關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題的研究

1、關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題的研究姓名：張碩 朱聰聰 禹雪珂學(xué)號(hào)：201722060220172106102017210609專業(yè)：研究生組題目：關(guān)于曲線繪圖與運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題的研究摘要隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算機(jī)輔助繪圖在當(dāng)今社會(huì)已成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。本文的建模題目就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)研究計(jì)算機(jī)繪圖以及運(yùn)動(dòng)控制的原理。針對(duì)問(wèn)題一，首先根據(jù)題意建立了滿足條件的三階貝塞爾曲線模型，讓屏幕上的4點(diǎn)在一條光滑又簡(jiǎn)單的曲線上。然后根據(jù)模型計(jì)算出由以下4點(diǎn)構(gòu)成的參數(shù)方程，運(yùn)用matlab編程，繪出了相應(yīng)的曲線。 針對(duì)問(wèn)題二的第一步，先把所給的參數(shù)方程的參數(shù)作4等分，即，然后用matlab編程繪圖，驗(yàn)

2、證出了當(dāng)參數(shù)作4等分時(shí)，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng)并不是4等分的。對(duì)于弧長(zhǎng)n等分的問(wèn)題，隨后利用微積分的原理建立了求弧長(zhǎng)的公式模型。在弧長(zhǎng)公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)行弧長(zhǎng)等分。利用這個(gè)模型，求出每段弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t，結(jié)合所給的參數(shù)方程，最后利用編程繪制出了曲線的弧長(zhǎng)4等分和10等分圖像。關(guān)鍵詞：貝塞爾曲線；微積分；MATLAB繪圖一 問(wèn)題重述目前計(jì)算機(jī)輔助繪圖已成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，本文的問(wèn)題就是利用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)研究計(jì)算機(jī)繪圖以及運(yùn)動(dòng)控制的基本原理。 問(wèn)題1：繪圖 在計(jì)算機(jī)屏幕上隨機(jī)地畫(huà)出和，利用這4個(gè)點(diǎn)的信息繪制出一條曲線，其中讓為曲線的起點(diǎn)，為曲線的終點(diǎn)，和為控制點(diǎn)。曲線在起點(diǎn)處，以方向?yàn)榍芯€方向

3、，在終點(diǎn)處，以方向?yàn)榍芯€方向。使用參數(shù)方程來(lái)描述這條曲線，但滿足上述條件的曲線有無(wú)窮條，請(qǐng)?jiān)黾右恍l件，使它表示一條曲線，并且具有形式簡(jiǎn)單（如多項(xiàng)式）、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點(diǎn)。根據(jù)建立的模型寫(xiě)出由以下4點(diǎn)構(gòu)成曲線的參數(shù)方程，并繪出這條曲線（同時(shí)在圖上標(biāo)注這4個(gè)點(diǎn)，和相應(yīng)的切線）。問(wèn)題2：運(yùn)動(dòng)控制 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)在一些情況下，需要對(duì)沿著指定的運(yùn)動(dòng)途徑的空間位置進(jìn)行精確的控制，而參數(shù)方程給出的曲線一般是達(dá)不到這一效果。也就是說(shuō)，若將參數(shù)作等分，而對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng)并不是等分的。例如：需要控制的曲線由下列參數(shù)方程表示 (1-1)若將參數(shù)作4等分，即，而這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng)并不是4等分的，本題

4、需要繪圖驗(yàn)證這一點(diǎn)，并給出將弧長(zhǎng)作等分的數(shù)學(xué)模型或計(jì)算公式。根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長(zhǎng)4等分和10等分。繪出參數(shù)方程(1-1)的控制曲線，并標(biāo)注出弧長(zhǎng)4等分和10等分的等分點(diǎn)。二問(wèn)題分析對(duì)于問(wèn)題一，是讓我們對(duì)計(jì)算機(jī)屏幕上的隨機(jī)4點(diǎn)滿足的參數(shù)方程添加一些條件，使得繪出的曲線只有一條，且具有一定的特點(diǎn)。根據(jù)搜集的信息，首先我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型，這個(gè)模型是多項(xiàng)式，繪出的曲線具有形式簡(jiǎn)單，曲線光滑和美觀等特點(diǎn)。然后根據(jù)模型求出了4點(diǎn)滿足的曲線的參數(shù)方程，并用matlab軟件繪制出了相應(yīng)的曲線。對(duì)于問(wèn)題二，要求我們?cè)趨?shù)等分的情況下，給出將弧長(zhǎng)等分的數(shù)學(xué)模型。

5、根據(jù)題意我們已經(jīng)知道了需要控制的曲線的參數(shù)方程，利用微積分的方法，給出了求曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上對(duì)弧長(zhǎng)進(jìn)行等分。根據(jù)建立的模型，利用matlab軟件繪制出將參數(shù)方程(1-1)所繪出曲線的弧長(zhǎng)4等分和10等分的圖像。三模型假設(shè)1.假設(shè)計(jì)算機(jī)屏幕上的隨機(jī)4點(diǎn)沒(méi)有重合。2. 假設(shè)計(jì)算機(jī)正常運(yùn)行。3. 假設(shè)用matlab運(yùn)行的誤差忽略不計(jì)。四符號(hào)說(shuō)明參數(shù) t定點(diǎn) 控制點(diǎn) 幕上的任意四點(diǎn) 參數(shù)方程的系數(shù) 總弧長(zhǎng) 每段的弧長(zhǎng) 五模型的建立與求解5.1 理論準(zhǔn)備5.1.1貝塞爾曲線簡(jiǎn)介貝塞爾曲線，又稱貝茲曲線或貝濟(jì)埃曲線，是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線。一般的矢量圖形軟件通過(guò)它來(lái)精確畫(huà)出曲線，貝

6、茲曲線由線段與節(jié)點(diǎn)組成，節(jié)點(diǎn)是可拖動(dòng)的支點(diǎn)，線段像可伸縮的皮筋，它是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中相當(dāng)重要的參數(shù)曲線。貝塞爾曲線是根據(jù)4個(gè)位置任意的點(diǎn)坐標(biāo)繪制出的一條光滑曲線，我們把這4個(gè)點(diǎn)設(shè)為和，貝塞爾曲線必定通過(guò)首尾兩個(gè)端點(diǎn)，中間的兩個(gè)點(diǎn)雖然未必要通過(guò)，但卻起著牽制曲線形狀路徑的作用，稱為控制點(diǎn)。通過(guò)調(diào)整控制點(diǎn)，貝塞爾曲線的形狀會(huì)發(fā)生變化beisaier.gif。 5.1.2 貝塞爾曲線的參數(shù)表示當(dāng)控制點(diǎn)不同時(shí)，貝塞爾曲線的方程就不同。在這里，可以簡(jiǎn)單的分為一階、二階、三階、和高階貝塞爾曲線。下面對(duì)其參數(shù)方程進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。A. 一階貝塞爾曲線給定點(diǎn)P0、P1，線性貝茲曲線只是一條兩點(diǎn)之間的直線。這條線由

7、下式給出：且其等同于線性插值。 B.二階貝塞爾曲線 二次方貝茲曲線的路徑由給定點(diǎn)P0、P1、P2的函數(shù)B（t）追蹤：TrueType字型就運(yùn)用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。 C.三階貝塞爾曲線P0、P1、P2、P3四個(gè)點(diǎn)在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始于P0走向P1，并從P2的方向來(lái)到P3。一般不會(huì)經(jīng)過(guò)P1或P2；這兩個(gè)點(diǎn)只是在那里提供方向資訊。P0和P1之間的間距，決定了曲線在轉(zhuǎn)而趨進(jìn)P3之前，走向P2方向的“長(zhǎng)度有多長(zhǎng)”。曲線的參數(shù)形式為：現(xiàn)代的成象系統(tǒng)，如PostScript、Asymptote和Metafont，運(yùn)用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來(lái)描繪曲線輪廓。

8、D.一般參數(shù)公式給定點(diǎn)P0、P1、Pn，其貝茲曲線即：如上公式可如下遞歸表達(dá)： 用表示由點(diǎn)P0、P1、Pn所決定的貝茲曲線。5.1.3 貝塞爾曲線的性質(zhì)貝塞爾曲線把組合參數(shù)曲線構(gòu)造成在連接處具有直到n階連續(xù)，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為nC或n階參數(shù)連續(xù)性。并且組合曲線在連接處滿足不同于nC的某一組約束條件，具有n階幾何連續(xù)性，5.2 問(wèn)題一模型的建立根據(jù)題目所給，要使參數(shù)方程并且具有形式簡(jiǎn)單（如多項(xiàng)式）、曲線光滑（如連續(xù)可微）和美觀等特點(diǎn)，我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型：如果已知一條曲線的參數(shù)方程，系數(shù)都已知，兩個(gè)方程的參數(shù)為t，且它的值位于0，1之間，表現(xiàn)形式如下所示： xt=ax

9、*t3+bx*t2+cx*t+x1 yt=ay*t3+by*t2+cy*t+y1 由于這條曲線的起點(diǎn)為x1，y1，我們可以用以下公式求出剩余三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) x2=x1+cx/3 x3=x2+（cx+bx/3） x4=x1+cx+bx+ax y2=y1+cy/3 y3=y2+(cy+by)/3 y4=y1+cy+by+ay經(jīng)過(guò)觀察，不管方程的已知和所求是什么，一共有6個(gè)未知數(shù)，并且總能找到6個(gè)等式，其中x1，y1是已知的。也就是說(shuō)，上面的方法是完全可逆的，因此可以根據(jù)4個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)反求曲線參數(shù)方程的系數(shù)，經(jīng)過(guò)變換，可得到下列式子： cx=3*（x2-x1） bx=3* x3-x2-cx ax=x

10、4-x1-cx-bx cy=3*（ y2-y1） by=3*y3-y2-cy ay=y4-y1-cy-by所以，對(duì)于坐標(biāo)任意的4個(gè)已知點(diǎn)，總能構(gòu)建一條貝塞爾曲線，并可通過(guò)以上算法求出其參數(shù)方程。5.3問(wèn)題一的求解根據(jù)建立的模型，將代入三階貝塞爾曲線模型中，得到 cx=3*x2-x1=0 bx=3* x3-x2-cx=6 ax=x4-x1-cx-bx=-5 cy=3* y2-y1=6 by=3*y3-y2-cy=-6 ay=y4-y1-cy-by=1所以得到的參數(shù)方程為 xt=-5*t3+6*t2+0*t+1yt=1*t3+（-6）*t2+6*t+1 .根據(jù)計(jì)算結(jié)果，利用MATLAB寫(xiě)出程序見(jiàn)（

11、附錄1），繪出這條曲線同時(shí)在圖上標(biāo)注出四點(diǎn)點(diǎn)，和相應(yīng)的切線，其中為曲線的起點(diǎn)，為曲線的終點(diǎn)，和為控制點(diǎn).曲線在起點(diǎn)處，以方向?yàn)榍芯€方向，在終點(diǎn)處，以方向?yàn)榍芯€方向.如下圖：5.3問(wèn)題二模型的建立問(wèn)題2中，需要控制的曲線的參數(shù)方程已知，當(dāng)參數(shù)作等分時(shí)，要使曲線弧長(zhǎng)是等分，這時(shí)我們應(yīng)利用微積分的方法，給出求曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上建立對(duì)弧長(zhǎng)進(jìn)行等分的數(shù)學(xué)模型。若曲線弧的參數(shù)方程如下： x=（t）y=（t）（t）則弧長(zhǎng)元素（弧微分）為： ds=（dx）2+dy2 =2t+2(t)所求弧長(zhǎng)為 S=2t+2(t)dt因此得到將弧長(zhǎng)進(jìn)行n等分的公式模型： s=2t+2(t)dtn.計(jì)算出n等分點(diǎn)的到

12、起始點(diǎn)的弧長(zhǎng)，利用Matlab可以求出每個(gè)等分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t，從而可繪出n等分的對(duì)應(yīng)圖像。5.4問(wèn)題二的求解 首先對(duì)于參數(shù)方程若將參數(shù)作4等分，即時(shí)，經(jīng)過(guò)matlab軟件編程繪制圖像，發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng)并不是4等分的。繪制的圖形如下：從圖5.4-1中可以看出當(dāng)參數(shù)作4等分時(shí)，對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)并不是4等分的。對(duì)于參數(shù)方程將其代入建立的模型之中，運(yùn)用matlab編程求出弧長(zhǎng)S為2.4952，若將弧長(zhǎng)進(jìn)行4等分，每段的弧長(zhǎng)s為0.6238。再次運(yùn)用Matlab編程，用已知的四等分點(diǎn)的弧長(zhǎng)s反過(guò)來(lái)求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)t，數(shù)據(jù)如表格所示：弧長(zhǎng)參數(shù)=0.0000=0.000=0.6238=0.550=1

13、.2476=0.800=2.3348=0.918=2.4952=1.000進(jìn)而繪制出將弧長(zhǎng)進(jìn)行4等分的圖像，并將4等分的等分點(diǎn)用紅色圓圈在圖上進(jìn)行了標(biāo)注，如圖：同理，運(yùn)用模型可將曲線10等分?？汕蟪?0等分之后每段的弧長(zhǎng)為0.2495，運(yùn)用Matlab求出了所有等分點(diǎn)參數(shù)t的取值。弧長(zhǎng)參數(shù)=0.000=0.0000=0.249=0.2402=0.499=0.4324=0.748=0.6310=0.998=0.7332=1.248=0.8007=1.497=0.8532=1.747=0.8972=1.996=0.9353=2.245=0.9691=2.495=1.0000并繪制出了將弧長(zhǎng)進(jìn)行10

14、等分的圖像，并對(duì)弧長(zhǎng)10等分的等分點(diǎn)進(jìn)行了標(biāo)注。六模型評(píng)價(jià)6.1模型一的評(píng)價(jià)6.1.1優(yōu)點(diǎn)（1）模型簡(jiǎn)單，通過(guò)一個(gè)貝塞爾曲線模型給出了屏幕上任意4點(diǎn)需要滿足的條件，利用限制條件繪制出了美觀的圖像，便于觀察。（2）該模型的原理淺顯易懂，計(jì)算過(guò)程不復(fù)雜，適用性比較強(qiáng)。6.1.2缺點(diǎn)由于所給的數(shù)據(jù)較少，繪制出的圖像不是特別準(zhǔn)確，存在一定的誤差。6.2模型二的評(píng)價(jià)6.2.1優(yōu)點(diǎn)（1）模型簡(jiǎn)單，原理淺顯易懂，思路明確，直奔主題。（2）利用了微積分求弧長(zhǎng)，化曲為直，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。6.2.2缺點(diǎn)在計(jì)算n等分點(diǎn)時(shí)，過(guò)程較為繁瑣，復(fù)雜。參考文獻(xiàn)1劉衛(wèi)國(guó)，MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用（第二版）M.北京：高等教育出

15、版社，2006.2龔純,王正林編.MATLAB語(yǔ)言常用算法程序集.北京：電子工業(yè)出版社,2008.3王正林等編.MATLAB/Simulink與控制系統(tǒng)仿真（第2版）.北京：電子工業(yè)出版社,20084夏瑋等編.MATLAB控制系統(tǒng)仿真與實(shí)例詳解.北京：人民郵電出版社.2008.5張靜等編.MATLAB在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用.北京：電子工業(yè)出版社,2007 6方康玲編,過(guò)程控制及其MATLAB實(shí)現(xiàn)(第2版).北京：電子工業(yè)出版社,2013附錄問(wèn)題1 t=0:0.01:1; x=-5*t.3+6*t.2+1; y=t.3-6*t.2+6*t+1; plot(x,y,-b); hold on x0=1;

16、1;3;2 y0=1;3;3;2; plot(x0,y0,r) x1=1;1; y1=1;3; plot(x1,y1,-g) t=0:0.01:1; x=-5*t.3+6*t.2+1; y=t.3-6*t.2+6*t+1; plot(x,y,-b); hold on x0=1;1;3;2; y0=1;3;3;2; plot(x0,y0,r) x2=3;2; y2=3;2; plot(x2,y2,-g)問(wèn)題二（1）驗(yàn)證當(dāng)參數(shù)作4等分，即時(shí)，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)不是4等分的程序：t=0:0.01:0.25x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.

17、*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:b);hold on t=0.25:0.01:0.5x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,*:r);hold on t=0.5:0.01:0.75x2=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y2=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x2,y2,*:g);hold on t=0.75:0.01:1x3=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y3=1.5+0.3.

18、*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x3,y3,*:k);（2）由已知的參數(shù)方程求出的總弧長(zhǎng)的程序： function f=ft(t)f=sqrt(0.3+7.8.*t-14.1.*t.2).2+(0.3+1.8.*t-8.1.*t.2).2);endS=quad(ft,0,1)S=2.4952（3）由已知的參數(shù)方程繪制出弧長(zhǎng)4等分的程序：t=0:0.01:1x=0.5+0.3.*t+3.9.*t.*t-4.7.*t.3;y=1.5+0.3.*t+0.9.*t.*t-2.7.*t.3;plot(x,y,-b);hold ont0=0.55;0.8;0.918;x0=0.5+0.3.*t0+3.9.*t0.*t0-4.7.*t0.3;y0=1.5+0.3.*t0+0.9.*t0.*t0-2.7.*t0.3;plot(x0,y0,ro)