. D 過 a上任一點作直線 b b,則 a， b確定的平面與直線 b 平行.5. A ,m且 m ,則必有 ,又因為 l=則有 l ,而 m則 l m, 故選 A.6. D P 作 PDAB 于 D，連 CD，則 CDAB，AB= AC2 BC2 5 ，CDAC BCABPD= PC2 CD2 1 4 3 5 .557. D 由定理及性質(zhì)知三個命題均正確 .8. A 顯然 與不平行 .9. D 垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條

14、與平面垂直，則另一條也與該平面 垂直 .10. B ，l， lm11. 3 cm2 設正三角 AB C的邊長為 a.22 2 2 2 2 AC =a +1,BC =a +1,AB =a +4， 又 AC2+BC2=AB2， a2=23 2 3 2 SABC=a2cm 4212. 在直四棱柱 A1 B1C1D 1 ABCD 中當?shù)酌嫠倪呅?ABCD 滿足條件 ACBD（或任何能推導出 這個條件的其它條件，例如 ABCD 是正方形，菱形等 ）時 ,有 A1C B1D1（注:填上你認為正確 的一種條件即可 ,不必考慮所有可能的情形 ）.點評： 本題為探索性題目， 由此題開辟了填空題有探索性題的新題型

15、，此題實質(zhì)考查了 三垂線定理但答案不惟一 ,要求思維應靈活 .13. VCVA，VCAB. 由 VCVA，VC AB 知 VC平面 VAB.14. (1)證明: H為 VBC的垂心 , VCBE,又 AH 平面 VBC, BE 為斜線 AB 在平面 VBC 上的射影 ,ABVC. (2)解:由(1)知 VC AB,VC BE, VC 平面 ABE,在平面 ABE上,作 ED AB ,又 ABVC, AB面 DEC. ABCD , EDC 為二面角 EABC 的平面角， EDC =30 ,AB 平面 VCD,最新資料推薦VC 在底面 ABC 上的射影為 CD. VCD 為 VC 與底面 ABC

16、所成角 ,又 VCAB,VC BE, VC面 ABE,VC DE, CED=90 ,故 ECD=60 ,VC與面 ABC 所成角為 60.15.證明：(1)如圖所示，取 PD 的中點 E，連結(jié) AE，EN，11則有 ENCDABAM， EN CD AB AM ，故 AMNE 為平行四邊形 22MNAE.AE 平面 PAD，MN 平面 PAD， MN 平面 PAD.(2) PA平面 ABCD，PAAB.又 ADAB， AB平面 PAD.ABAE，即 AB MN.又 CDAB， MNCD.(3) PA平面 ABCD ， PAAD .又 PDA45， E為 PD 的中點.AEPD，即 MNPD.又

17、MNCD ，MN 平面 PCD.16.如圖 (1)證：由已知 AB 4，AD， BAD 60，2 2 2 1 故 BD2AD2+AB2-2ADABcos60 4+16-224 12.2 又 AB2AD2+BD2， ABD 是直角三角形， ADB 90，即 AD BD .在 PDB 中，PD 3，PB 15 ，BD 12， PB2PD2+BD2，故得 PD BD .又 PDADD， BD 平面 PAD.(2)由 BD平面 PAD， BD 平面 ABCD. 平面 PAD平面 ABCD .作 PEAD 于 E， 又 PE 平面 PAD ， PE平面 ABCD ， PDE 是 PD 與底面 ABCD

18、所成的角 .33 PDE 60， PEPDsin60 3 .又 EFBD 12 ，在RtPEF 中，tanPFE PE2EF 2 3故二面角 PBCA 的大小為arctan 34第 15 題圖解第 16 題圖解22 作 EF BC 于 F，連 PF，則 PF BF， PFE 是二面角 PBCA 的平面角 .最新資料推薦17.連結(jié) AC1，ACMC1362CC1CA11 Rt ACC 1Rt MC1A1， AC1C= MA1C1， A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1M AC1,又 ABC-A1B1C1為直三棱柱， CC1B1C1，又 B1C1A1C1， B1C1平面 AC1

19、M.由三垂線定理知 AB1 A1M.點評： 要證 AB1A1M，因 B1C1平面 AC1，由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證AC1A1M，而AC1A1M 一定會成立18.(1) 證明：在正方形 ABCD 中， MPD CPB，且 MD 1BC，2 DPPB MD BC12. 又已知 DNNB 12， 由平行截割定理的逆定理得 NPDD ，又 DD 平面 ABCD， NP 平面 ABCD.(2) NPDD CC， NP、CC在同一平面內(nèi)， CC為平面 NPC 與平面 CCDD 所成二面角的棱 . 又由 CC平面 ABCD ，得 CC CD，CCCM， MCD 為該二面角的平面角 .在 Rt MCD 中可知

20、MCD arctan 1 ，即為所求二面角的大小 .2a2 6(3) 由已知棱長為 a可得，等腰 MBC 面積 S1 ，等腰 MBD 面積 S2a2，設所24求距離為 h，即為三棱錐 CDMB 的高 .三棱錐 D BCM 體積為 1 S1 DD 1S2h ，3 1 3 2S1 a6 h a.S2310最新資料推薦空間中的計算基礎技能篇 類型一：點到面的距離方法 1：直接法 把點在面上的射影查出來，然后在直角三角形中計算 例 1 ：在正四面體 ABCD 中，邊長為 a，求點 A 到面 BCD 的距離。變式 1 在正四棱錐 V-ABCD 中，底面 ABCD 邊長為 a,側(cè)棱長為 b.求頂點 V 到

21、 底面 ABCD 的距離。變式 2在正四棱錐 V-ABCD 中，底面 ABCD 邊長為 a,側(cè)棱長為 b.求頂點 A 到底 面 VCD 的距離。方法 2：等體積法求距離 - 在同一個三棱錐中利用體積不變原理，通過轉(zhuǎn)換不同 的底和高來達到目的。例2 已知在三棱錐 VABC 中， VA,VB,VC 兩兩垂直， VA=VB=3 ，VC=4，求 點V 到面 ABC 的距離。變式 1：如圖所示的多面體是由底面為 ABCD 的長方體被截面 AEC1F 所截而得到的，其 中 AB 4,BC 2,CC1 3,BE 1（1）求 BF 的長；（2）求點 C到平面 AEC1F 的距離_C變式 2 如圖，在四棱錐 O

22、 ABCD中，底面 ABCD 是四邊長為 1 的菱形， ABC , OA 面 ABCD, OA 2,求點 B 到平面 OCD 的距離11_B最新資料推薦變式 3 在正四面體 ABCD 中，邊長為 a，求它的內(nèi)切求的半徑。 類型二：其它種類的距離的計算（點到線，點到點 ）例 3 如圖，在四棱錐 O ABCD中，底面 ABCD 是四邊長為 1的菱形， ABC , OA 4面 ABCD , OA 2,M 為 OC 的中點，求 AM 和點 A 到直線 OC 的距離_O主視圖223左視圖舉一反三1正三棱錐 P-ABC高為 2，側(cè)棱與底面所成角為 45 ，則點 A 到側(cè)面 PBC 的距離是A 4 5B 6 5 C 6 D 4 62如圖，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的底面邊長為 1，高為 8，一質(zhì)點自 A 點 出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達 A1 點的最短路線的長為A 10 B20 C 30 D 40 二、填空題：3太陽光照射高為 3 m的竹竿時，它在水平地面上的射影 為 1m，同時，照射地面上一圓球時，如圖所示，其影子 的長度 AB等于 3 3cm, 則該球的體積為 4若一個正三棱柱的三視圖如下圖所示