材料力學第07章_受壓桿件的穩(wěn)定性設計

1、5 5、4 4 受壓桿件的受壓桿件的 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 第一節(jié)第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 第二節(jié)第二節(jié) 細長壓桿的臨界壓力細長壓桿的臨界壓力 第三節(jié)第三節(jié) 臨界應力總圖臨界應力總圖 第四節(jié)第四節(jié) 壓桿的穩(wěn)定性設計壓桿的穩(wěn)定性設計 第五節(jié)第五節(jié) 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施 總結與討論總結與討論 一、一、 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 1 1、第三單元桿件軸向拉伸和壓縮的強度計算中，對于、第三單元桿件軸向拉伸和壓縮的強度計算中，對于 受壓桿件，當最大壓應力達到極限應力（屈服極限或強度極受壓桿件，當最大壓應力達到極限應力（屈服極限或強度極 限）時，會發(fā)生強度失效（出現(xiàn)塑性變形或破

2、裂）。只要其限）時，會發(fā)生強度失效（出現(xiàn)塑性變形或破裂）。只要其 最大壓應力小于或等于許用應力，即滿足強度條件時，桿件最大壓應力小于或等于許用應力，即滿足強度條件時，桿件 就能安全正常工作。然而，在實際工程中的一些細長桿件受就能安全正常工作。然而，在實際工程中的一些細長桿件受 壓時，桿件可能發(fā)生突然彎曲，進而產(chǎn)生很大的彎曲變形而壓時，桿件可能發(fā)生突然彎曲，進而產(chǎn)生很大的彎曲變形而 導致最后折斷，而桿件的壓應力卻遠低于屈服極限或強度極導致最后折斷，而桿件的壓應力卻遠低于屈服極限或強度極 限。顯然，此時桿件的失效不是由于強度不夠而引起的，而限。顯然，此時桿件的失效不是由于強度不夠而引起的，而 是與

3、桿件在一定壓力作用下突然彎曲，不能保持其原有的平是與桿件在一定壓力作用下突然彎曲，不能保持其原有的平 衡形態(tài)有關。我們把構件在外力作用下保持其原有平衡形態(tài)衡形態(tài)有關。我們把構件在外力作用下保持其原有平衡形態(tài) 的能力稱為構件的的能力稱為構件的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。受壓直桿在壓力作用下保持其直受壓直桿在壓力作用下保持其直 線平衡形態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性?？梢?，細長壓桿的失線平衡形態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性。可見，細長壓桿的失 效是由于桿件喪失穩(wěn)定性而引起的，屬于效是由于桿件喪失穩(wěn)定性而引起的，屬于穩(wěn)定性失效。穩(wěn)定性失效。 工程實際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機起重臂的工程實際中，有許多受壓桿件。如汽車

4、起重機起重臂的 支承桿（圖支承桿（圖7.17.1），在起吊重物時，該支承桿就受到壓力作），在起吊重物時，該支承桿就受到壓力作 用。再如，建筑工地上所使用的腳手架（圖用。再如，建筑工地上所使用的腳手架（圖7.27.2），可以簡），可以簡 化為桁架結構，其中大部分豎桿要承受壓力作用。同樣，機化為桁架結構，其中大部分豎桿要承受壓力作用。同樣，機 床絲杠、起重螺旋（千斤頂）、各種受壓桿件在壓力作用下床絲杠、起重螺旋（千斤頂）、各種受壓桿件在壓力作用下 都有可能存在喪失穩(wěn)定而失效的問題。都有可能存在喪失穩(wěn)定而失效的問題。 圖圖7.1 7.1 起重機起重機 圖圖7.2 7.2 腳手架腳手架 2 2、軸向壓

5、桿的三種平衡狀態(tài)、軸向壓桿的三種平衡狀態(tài) 深入研究構件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其平衡狀態(tài)可能是深入研究構件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其平衡狀態(tài)可能是 穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。當載荷小于一定的數(shù)值時，處穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。當載荷小于一定的數(shù)值時，處 于平衡的構件，受到一微小的干擾力后，構件會偏離原平衡于平衡的構件，受到一微小的干擾力后，構件會偏離原平衡 位置，而干擾力解除以后，又能恢復到原平衡狀態(tài)，這種平位置，而干擾力解除以后，又能恢復到原平衡狀態(tài)，這種平 衡稱為衡稱為穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡。當載荷大于一定的數(shù)值時，處于平衡狀態(tài)。當載荷大于一定的數(shù)值時，處于平衡狀態(tài) 的構件受到干擾后，偏離原平衡位置，干

6、擾力去除后，不能的構件受到干擾后，偏離原平衡位置，干擾力去除后，不能 回到原平衡狀態(tài)時，這種平衡稱為回到原平衡狀態(tài)時，這種平衡稱為不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡。而介于穩(wěn)定。而介于穩(wěn)定 平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)稱為平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)稱為隨遇平衡隨遇平衡。如圖。如圖7-37-3 所示。所示。 穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 隨遇平衡隨遇平衡 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡 圖圖7-3 7-3 平衡形態(tài)平衡形態(tài) 當壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，在任意微小的外界擾動下，當壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，在任意微小的外界擾動下， 都會轉變?yōu)槠渌问降钠胶鉅顟B(tài)，這種過程稱為都會轉變?yōu)槠渌问降钠胶鉅顟B(tài)，這種過程稱為屈曲屈曲 (b

7、uckling)(buckling)或或失穩(wěn)失穩(wěn)(lost stability)(lost stability)。很多情形下，屈曲將導。很多情形下，屈曲將導 致構件失效，這種失效稱為致構件失效，這種失效稱為屈曲失效屈曲失效(failure by buckling)(failure by buckling)。 由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會產(chǎn)生災難性后果，因此由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會產(chǎn)生災難性后果，因此 工程設計中需要認真加以考慮。工程設計中需要認真加以考慮。 如如2020世紀初，享有盛譽的美國橋梁學家?guī)彀兀ㄊ兰o初，享有盛譽的美國橋梁學家?guī)彀兀═heodore CooperTheo

8、dore Cooper）在加拿大）在加拿大 離魁北克城離魁北克城14.414.4公里，圣勞倫斯河上建造長公里，圣勞倫斯河上建造長548548米的魁北克大橋米的魁北克大橋(Quebec Bridge)(Quebec Bridge)， 不幸的是，不幸的是，19071907年年8 8月月2929日，該橋發(fā)生穩(wěn)定性破壞（圖日，該橋發(fā)生穩(wěn)定性破壞（圖7-47-4），災變發(fā)生在當日收），災變發(fā)生在當日收 工前工前1515分鐘，分鐘，8585位工人死亡，原因是在施工中懸臂桁架西側的下弦桿有二節(jié)失穩(wěn)位工人死亡，原因是在施工中懸臂桁架西側的下弦桿有二節(jié)失穩(wěn) 所致，成為上世紀十大工程慘劇之一。所致，成為上世紀十大

9、工程慘劇之一。 圖圖7-4 7-4 魁北克大橋魁北克大橋 3 3、 臨界壓力的概念臨界壓力的概念 FF 干擾力 FFcr （a） （b） （c） （d） （e） 圖圖7-5 7-5 不同載荷作用下壓桿的平衡形態(tài)不同載荷作用下壓桿的平衡形態(tài) 現(xiàn)以圖現(xiàn)以圖7.57.5（a a） 所示一端固定一端自所示一端固定一端自 由細長壓桿來說明壓由細長壓桿來說明壓 桿的穩(wěn)定性。若壓桿桿的穩(wěn)定性。若壓桿 為中心受壓的理想直為中心受壓的理想直 桿，即假設：桿是絕桿，即假設：桿是絕 對直桿，無初曲率；對直桿，無初曲率； 壓力與桿的軸線重合，壓力與桿的軸線重合， 無偏心；材料絕對均無偏心；材料絕對均 勻。則在壓力的作

10、用勻。則在壓力的作用 下，無論壓力有多大，下，無論壓力有多大， 也沒有理由往旁邊彎也沒有理由往旁邊彎 曲。曲。 當壓力很小時，壓桿能夠保持當壓力很小時，壓桿能夠保持 平衡狀態(tài)，此時加一微小側向干擾平衡狀態(tài)，此時加一微小側向干擾 力，桿發(fā)生輕微彎曲，在新的位置力，桿發(fā)生輕微彎曲，在新的位置 重新處于平衡狀態(tài)，如圖重新處于平衡狀態(tài)，如圖7-57-5（b b）。）。 若解除干擾力，則壓桿重新回到原若解除干擾力，則壓桿重新回到原 直線平衡狀態(tài)，如圖直線平衡狀態(tài)，如圖7-57-5（c c），因），因 此，壓桿原直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的此，壓桿原直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的 平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)。 上述由穩(wěn)定平衡過渡到

11、不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為 臨界壓力臨界壓力（或（或臨界載荷臨界載荷）（）（critical loadcritical load），用），用Fcr表示。表示。 顯然，研究壓桿穩(wěn)定問題的關鍵是確定壓桿的臨界壓力值。顯然，研究壓桿穩(wěn)定問題的關鍵是確定壓桿的臨界壓力值。 桿件失去了保持其原有直桿件失去了保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為線平衡狀態(tài)的能力，稱為喪失穩(wěn)定喪失穩(wěn)定， 簡稱簡稱失穩(wěn)失穩(wěn)，或，或屈曲屈曲。 當壓力逐漸增加到某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡當壓力逐漸增加到某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡 狀態(tài)，在受到一側向干擾力后，桿發(fā)生微小彎曲

12、，但去掉干狀態(tài)，在受到一側向干擾力后，桿發(fā)生微小彎曲，但去掉干 擾力后，桿不能回到原直線平衡狀態(tài)，而是在微小彎曲曲線擾力后，桿不能回到原直線平衡狀態(tài)，而是在微小彎曲曲線 狀態(tài)下保持平衡，如圖狀態(tài)下保持平衡，如圖7-57-5（d d），則壓桿原平衡狀態(tài)是隨遇），則壓桿原平衡狀態(tài)是隨遇 平衡狀態(tài)。當壓力逐漸增加超出某一極限值，壓桿仍保持其平衡狀態(tài)。當壓力逐漸增加超出某一極限值，壓桿仍保持其 直線平衡狀態(tài)，在受到一側向干擾力后，桿件離開直線平衡直線平衡狀態(tài)，在受到一側向干擾力后，桿件離開直線平衡 狀態(tài)后，就會一直彎曲直至桿件破壞為止，如圖狀態(tài)后，就會一直彎曲直至桿件破壞為止，如圖7-57-5（e e

13、），）， 則壓桿原平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。則壓桿原平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 除壓桿外，還有一些其他構件也存在穩(wěn)定問題。例如圓除壓桿外，還有一些其他構件也存在穩(wěn)定問題。例如圓 柱形薄殼外部受到均勻壓力時，壁內應力為壓應力，如果柱形薄殼外部受到均勻壓力時，壁內應力為壓應力，如果 外壓達到臨界值時，薄殼將會失去原有圓柱形平衡狀態(tài)而外壓達到臨界值時，薄殼將會失去原有圓柱形平衡狀態(tài)而 喪失穩(wěn)定，如圖喪失穩(wěn)定，如圖7-67-6所示。同樣，板條或窄梁在最大抗彎所示。同樣，板條或窄梁在最大抗彎 剛度平面內彎曲時，載荷過大也會發(fā)生突然的側彎現(xiàn)象，剛度平面內彎曲時，載荷過大也會發(fā)生突然的側彎現(xiàn)象， 如圖如圖7

14、-77-7所示。薄壁圓筒在過大的扭矩作用下發(fā)生的局部所示。薄壁圓筒在過大的扭矩作用下發(fā)生的局部 皺折，也是屬于失穩(wěn)問題。本章只討論壓桿的穩(wěn)定問題，皺折，也是屬于失穩(wěn)問題。本章只討論壓桿的穩(wěn)定問題， 有關其他的穩(wěn)定問題可參考有關專著。有關其他的穩(wěn)定問題可參考有關專著。 q F 圖7-7 窄梁 圖7-6 圓柱形薄殼 二、二、 壓桿的臨界壓力和臨界應力壓桿的臨界壓力和臨界應力 1 1 兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力 如圖如圖7-87-8所示，兩端約束為球鉸支座的細長壓桿，壓桿所示，兩端約束為球鉸支座的細長壓桿，壓桿 軸線為直線，受到與軸線重合的壓力作用。當壓力達到臨界軸線為直線

15、，受到與軸線重合的壓力作用。當壓力達到臨界 力時，壓桿將由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。顯然，力時，壓桿將由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。顯然， 使壓桿保持在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小壓力即為臨界壓力。使壓桿保持在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小壓力即為臨界壓力。 假設桿件在壓力作用下發(fā)生微小彎曲變形，設桿件的彎曲剛假設桿件在壓力作用下發(fā)生微小彎曲變形，設桿件的彎曲剛 度為度為EI。 l Fcr x w Fcr x FFcr M(x) AB 圖圖7-8 7-8 兩端鉸支細長壓桿兩端鉸支細長壓桿 l Fcr x w Fcr x FFcr M(x) AB 圖圖7-6 7-6 兩端鉸支細長壓桿兩端鉸支

16、細長壓桿 選取如圖所示坐標系選取如圖所示坐標系xAw。 設距原點為設距原點為x x距離的任意截面的距離的任意截面的 撓度為撓度為w，彎矩彎矩M的絕對值為的絕對值為 Fw。若撓度若撓度w為負時，為負時，M為正。為正。 即即M與與w的符號相反，于是有的符號相反，于是有 ( )M xFw 將其代入撓曲線近似微分方程，得將其代入撓曲線近似微分方程，得 ( )EIwM xFw 為了求解方便，令為了求解方便，令 2 F k EI 則有則有 2 0wk w 該微分方程的通解為該微分方程的通解為 cossinwCkxDkx 式中式中C、D為積分常數(shù)，可通過邊界條件來確定。為積分常數(shù)，可通過邊界條件來確定。 壓

17、桿兩端約束為球鉸支座，其邊界條件為壓桿兩端約束為球鉸支座，其邊界條件為 0 x 0w xl0w 時，時， 時，時， 將邊界條件代入通解式，可解得將邊界條件代入通解式，可解得 0C sin0Dkl 則可得到則可得到 0D sin0kl 或或 如果如果D=0，則有，則有w0，即壓桿各截面的撓度均為零，桿仍然保，即壓桿各截面的撓度均為零，桿仍然保 持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設前提相矛盾。因持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設前提相矛盾。因 此此D0 ，則只有，則只有 sin0kl 滿足上式的滿足上式的kl值為值為 kln(0,1,2,3,)n 所以所以 ， 于是，桿件所受的壓力為于是，桿

18、件所受的壓力為 n k l 22 2 2 nEI Fk EI l (0,1,2,3,)n 由上式可以看出，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力值，在理由上式可以看出，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力值，在理 論上是多值的。但實際上，只有使桿件保持微小彎曲得最小論上是多值的。但實際上，只有使桿件保持微小彎曲得最小 壓力才是臨界壓力。顯然只有取壓力才是臨界壓力。顯然只有取n =1=1才有實際意義，于是可才有實際意義，于是可 得臨界壓力為得臨界壓力為 2 2 cr EI F l （7-17-1） 2 2 cr EI F l （7-17-1） 上式即為兩端鉸支細長壓桿的臨界壓力表達式。式中：上式即為兩端鉸支細長壓

19、桿的臨界壓力表達式。式中：E為彈為彈 性模量，性模量，EI為彎曲剛度，為彎曲剛度，l 為壓桿長度。為壓桿長度。EI 應取最小值，在材應取最小值，在材 料給定的情況下，慣性矩料給定的情況下，慣性矩I 應取最小值，這是因為桿件總是在應取最小值，這是因為桿件總是在 抗彎能力最小的縱向平面內失穩(wěn)?？箯澞芰ψ钚〉目v向平面內失穩(wěn)。 當當n =1時，相應的撓曲線方程為時，相應的撓曲線方程為 sin x wD l 可見，壓桿由直線狀態(tài)的平衡過渡到曲線狀態(tài)的平衡以后，可見，壓桿由直線狀態(tài)的平衡過渡到曲線狀態(tài)的平衡以后， 軸線變成了半個正弦曲線。軸線變成了半個正弦曲線。D為桿件中點處的撓度。為桿件中點處的撓度。

20、該式是由瑞士科學家歐拉該式是由瑞士科學家歐拉 （L. EulerL. Euler）于）于17441744年提出的，年提出的， 故也稱為兩端鉸支細長壓桿的故也稱為兩端鉸支細長壓桿的歐拉公式歐拉公式。歐拉早在。歐拉早在1818世紀，世紀， 就對理想壓桿在彈性范圍內的穩(wěn)定性進行了研究，但是，同就對理想壓桿在彈性范圍內的穩(wěn)定性進行了研究，但是，同 其他科學問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展其他科學問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展 的水平密切相關。歐拉公式面世后，在相當長的時間里之所的水平密切相關。歐拉公式面世后，在相當長的時間里之所 以未被認識和重視，就是因為當時在工程與生活建造

21、中使用以未被認識和重視，就是因為當時在工程與生活建造中使用 的木樁、石柱都不是細長的。到的木樁、石柱都不是細長的。到17881788年熟鐵軋制的型材開始年熟鐵軋制的型材開始 生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結構。有了金屬結構，細長桿才逐漸成生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結構。有了金屬結構，細長桿才逐漸成 為重要議題。特別是為重要議題。特別是1919世紀，隨著鐵路建設和發(fā)展而來的鐵世紀，隨著鐵路建設和發(fā)展而來的鐵 路金屬橋梁的大量建造，促使人們對壓桿穩(wěn)定問題進行深入路金屬橋梁的大量建造，促使人們對壓桿穩(wěn)定問題進行深入 研究。研究。 2 2 其他支承形式下的臨界壓力其他支承形式下的臨界壓力 Fcr Fcr Fcr Fcr

22、（a） （b） （c） (d) 圖圖7-7 7-7 不同支承形式的細長壓桿不同支承形式的細長壓桿 從上面的推導過程可以從上面的推導過程可以 看出，桿件壓彎后的撓曲看出，桿件壓彎后的撓曲 線形式與桿件兩端的支承線形式與桿件兩端的支承 形式密切相關，積分常數(shù)形式密切相關，積分常數(shù) 是通過邊界條件來確定的，是通過邊界條件來確定的， 不同的邊界條件得到不同不同的邊界條件得到不同 的結果。壓桿兩端的支座的結果。壓桿兩端的支座 除鉸支外，還有其他情況，除鉸支外，還有其他情況， 工程上較常見的桿工程上較常見的桿 端支承形式主要有四種，如圖端支承形式主要有四種，如圖7-77-7所示。各種支承情況下所示。各種支

23、承情況下 壓桿的臨界壓力公式，可以按照兩端鉸支形式的方式進行壓桿的臨界壓力公式，可以按照兩端鉸支形式的方式進行 推導，但也可以把各種支承形式的彈性曲線與兩端鉸支形推導，但也可以把各種支承形式的彈性曲線與兩端鉸支形 式下的彈性曲線進行類比來獲得臨界力公式。式下的彈性曲線進行類比來獲得臨界力公式。 例如千斤頂?shù)慕z桿如圖例如千斤頂?shù)慕z桿如圖7-87-8所示，下所示，下 端可簡化為固定端，上端可簡化為自由端可簡化為固定端，上端可簡化為自由 端。這樣就可以簡化為下端固定上端自端。這樣就可以簡化為下端固定上端自 由的細長壓桿如圖由的細長壓桿如圖7-77-7（b b）。假設在臨）。假設在臨 界壓力作用下以微

24、小彎曲的形狀保持平界壓力作用下以微小彎曲的形狀保持平 衡，由于固定端截面不發(fā)生轉動，可以衡，由于固定端截面不發(fā)生轉動，可以 看出，其彎曲曲線與一長看出，其彎曲曲線與一長2l 為的兩端鉸為的兩端鉸 支壓桿的撓曲線的上半段是相符合的，支壓桿的撓曲線的上半段是相符合的， 也就是說，如果把撓曲線對稱向下延伸也就是說，如果把撓曲線對稱向下延伸 一倍，就相當于如圖一倍，就相當于如圖7-77-7（a a）所示的兩）所示的兩 端絞支細長壓桿的撓曲線，所以，一端端絞支細長壓桿的撓曲線，所以，一端 固定另一端自由，長度為的細長壓桿的固定另一端自由，長度為的細長壓桿的 臨界壓力，等于兩端鉸支長為臨界壓力，等于兩端鉸

25、支長為2l 的細的細 長壓桿的臨界力，即長壓桿的臨界力，即 F 絲桿 圖圖7-8 7-8 千斤頂千斤頂 2 2 (2 ) cr EI F l （7-2） Fcr 對于圖對于圖7-77-7（c c）所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后）所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后 的撓曲線形狀關于桿件的中間截面對稱，根據(jù)桿的撓曲線形狀關于桿件的中間截面對稱，根據(jù)桿 件彎曲變形的特點，可知距離上下端點四分之一件彎曲變形的特點，可知距離上下端點四分之一 桿長處的兩點為撓曲線的拐點，其彎矩為零，相桿長處的兩點為撓曲線的拐點，其彎矩為零，相 當于鉸鏈，故兩端固定長為當于鉸鏈，故兩端固定長為l的壓桿的臨界壓力與的壓桿的臨界壓力與 一

26、長為一長為0.50.5l 的鉸支壓桿的臨界壓力相等，則有的鉸支壓桿的臨界壓力相等，則有 Fcr 2 2 ( ) 2 cr EI F l （7-3） 而圖而圖7-77-7（d d）所示一端固定，一端絞支的壓）所示一端固定，一端絞支的壓 桿，根據(jù)桿件失穩(wěn)后的撓曲線形狀的特點，可桿，根據(jù)桿件失穩(wěn)后的撓曲線形狀的特點，可 知距離下端點約知距離下端點約0.30.3l 桿長處為撓曲線的拐點，桿長處為撓曲線的拐點， 其彎矩為零，相當于鉸鏈，故其臨界壓力為其彎矩為零，相當于鉸鏈，故其臨界壓力為 Fcr 2 2 (0.7 ) cr EI F l （7-4） 根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細長壓桿的臨界壓力公根據(jù)

27、以上討論，可將不同桿端約束細長壓桿的臨界壓力公 式統(tǒng)一寫成式統(tǒng)一寫成 2 2 () cr EI F l （7-5） 上式為歐拉公式的普遍形式。式中上式為歐拉公式的普遍形式。式中稱為稱為長度系數(shù)長度系數(shù) （coefficient of lengthcoefficient of length），它表示桿端約束對臨界壓力），它表示桿端約束對臨界壓力 的影響，不同的桿端約束形式有不同的長度系數(shù)，顯然桿端的影響，不同的桿端約束形式有不同的長度系數(shù)，顯然桿端 的約束越強，長度系數(shù)越小。幾種支承情況的的約束越強，長度系數(shù)越小。幾種支承情況的值列于下表。值列于下表。 l 表示把壓桿折算成相當于兩端鉸支壓桿時的

28、長度，稱為表示把壓桿折算成相當于兩端鉸支壓桿時的長度，稱為 相當長度相當長度（effective lengtheffective length）。）。 表表7-1 7-1 壓桿長度系數(shù)壓桿長度系數(shù) 支承情況支承情況 一端固定一端固定 一端自由一端自由 兩端鉸支兩端鉸支 一端固定一端固定 一端鉸支一端鉸支 兩端固定兩端固定 2 21 10.70.70.50.5 例例7-1 7-1 如圖如圖7-117-11所示細長壓桿，一端固定，所示細長壓桿，一端固定， 另一端自由。已知其彈性模量另一端自由。已知其彈性模量E =10GPa，長長 度度l =2m。試求。試求h=160mm，b=90mm和和 h =

29、b =120mm兩種情況下壓桿的臨界壓力。兩種情況下壓桿的臨界壓力。 F b y z 圖圖7-11 7-11 例例7-17-1圖圖 解：（解：（1 1）計算）計算情況下的臨界壓力情況下的臨界壓力 截面對截面對y，z 軸的慣性矩分別為軸的慣性矩分別為 33 64 160 90 9.72 10 mm 1212 y hb I 33 74 90 160 3.072 10 mm 1212 z bh I 由于由于Iy Iz，所以壓桿必然繞，所以壓桿必然繞 y 軸彎曲失穩(wěn)，應將代入計算軸彎曲失穩(wěn)，應將代入計算 公式（公式（7.27.2）計算臨界壓力，根據(jù)桿端約束?。┯嬎闩R界壓力，根據(jù)桿端約束取=2，即，即

30、229612 22 10 109.72 1010 60kN ()(2 2) cr EI F l （2 2）計算）計算情況下的臨界壓力，截面對情況下的臨界壓力，截面對y，z 軸的慣性矩相軸的慣性矩相 等，均為等，均為 33 74 120 120 1.728 10 mm 1212 yz hb II 229712 22 10 101.728 1010 106.5kN ()(2 2) cr EI F l 由計算結果來看，兩種壓桿的材料用量相同，但情況由計算結果來看，兩種壓桿的材料用量相同，但情況的的 臨界力是情況臨界力是情況的的1.781.78倍，很顯然，桿件合理截面形狀是提倍，很顯然，桿件合理截面形

31、狀是提 高桿件穩(wěn)定性的措施之一。高桿件穩(wěn)定性的措施之一。 1 1 壓桿的臨界應力壓桿的臨界應力 當桿件壓力達到臨界壓力時，將臨界壓力當桿件壓力達到臨界壓力時，將臨界壓力Fcr 除以壓桿的除以壓桿的 橫截面面積橫截面面積A，則可得到臨界壓力下的應力，稱為，則可得到臨界壓力下的應力，稱為臨界應力臨界應力 （critical stresscritical stress），用），用cr 表示，即表示，即 2 2 () cr cr FEI AlA 將將I = Ai 2 代入臨界應力公式中，則有代入臨界應力公式中，則有 2 2 () cr E l i 令令 l i 于是，臨界應力可以寫成如下形式于是，臨界

32、應力可以寫成如下形式 2 2 cr E 這里這里是與壓桿的長度、約束情況、截面形狀是與壓桿的長度、約束情況、截面形狀 和尺寸有關的系數(shù)，稱為壓桿的和尺寸有關的系數(shù)，稱為壓桿的柔度柔度或或長細比長細比 （slenderness radioslenderness radio），是一個無量綱的量，集），是一個無量綱的量，集 中反映了桿長、約束情況、截面形狀和尺寸等因中反映了桿長、約束情況、截面形狀和尺寸等因 素對臨界應力的影響。素對臨界應力的影響。 三、三、 臨界應力總圖臨界應力總圖 2 2 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 由臨界應力的計算公式可知，隨著柔度的減小，臨界應力增由臨界應力的計算公

33、式可知，隨著柔度的減小，臨界應力增 大，當柔度很小接近于零時，臨界應力會趨于無窮大，這顯然大，當柔度很小接近于零時，臨界應力會趨于無窮大，這顯然 是不符合實際情況的。因此，歐拉公式并不能適用于所有壓桿是不符合實際情況的。因此，歐拉公式并不能適用于所有壓桿 的臨界應力的計算。下面討論歐拉公式的適用范圍。的臨界應力的計算。下面討論歐拉公式的適用范圍。 歐拉公式是利用壓桿微彎時的撓曲線近似方程推導出來的，歐拉公式是利用壓桿微彎時的撓曲線近似方程推導出來的， 而撓曲線近似微分方程又是建立在材料服從虎克定律的基礎而撓曲線近似微分方程又是建立在材料服從虎克定律的基礎 上的。因此，只有當臨界應力不超過材料的

34、比例極限時，歐上的。因此，只有當臨界應力不超過材料的比例極限時，歐 拉公式才能成立，故有拉公式才能成立，故有 2 2 crP E 即即 2 P E 因此，歐拉公式的適用范圍可以表達為因此，歐拉公式的適用范圍可以表達為 P （7-9） 將柔度將柔度 大于或等于權限柔度大于或等于權限柔度 P的壓桿稱為的壓桿稱為大柔度桿大柔度桿，或，或細長細長 桿桿。因此，只有大柔度桿才能使用歐拉公式計算其臨界壓力。因此，只有大柔度桿才能使用歐拉公式計算其臨界壓力 和臨界應力。和臨界應力。 由式（由式（7.87.8）可以看出，極限柔度與材料的比例極限和彈性）可以看出，極限柔度與材料的比例極限和彈性 模量有關。不同的

35、材料，的數(shù)值也不同。模量有關。不同的材料，的數(shù)值也不同。 令令 2 P P E （7-8） P 是當臨界應力等于比例極限時所對應的柔度值，常稱為極是當臨界應力等于比例極限時所對應的柔度值，常稱為極 限柔度，是歐拉公式適用的最小柔度值。限柔度，是歐拉公式適用的最小柔度值。 3 3 臨界應力總圖與經(jīng)驗公式臨界應力總圖與經(jīng)驗公式 工程實際中的壓桿，其柔度工程實際中的壓桿，其柔度 往往會小于極限柔度往往會小于極限柔度 P，由，由 于其臨界應力已經(jīng)超過了材料的比例極限，因此，歐拉公式于其臨界應力已經(jīng)超過了材料的比例極限，因此，歐拉公式 不再適用。臨界應力超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題，屬于非不再適用。臨界應

36、力超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題，屬于非 線彈性失穩(wěn)問題，對于這類問題，也有理論分析結果，但在線彈性失穩(wěn)問題，對于這類問題，也有理論分析結果，但在 實際應用中經(jīng)常采用建立在實驗或是在實際工程經(jīng)驗基礎上實際應用中經(jīng)常采用建立在實驗或是在實際工程經(jīng)驗基礎上 的經(jīng)驗公式，常用的經(jīng)驗公式有直線公式和拋物線公式。的經(jīng)驗公式，常用的經(jīng)驗公式有直線公式和拋物線公式。 1 1） 直線公式直線公式 直線公式是把臨界應力直線公式是把臨界應力 cr與柔度與柔度 表示成如下的線性關系表示成如下的線性關系 cr ab （7-10） 式中是與材料性質有關的系數(shù)。例如：式中是與材料性質有關的系數(shù)。例如：Q235Q235鋼鋼 3

37、04MPaa 1.12MPab 如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗結果表明，當如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗結果表明，當 壓力達到材料的屈服極限壓力達到材料的屈服極限 s（或強度極限（或強度極限 b）時，壓桿由于）時，壓桿由于 強度不夠而失效，不會出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對于這種情況，應強度不夠而失效，不會出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對于這種情況，應 按強度問題處理，其臨界應力為屈服極限按強度問題處理，其臨界應力為屈服極限 s （或強度極限（或強度極限 b ），即），即 crs （或（或 ） crb 顯然使用直線公式的最大應力為顯然使用直線公式的最大應力為 s ，于是有，于是有 crs ab 即即 s a

38、 b 令令 s s a b （7-12） 將將 s P的壓桿稱為的壓桿稱為中柔度壓桿中柔度壓桿，即直線公式適用于中，即直線公式適用于中 柔度壓桿。而對于柔度壓桿。而對于 s的壓桿稱為的壓桿稱為小柔度壓桿小柔度壓桿。 如果以柔度如果以柔度 作為橫坐標，以臨界應力作為橫坐標，以臨界應力 cr作為縱坐標，建作為縱坐標，建 立平面直角坐標系，則式（立平面直角坐標系，則式（7.77.7）、（）、（7.107.10）及（）及（7.117.11）可表）可表 示成如圖示成如圖7.107.10所示的曲線。所示的曲線。 D A B C cr 0 cr cra - b crcr s p sp 圖圖7-10 7-10

39、 臨界應力總圖（直線公式）臨界應力總圖（直線公式） 上圖表示出了臨界應力上圖表示出了臨界應力 cr隨壓桿的柔度隨壓桿的柔度 的變化情況，稱的變化情況，稱 為壓桿的為壓桿的臨界應力總圖臨界應力總圖（figures of critical stressesfigures of critical stresses）。）。 臨界應力總圖是壓桿設計的重要依據(jù)。臨界應力總圖是壓桿設計的重要依據(jù)。 2 2） 拋物線公式拋物線公式 對于柔度對于柔度 z，故壓桿在，故壓桿在xy平面內的穩(wěn)定性大于在平面內的穩(wěn)定性大于在xz平面內的穩(wěn)平面內的穩(wěn) 定性。所以應以定性。所以應以 y計算臨界壓力和臨界應力。計算臨界壓力和

40、臨界應力。 （2 2）臨界壓力計算）臨界壓力計算 對于對于Q235Q235鋼制成的壓桿，其極限柔度鋼制成的壓桿，其極限柔度 P=100， s=61.6， s P ，壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗公式計算臨界應力壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗公式計算臨界應力 cry ab 查表可得查表可得a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有代入上式有 304 1.12 78.9216MPa cr 臨界壓力為臨界壓力為 66 216 1060 25 10324kN crcr FA （3 3）穩(wěn)定性校核）穩(wěn)定性校核 由式（由式（7-157-15），有），有 324 3.243 100 cr st F nn F 故滿足穩(wěn)定

41、條件。故滿足穩(wěn)定條件。 （4 4）討論）討論 由于由于 y z，連桿在兩個平面內的穩(wěn)定性不相等。欲使連，連桿在兩個平面內的穩(wěn)定性不相等。欲使連 桿在桿在xy和和xz兩平面內的穩(wěn)定性相等。則必須有兩平面內的穩(wěn)定性相等。則必須有 y= z ，即，即 1 0.5 yz ll II A A 于是有于是有 2 2 1 4 z y Il Il 本例中，由于本例中，由于l1與與l大致相等，因此大致相等，因此 4 zy II 上式表明，欲使連桿在兩個平面內的穩(wěn)定性相等，在設計截面上式表明，欲使連桿在兩個平面內的穩(wěn)定性相等，在設計截面 時，應保持時，應保持Iz4Iz，對于本例中的矩形截面，則須有，對于本例中的矩

42、形截面，則須有 12 4 12 23 hbbh 即即 2hb 此時，可保證連桿在兩個平面內的穩(wěn)定性相等。此時，可保證連桿在兩個平面內的穩(wěn)定性相等。 例例7-3 7-3 圖圖7-157-15（a a）、（）、（b b）中所示壓桿，其直徑均為）中所示壓桿，其直徑均為d，材，材 料都是料都是Q235Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。兩桿長度鋼，但二者長度和約束條件各不相同。兩桿長度 分別為分別為5m5m和和9m9m。 （1 1）分析哪一根桿的臨界應力較大。）分析哪一根桿的臨界應力較大。 （2 2）計算）計算d=160mm，E=206GPa時，時， 二桿的臨界載荷。二桿的臨界載荷。 F F 解

43、：（解：（1 1）計算柔度）計算柔度 因為因為 ，其中，其中 ，而二者均，而二者均 為圓截面且直徑相同，故有為圓截面且直徑相同，故有 圖圖7-15 7-15 例例7-37-3圖圖 l i I i A 4 2 /64 /44 Idd i Ad 因二者約束條件和桿長都不相同，所以柔度也不一定相同。因二者約束條件和桿長都不相同，所以柔度也不一定相同。 對于圖對于圖7-137-13（a a）所示兩端鉸支的壓桿，）所示兩端鉸支的壓桿，= 1，l =5000=5000mm 1 520 4 a l d id 對于圖對于圖7-137-13（b b）所示兩端固定的壓桿，）所示兩端固定的壓桿，= 0.5，l =9

44、000=9000mm 0.5918 4 b l d id 由臨界應力的計算公式，可見本例中兩端鉸支壓桿的臨界應由臨界應力的計算公式，可見本例中兩端鉸支壓桿的臨界應 力小于兩端固定壓桿的臨界應力。力小于兩端固定壓桿的臨界應力。 （2 2）計算各桿的臨界載荷）計算各桿的臨界載荷 對于兩端鉸支的壓桿對于兩端鉸支的壓桿 1 52020 125132 0.16 4 ap l d id 屬于中長桿，利用直線公式屬于中長桿，利用直線公式 26 6 16010 (304 1.12 125) 103297kN 4 acrcr FA 對于兩端固定的壓桿，對于兩端固定的壓桿， 0.5 91818 112.5132

45、0.16 4 bp l d id 也屬于中長桿也屬于中長桿 26 6 16010 (304 1.12 112.5) 103579kN 4 bcrcr FA 例例7-4 7-4 圖圖7-147-14所示的結構中，梁所示的結構中，梁AB為為No.l4普通熱軋工字鋼，普通熱軋工字鋼， CD為圓截面直桿，其直徑為為圓截面直桿，其直徑為d=20mm，二者材料均為，二者材料均為Q235鋼。鋼。 結構受力如圖所示，結構受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知三處均為球鉸約束。若已知 F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m， s=235MPa。強度安全因數(shù)。強度安全因數(shù) ns=1.45=1.

46、45，穩(wěn)定安全因數(shù)，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=1.8=1.8。試校核此結構是否安全？。試校核此結構是否安全？ y z x l1l1 F 30 ABC D 圖圖7.14 7.14 例例7-47-4圖圖 解：在給定的結構中共解：在給定的結構中共 有兩個構件：梁有兩個構件：梁AB，承，承 受拉伸與彎曲的組合作受拉伸與彎曲的組合作 用，屬于強度問題；桿用，屬于強度問題；桿 CD承受壓縮載荷，屬于承受壓縮載荷，屬于 穩(wěn)定問題?，F(xiàn)分別校核穩(wěn)定問題。現(xiàn)分別校核 如下：如下： （1 1）大梁）大梁AB的強度校核的強度校核 大梁大梁AB在截面在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險截面，該處彎矩最大，該處橫截面為危險截面

47、，該 截面的彎矩和軸力分別為截面的彎矩和軸力分別為 33 1 (sin30 )(25 100.5 1.25)15.63 10 N m15.63kN m C MFl 3 cos3025 10cos3021.65kN N FF 由型鋼表查得由型鋼表查得No.14No.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為普通熱軋工字鋼的參數(shù)為 3 102cm z W 2 21.5cmA 由此得到由此得到 33 6 max 64 15.63 1021.65 10 163.2 10 Pa163.2MPa 102 1021.5 10 CN z MF WA Q235鋼的許用應力鋼的許用應力 235 162MPa 1.45 s s n

48、 max略大于略大于 ，但并沒有超出許用應力的，但并沒有超出許用應力的5%，工程上仍認，工程上仍認 為是安全的。為是安全的。 （2 2）壓桿）壓桿CD的穩(wěn)定校核的穩(wěn)定校核 由平衡方程求得壓桿由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力的軸向壓力 2sin3025kN NCDPP FFF 因為是圓截面桿，故慣性半徑因為是圓截面桿，故慣性半徑 5mm 4 Id i A 又因為兩端為球鉸約束，又因為兩端為球鉸約束， =1，所以，所以 3 1 0.55 110132 5 10 p l i 這表明，壓桿這表明，壓桿CD為非細長桿，采用直線公式計算其臨界應力為非細長桿，采用直線公式計算其臨界應力 304 1.12 1

49、10181MPa cr 壓桿壓桿CD的工作應力為的工作應力為 3 26 25 4 10 79.6MPa 2010 NCD F A 于是，壓桿的工作安全因數(shù)于是，壓桿的工作安全因數(shù) 181 2.271.8 79.6 cr st nn 這一結果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。這一結果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。 例例7-5 7-5 一壓桿由兩個等邊角鋼（一壓桿由兩個等邊角鋼（14014012）組成（如）組成（如 圖圖7-177-17），用直徑），用直徑d=25mm的鉚釘聯(lián)接成一個整體。桿長的鉚釘聯(lián)接成一個整體。桿長 l=3m，兩端絞支，承受軸向壓力，兩端絞支，承受軸向壓力 F=700kN。壓桿材料為。

50、壓桿材料為 Q235鋼，許用應力鋼，許用應力 =100MPa，穩(wěn)定安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù) nst=2。試校。試校 核壓桿的穩(wěn)定性及強度。核壓桿的穩(wěn)定性及強度。 10 z y 【解】【解】 柔度計算柔度計算 由于截面為組合截面，由于截面為組合截面， 因此必須分析截面對因此必須分析截面對y y和和z z軸的慣性矩。軸的慣性矩。 查型鋼表可得單根角鋼截面幾何性查型鋼表可得單根角鋼截面幾何性 質為：質為： 2 32.512cmA 4 603.68cm x I 0 3.9cmz 0 1.2cmd 于是組合截面軸慣性矩分別為于是組合截面軸慣性矩分別為 474 22 603.681207.36cm1.207

51、36 10 mm zx II 22 0 474 2 (0.5) 2 603.6832.512 (3.90.5) 2466.22cm2.46622 10 mm yx IIAz 圖圖7-17 例例7-5圖圖 由于由于Iz Iy，因此截面將繞中性軸，因此截面將繞中性軸z軸轉動，此時最小慣性半軸轉動，此時最小慣性半 徑為徑為iz，則，則 7 min 2 1.20736 10 43.1mm 22 32.512 10 z z I ii A 最大柔度為最大柔度為 max min 1 3000 69.6 43.1 l i 材料的柔度極限為材料的柔度極限為 p=100， s=61.6，即，即 所以壓桿為中柔度桿

52、。所以壓桿為中柔度桿。 max 61.6100 =100MPa 5902.4 10 F A 故不滿足強度要求。故不滿足強度要求。 討論討論 由以上計算分析可見，壓桿有局部削弱時，在滿足由以上計算分析可見，壓桿有局部削弱時，在滿足 穩(wěn)定條件的同時，強度條件可能不滿足。因此，有局部削弱穩(wěn)定條件的同時，強度條件可能不滿足。因此，有局部削弱 時，在進行穩(wěn)定校核的同時要進行強度校核。工程實際中，時，在進行穩(wěn)定校核的同時要進行強度校核。工程實際中， 應盡量避免對壓桿的局部削弱，以免引起強度不足。應盡量避免對壓桿的局部削弱，以免引起強度不足。 四、四、 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施 臨界應力作為

53、穩(wěn)定問題的極限應力，其大小反映了壓桿承臨界應力作為穩(wěn)定問題的極限應力，其大小反映了壓桿承 載能力的高低。因此，要提高壓桿的穩(wěn)定性，就需要從決定臨載能力的高低。因此，要提高壓桿的穩(wěn)定性，就需要從決定臨 界應力的各種因素著手。根據(jù)以上各節(jié)的討論，影響壓桿穩(wěn)定界應力的各種因素著手。根據(jù)以上各節(jié)的討論，影響壓桿穩(wěn)定 性的因素有：壓桿的長度、約束條件、截面幾何形狀及尺寸、性的因素有：壓桿的長度、約束條件、截面幾何形狀及尺寸、 材料的性質等。以下將從四個方面討論提高壓桿穩(wěn)定性的一些材料的性質等。以下將從四個方面討論提高壓桿穩(wěn)定性的一些 措施。措施。 如下圖所示兩種桁架結構，其中桿如下圖所示兩種桁架結構，其

54、中桿、都是壓桿，但都是壓桿，但 圖（圖（b b）中的壓桿的承載能力要遠高于圖（）中的壓桿的承載能力要遠高于圖（a a）中的壓桿。）中的壓桿。 1 23 4 F AB C 1 23 4 F AB C 圖圖7-15 7-15 不同桿長的桁架不同桿長的桁架 1 1 盡量減小壓桿長度盡量減小壓桿長度 對于細長桿，其臨界載荷與桿長的平方成反比，由柔度計算對于細長桿，其臨界載荷與桿長的平方成反比，由柔度計算 公式可知，減小壓桿長度可降低壓桿柔度，而降低柔度可提高公式可知，減小壓桿長度可降低壓桿柔度，而降低柔度可提高 臨界應力。因此，在結構允許的情況下，盡可能地減小壓桿的臨界應力。因此，在結構允許的情況下，

55、盡可能地減小壓桿的 長度，可以有效而顯著地提高壓桿的承載能力。長度，可以有效而顯著地提高壓桿的承載能力。 2 2 增強壓桿的約束條件增強壓桿的約束條件 桿件支承的剛性越大，即加強壓桿的約束，壓桿的長度系數(shù)桿件支承的剛性越大，即加強壓桿的約束，壓桿的長度系數(shù)值越低，值越低， 臨界載荷也就越大。如圖臨界載荷也就越大。如圖7-167-16（a a）所示，兩端鉸支的細長桿，變成兩端）所示，兩端鉸支的細長桿，變成兩端 固定約束，如圖固定約束，如圖7-167-16（b b）所示，其臨界載荷將顯著增加。）所示，其臨界載荷將顯著增加。 兩端鉸支細長桿，其臨界壓力為兩端鉸支細長桿，其臨界壓力為 ，如果將鉸支座改

56、為固定端，如果將鉸支座改為固定端， 則其臨界壓力則其臨界壓力 ?？梢?，臨界壓力提高了?？梢?，臨界壓力提高了3 3倍，穩(wěn)倍，穩(wěn) 定性明顯提高。定性明顯提高。 2 2 cr EI P l 22 22 44 (0.5 ) crcr EIEI PP ll F F F 圖圖7-16 7-16 不同支承的壓桿不同支承的壓桿 也可通過增加中間支承的辦法來達也可通過增加中間支承的辦法來達 到提高其穩(wěn)定性的目的。例如，若在兩到提高其穩(wěn)定性的目的。例如，若在兩 端鉸支細長壓桿的中間增加一個鉸支座，端鉸支細長壓桿的中間增加一個鉸支座， 如圖如圖7-167-16（c c）所示，則臨界壓力同樣可）所示，則臨界壓力同樣可

57、 以提高以提高3 3倍，穩(wěn)定性也能明顯提高。一般倍，穩(wěn)定性也能明顯提高。一般 說來，增加壓桿的約束，使其不容易發(fā)說來，增加壓桿的約束，使其不容易發(fā) 生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩(wěn)定性。生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩(wěn)定性。 （a） （b） （c） 3 3 選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀 由柔度計算公式可知，增大截面慣由柔度計算公式可知，增大截面慣 性半徑可降低柔度，進而提高臨界應力，性半徑可降低柔度，進而提高臨界應力， 達到提高穩(wěn)定性的目的。顯然，增加截達到提高穩(wěn)定性的目的。顯然，增加截 面面積可以提高慣性半徑，但截面面積面面積可以提高慣性半徑，但截面面積 的增加勢必會耗費材料。如截面面積不的增加勢必會耗費材料。如截面面積不 變，而是盡可能地把材料放在離截面形變，而是盡可能地把材料放在離截面形 心較遠處，也可以提高慣性半徑。例如，心較遠處，也可以提高慣性半徑。例如， 空心環(huán)形截面就比實心圓截面合理，如空心環(huán)形截面就比實心圓截面合理，如 圖圖7-177-17所示，因為若兩者截面面所示，因為若兩者截面面 F d1 d2 D2 圖圖7-17 7-17 不同截面的壓桿不同截面的壓桿 積相等，環(huán)形截面慣性半徑要比實心截面大得多。必須注意，積相等，環(huán)形截面慣性半徑要比實心截面大得多。必須注意