現(xiàn)代控制理論-穩(wěn)定性

1、現(xiàn)代控制理論 Modern Control Theory 第三章第三章 控制系統(tǒng)的李亞普諾夫控制系統(tǒng)的李亞普諾夫 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 3.23.2 李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性 3.33.3 李亞普諾夫穩(wěn)定性定理李亞普諾夫穩(wěn)定性定理 3.4 3.4 線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析 3.1 3.1 李亞普諾夫第二法的概述李亞普諾夫第二法的概述 一、物理基礎(chǔ)一、物理基礎(chǔ) 一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)要能正常工作，必須首先是 一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，即當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾后，顯然 它的平衡狀態(tài)被破壞，但在外擾去掉以后，它仍有 能力自動(dòng)地在平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性 能，通

2、常叫做穩(wěn)定性穩(wěn)定性，它是系統(tǒng)的一個(gè)動(dòng)態(tài)屬性。 舉例說明： 1.1.電壓自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)電壓自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)-保持電機(jī)電壓恒定 2.2.電機(jī)自動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)電機(jī)自動(dòng)調(diào)速系統(tǒng)-保持電機(jī)轉(zhuǎn)速一定 3.3.火箭飛行系統(tǒng)火箭飛行系統(tǒng)-保持航向?yàn)橐欢?具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。 不具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)。 穩(wěn)定性概念穩(wěn)定性概念 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性-系統(tǒng)在受到外界干擾后，系系統(tǒng)在受到外界干擾后，系 統(tǒng)偏差量（被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值）過統(tǒng)偏差量（被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值）過 渡過程的收斂性，渡過程的收斂性， 用數(shù)學(xué)方法表示用數(shù)學(xué)方法表示就是：就是： lim t x t 現(xiàn)代控制理論的

3、優(yōu)點(diǎn)現(xiàn)代控制理論的優(yōu)點(diǎn) 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷 1. 1.勞斯勞斯- -赫爾維茨判劇赫爾維茨判劇 2.2.奈奎斯特穩(wěn)定判劇奈奎斯特穩(wěn)定判劇 現(xiàn)代控制系統(tǒng)現(xiàn)代控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，非線性或時(shí)變, 上述穩(wěn)定判劇難以勝任上述穩(wěn)定判劇難以勝任; ; 通用的方法是李亞普諾夫第二法通用的方法是李亞普諾夫第二法. . 李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù) 1982年，李亞普諾夫歸納出兩種方法 李亞普諾夫第一法李亞普諾夫第一法: : 解系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果特征方程的根全部 具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近是穩(wěn)定的. 李亞普諾夫第二法（也稱直接法）李亞普

4、諾夫第二法（也稱直接法）: : 不必求解系統(tǒng)的微分方程式，就可以對(duì) 系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析判斷，而且給出的穩(wěn) 定信息不是近似的。它提供了判別所有系統(tǒng) 穩(wěn)定性的方法。 李亞普諾夫第二法建立的物理事實(shí)： 如果一個(gè)系統(tǒng)的某個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即如果一個(gè)系統(tǒng)的某個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即: : 那么隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，其貯存的能量將隨著時(shí)間那么隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，其貯存的能量將隨著時(shí)間 的增長(zhǎng)而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極的增長(zhǎng)而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極 小值。小值。 X t lim e x 對(duì)系統(tǒng)而言，并沒有這樣的直觀性，因此， 李亞普諾夫引入了“廣義能量函數(shù)廣義能量函數(shù)”，稱之，稱之 為

5、李亞普諾夫函數(shù)，為李亞普諾夫函數(shù)，表示為 ,它是狀 態(tài) 和時(shí)間t的函數(shù)。 如果動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則僅當(dāng)存在依賴于如果動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則僅當(dāng)存在依賴于 狀態(tài)變量的李亞普諾夫函數(shù)狀態(tài)變量的李亞普諾夫函數(shù) 對(duì)任意對(duì)任意 （平衡點(diǎn)）時(shí)，（平衡點(diǎn)）時(shí)， 成立，且對(duì)成立，且對(duì) 時(shí)，才有時(shí)，才有 。 ()V X,tX,t 12 , n 12 ( )(,) n VVX X e e X XX X ( ) 0( ) 0、VVX XX X e e X XX X ( )( )0 VVX XX X 李亞普諾夫第二法可歸結(jié)為李亞普諾夫第二法可歸結(jié)為: : 1.在不直接求解的前提下， 2. 3. 就可給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定

6、性的信息。就可給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息。 應(yīng)用李亞普諾夫穩(wěn)定理論的關(guān)鍵: 能否找到一個(gè)合適的李亞普諾夫函數(shù)! -尚未有一個(gè)簡(jiǎn)便的、一般性的方法！ )( t tX X, ,V )(t tX X, ,V * 由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜，對(duì)李亞普諾夫穩(wěn)定 理論的研究和應(yīng)用受到人們的重視； * 特別是在從典型的數(shù)學(xué)函數(shù)典型的數(shù)學(xué)函數(shù)及非線性特性非線性特性出發(fā) 尋求李亞普諾夫函數(shù)方面頒有進(jìn)展。 * 李亞普諾夫函數(shù) 是對(duì)前述的不具有直觀性 的物理事實(shí)的表現(xiàn)，這個(gè)“廣義能量廣義能量”概念與 能量概念又不完全相同。 李亞普諾夫函數(shù)的選取不是唯一的！李亞普諾夫函數(shù)的選取不是唯一的！ 很多情況下

7、李亞普諾夫函數(shù)可取為二次型很多情況下李亞普諾夫函數(shù)可取為二次型 二次型及其定號(hào)性，是該理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 ()VX X, , t t 二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) (二次型及其定號(hào)性二次型及其定號(hào)性) 1 1二次型二次型 n個(gè)變量個(gè)變量 的二次齊次多項(xiàng)式的二次齊次多項(xiàng)式: : 稱為二次型。稱為二次型。 式中， 是二次型的系數(shù)。 設(shè) ，既對(duì)稱且均為實(shí)數(shù)。 n , 21 2 2211 22 2 2222121 112112 2 11121 ),( nnnnnnn nn nnn aaa aaa aaa V ), 2 , 1,(nkiaik kiik aa 用矩陣表示二次型較為方便，即 必須指出，二次型是一

8、個(gè)標(biāo)量二次型是一個(gè)標(biāo)量，最 基本的特性就是它的定號(hào)性，定號(hào)性，也就 是V(X X)在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的特性。 111211 212222 12 12 ( ), n n n nnnnn aaa aaa V aaa X XX PXX PX T 定號(hào)性定號(hào)性 (1)(1)正定性正定性 當(dāng)且僅當(dāng) X X=0 時(shí)，才有V(X X)=0； 對(duì)任意非零X X，恒有V(X X)0，則V(X X)為正定。 (2)(2)負(fù)定性負(fù)定性 當(dāng)且僅當(dāng)X X0時(shí)才有V(X X)0； 對(duì)任意非零X X，恒有V(X X)0，則V(X X)為負(fù)定。 (3)(3)正半定性與負(fù)半定性正半定性與負(fù)半定性 如果對(duì)任意X X0，恒有V(X X

9、)0，則V(X X)為正半定。 如果對(duì)任意X X0，恒有V(X X)0，則V(X X)為負(fù)半定。 (4)(4)不定性不定性 如果無論取多么小的零點(diǎn)的某個(gè)鄰域,V(X X)可為正值也可 為負(fù)值則V(X X)為不定。 賽爾維斯特準(zhǔn)則賽爾維斯特準(zhǔn)則 二次型 或?qū)ΨQ矩陣P P為正定的充要條件正定的充要條件是 P P的主子行列式均為正的主子行列式均為正，即 如果 則P P為正定，即V(X X) 正定。 二次型 或?qū)ΨQ陣P P為負(fù)定的充要條件負(fù)定的充要條件是： P P的主子行列式滿足的主子行列式滿足 ( ( 為奇數(shù)為奇數(shù)) )； ( ( 為為 偶數(shù)偶數(shù)) =1,2,) =1,2, 。 返回 P PX XX

10、 XX X T )( V nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 P P , 0, 0, 0 2221 1211 2111 P P n aa aa a P PX XX XX X T )( V 0 i ii0 i i 3.23.2李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性 研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，實(shí)質(zhì)上是研究系統(tǒng)平衡狀 態(tài)的情況。一般說來，系統(tǒng)可描述為 式中 X X為 n 維狀態(tài)向量。當(dāng)在任意時(shí)間都能滿足 (3.1) 時(shí)，稱 為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)。凡滿足式(3.1)的一 切X X值均是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，對(duì)于線性定常系 統(tǒng) ，A A為非奇異時(shí),X X=0是其唯一

11、的平 衡狀態(tài)，如果A A是奇異的則式(3.1)有無窮多解， 系統(tǒng)有無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng)，有一 個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。 ),(tfX XX X 0),(tf e e X X e X X X XX XAtf),(X X 由式(3.1)可知，在系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，狀態(tài)變量的 變化率為0，由古典控制理論知道，該點(diǎn)即為奇 點(diǎn)，因此，系統(tǒng)微分方程式的奇點(diǎn)代表的就是系 統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中的平衡點(diǎn)。 任何彼此孤立的平衡點(diǎn)，均可以通過坐標(biāo)的變 換，將其移到坐標(biāo)原點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，這就是經(jīng)常以坐標(biāo)原點(diǎn) 作為平衡狀態(tài)來研究的原因，因此常用的連續(xù)系 統(tǒng)的平衡狀態(tài)表達(dá)式為 對(duì)同一問題用不同理論去研究會(huì)得到不同含義 的結(jié)果與

12、解釋。如非線性系統(tǒng)中的自由振蕩，古 典的穩(wěn)定性理論認(rèn)為是不穩(wěn)定的，而李亞普諾夫 穩(wěn)定性理論則認(rèn)為是穩(wěn)定的。 0),(tf 0 因此，明確李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定定義是重要的。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 設(shè) 且系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 。有擾 動(dòng)使系統(tǒng)在 時(shí)的狀態(tài)為 ，產(chǎn)生初始偏 差 ，則 后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從 開始隨時(shí) 間發(fā)生變化。 由數(shù)學(xué)中數(shù)的概念知道， 表示初始偏差 都在以 為半徑，以平衡狀態(tài) 為中心的閉球 域S( )里，其中 稱為范數(shù)稱為范數(shù)， 分別為 與 的分量。 )(),(ttfu uX XX X 0)( tu u 0)(,tf ee X XX X 0 tt e X X e X X- -X X 00 t

13、t 0 X X e X XX X 0 e X X 2 1 2 0 2 220 2 1100 )()()( neneee X XX XX XX XX XX XX XX X ), 2 , 1( 0 ni iei 、 0 X X e X X 同樣 表示平衡狀態(tài)偏差都在以 為半徑， 以平衡狀態(tài) 為中心的閉球域: S( ) 里。式中范數(shù) 為X的分量。 )( 0 tt e X XX X e X X 2 1 22 22 2 11 )()()( neneee X XX X )., 2 , 1(ni i 下面用二維空間圖3.1來說明李亞普諾夫定 義下的穩(wěn)定性。 1穩(wěn)定與一致穩(wěn)定 設(shè) 為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 的一個(gè) 孤立平

14、衡狀態(tài)。如果對(duì)球域S( ) 或任 意正實(shí)數(shù) 0，都可找到另一個(gè)正實(shí) 數(shù) 或球域 S( )，當(dāng)初始狀態(tài) 滿足 時(shí)，對(duì)由此出發(fā)的X X 的運(yùn)動(dòng)軌跡有 ，則此系統(tǒng) 為李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。如果如果 與初始時(shí)刻與初始時(shí)刻 無關(guān)，無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)則稱平衡狀態(tài) 為一致穩(wěn)定。為一致穩(wěn)定。 e X X),(tf X XX X ),( 0 t 0 X X ),( 00 t e X XX X e t X XX Xlim 0 t e X X 2漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定 設(shè) 為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng) 的一個(gè)孤立平衡狀 態(tài)，如果如果 是穩(wěn)定的，且從充分靠近是穩(wěn)定的，且從充分靠近 的任一初始的任一初始 狀態(tài)狀

15、態(tài) 出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡 有 或 即收斂于平衡狀態(tài)收斂于平衡狀態(tài) ，則稱稱 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定為漸近穩(wěn)定。如果 與初始時(shí)刻 無關(guān)， 則稱平衡狀態(tài) 為一致漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定性等價(jià) 于工程意義上的穩(wěn)定性。 ),(tf X XX X 0lim e t X XX X ), 2 , 1( 0)(limni iei t 0 t e X X e X X e X X e X X e X X 0 X X e X X 如果對(duì)狀態(tài)空間中的任意點(diǎn)，不管初 始偏差有多大，都有漸近穩(wěn)定特性。 即 對(duì)所有點(diǎn)都 成立，稱平衡狀態(tài) 為大范圍漸近穩(wěn) 定?？梢?，這樣的系統(tǒng)只能有一個(gè)平 衡狀態(tài)。由于線性

16、定常系統(tǒng)有唯一解， 所以如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的， 則它一定也是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。 ), 2 , 1(0)(limni iei t e X X 在控制工程中確定大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的 范圍是很重要的，因?yàn)闈u近穩(wěn)定性是個(gè)局 部概念，知道漸近穩(wěn)定的范圍，才能明確 這一系統(tǒng)的抗干擾程度、從而可設(shè)法抑制 干擾，使它滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求。古典 控制理論的穩(wěn)定性概念，只牽涉到小的擾 動(dòng)，沒有涉及大范圍擾動(dòng)的問題，因此它 是有局限性的。 3不穩(wěn)定 如果平衡狀態(tài)如果平衡狀態(tài) 既不是漸近穩(wěn)定的，既不是漸近穩(wěn)定的， 也不是穩(wěn)定的，當(dāng)也不是穩(wěn)定的，當(dāng) 并無限增大時(shí)，并無限增大時(shí)， 從從 出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡最終超越出發(fā)

17、的運(yùn)動(dòng)軌跡最終超越 域，則稱平衡狀態(tài)域，則稱平衡狀態(tài) 為不穩(wěn)定的。為不穩(wěn)定的。 返回 e X X 0 tt S e X X 0 X X 3.3 李亞普諾夫穩(wěn)定性定理李亞普諾夫穩(wěn)定性定理 定理定理3.13.1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中，式中， 如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo) 量函數(shù) 存在，并且滿足以下條件： 是正定的是正定的； 是負(fù)定的是負(fù)定的。 則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的漸近穩(wěn)定的。如果隨著 有 ， 則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài) 是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。 ),(tf X XX X )(0), 0( 0 tttf )(t tX X, ,V ()V X X, ,t t () V X X, ,t t ,X

18、X )( t tX X, ,V 例例3.13.1 設(shè)系統(tǒng)方程為 試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性。 )( )( 2 2 2 1212 2 2 2 1121 xxxxx xxxxx 解解: : 很明顯，原點(diǎn) 是給定系統(tǒng)的唯一平 衡狀態(tài)，選取一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù) 為 則 將系統(tǒng)方程代人上式得 （V(X X)為正定） 又由于 時(shí)， ，因此系統(tǒng)在平 衡點(diǎn)(0，0)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 ) 0, 0( 21 )(X XV 22 12 ( )V X X 2211 22)( X XV 2 2 2 2 1 )(2)(X XV X X)(X XV 定理定理3.23.2 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中， 。如果存在一標(biāo)量函

19、數(shù) ， 它有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足以下條件： 是正定正定的； 是負(fù)負(fù)半半定定的； 對(duì)任意 和任意 在 時(shí)不 恒等于零。 則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果還有 時(shí)， ，則為大范圍漸近穩(wěn)定。式 中 表示 時(shí)從 出發(fā)的解軌跡。 ),( tf X XX X )( 0), 0 ( 0 tttf )( t tX X, ,V ()V X X, ,t t () V X X, ,t t ),( 00 tttX X V 0 t 0 , 0tt X X)(t tX,X,V ),( 00 ttX X 0 tt 0 由于 不是負(fù)定的，而只是負(fù) 半定的，則典型點(diǎn)的軌跡可能與某個(gè) 特定的曲面 相切。 然而,由于 對(duì)

20、于任意 和任意 在 時(shí)不恒等于零， 所以典型點(diǎn)就不可能保持在切點(diǎn)處(在 切點(diǎn)上 ），而必須運(yùn)動(dòng)到原 點(diǎn). )( t tX X, ,V )( t tX X, ,V 00 ( , ), tttV X X 0 t 0 0 X X 0 tt 0)(t tX X, ,V 例例3.23.2 設(shè)系統(tǒng)方程為 確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解解: : 顯然，原點(diǎn)(0，0)為給定系統(tǒng)的唯一平 衡狀態(tài)。選取標(biāo)準(zhǔn)型二次函數(shù)為李氏函數(shù)，即 （V(X X)為正定） 當(dāng) 時(shí)， 因此 是負(fù)半定的。 212 21 2 22211 2 2 2 1 222),( ),( t t X X X X V V 00 21 、0)(t tX

21、X, ,V 0),(00 21 tX XV時(shí) ，、 )(t tX,X,V 下面我們進(jìn)一步分析 的定號(hào)性，即當(dāng) 時(shí)， 是否恒等于零。由于 恒等于零，必需要求 在 時(shí) 恒等于零，而 恒等于零又必需要求 恒等于 零。但從狀態(tài)方程 來看，在 時(shí)， 要使 和 ，必需滿足 等于零的 條件。這表明 只可能在原點(diǎn) 處恒等于零，因此系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是 漸近穩(wěn)定的。又由于 時(shí),有 ， 所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn) 定的。 )(t tX X, ,V 00 21 、)(t tX X, ,V 2 2 2)(t tX X, ,V 0 t t 212 )(X XV X X )(t tX X, ,V ) 0

22、, 0( 21 0 2 2 0 2 1 2 2 x 2 x 2 2 x 0 tt 若在例中選取如下正定函數(shù)為李氏函數(shù)，即 則 是負(fù)定的。 而且當(dāng) 時(shí)，有 所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定 的。 由以上分析看出，選取不同的李氏函數(shù)選取不同的李氏函數(shù)， 可能使問題分析得出不同的結(jié)果。上面第 二種情況下的選擇，消除了進(jìn)一步對(duì) 判別的必要性。 )()( 2 2 2 1 t tX X, ,V X X,)(t tX X, ,V )(t tX,X,V 定理定理3.33.3 設(shè)系統(tǒng)方程為 式中， 。如果存在一標(biāo)量函 數(shù) ，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿 足以下條件： 是正定正定的； 是負(fù)半定負(fù)半定的，

23、但在某一X X值恒為零。 則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫定 義下是穩(wěn)定的。但非漸近穩(wěn)定。這時(shí)系統(tǒng) 可以保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。 ),(tf X XX X )( 0), 0( 0 tttf )(t tX X, ,V )(t tX X, ,V )( t tX X, ,V 例例3.33.3 系統(tǒng)方程為 試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解解 顯然，原點(diǎn)為平衡狀態(tài)。選取正定 函數(shù)為李氏函數(shù)，即 則 由上式可見， 在任意 X X值上均可保持 為零，則系統(tǒng)在李亞普諾夫定義下是穩(wěn)定 的但不是漸近穩(wěn)定的。 12 11 K ) 0()()( 2 2 2 1 KKt tX X, ,V 02222)( 2

24、1212211 KKK t tX X, ,V )(t tX,X,V 定理定理3.43.4 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 式中， 。如果存在一標(biāo)量函 數(shù) ，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)， 且滿足以下條件： 在原點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)是正定正定的； 在同樣的領(lǐng)域內(nèi)是正定正定的； 則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的。 ),(tf X XX X 0 (0, )0 ()fttt )( t tX X, ,V )( t tX X, ,V )(t tX X, ,V 例例3.43.4 設(shè)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 顯然坐標(biāo)原點(diǎn) 為其平衡狀態(tài)。 試判斷系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處平衡狀態(tài)的穩(wěn)定穩(wěn)定 性。性。 te et t t 2 212 2 2 11

25、 cos sin ) 0, 0( 21 解解 可以找一個(gè)函數(shù) 為 顯然， 為一標(biāo)量函數(shù)，在 平面上的第一、 三象限內(nèi)，有 是正定的。在此區(qū)域內(nèi)取 的全導(dǎo)數(shù)得 所以當(dāng) 時(shí)， 因此根據(jù)定理4可知， 系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 返回 )(X XV 12 ( )2 t e V X X )(X XV 21 0)(X XV )( 22)( 22 )(2)( 2 2 2 121 2 2 2 121 1211 tt t ee eX XV 0)(X XV 0)(X XV 3.4 3.4 線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)線性系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn) 定性分析定性分析 由李亞普諾夫穩(wěn)定理論可知，在尋求 函數(shù)時(shí)，要 使

26、和 具有定號(hào)性，兩者的符號(hào)相反，表示穩(wěn)定兩者的符號(hào)相反，表示穩(wěn)定； 兩者的符號(hào)相同，表示不穩(wěn)定兩者的符號(hào)相同，表示不穩(wěn)定；或者希望 或 中至少有一個(gè)是定號(hào)的，才能對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行判斷。 因此在構(gòu)造 函數(shù)時(shí)，或者先試構(gòu)造出 是正定 的，然后考察 的符號(hào)；或者先給出 是負(fù)定的， 然后確定 是否為正定；或者使 為正定，從系統(tǒng)穩(wěn) 定性要求出發(fā)，推導(dǎo)出對(duì)于系統(tǒng)的限制。由上一節(jié) 例題可見，對(duì)于某些簡(jiǎn)單系統(tǒng)，特別是線性系統(tǒng)或 近似線性系統(tǒng)，通常可取 為X X 的二次型。 V VV VV VV V V VV V 一、一、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 設(shè)線性定常系統(tǒng)為 (3.2) 式中， 為 維

27、狀態(tài)向量， 是 X 常系數(shù)矩陣，假設(shè) 是非奇異矩陣。因?yàn)榕卸ㄏ到y(tǒng)的穩(wěn)定性，主要取決 自由響應(yīng)，所以令控制作用 =0 ，由系統(tǒng)狀態(tài)方 程知，系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是原點(diǎn) 。 對(duì)于式(3.2)確定的系統(tǒng)，選取如下形式的正定無 限大 函數(shù)，即 式中，P P是一個(gè)正定的赫米特矩陣(即復(fù)空間內(nèi)的二次 型，如果X X是一個(gè)實(shí)向量則可取正定的實(shí)對(duì)稱矩 陣)。 沿軌跡的導(dǎo)數(shù)為 A AX XX X X XnA Ann A A u 0X X V P PX XX XX X T )(V )(X XV PA)XPA)XP P(A(AX XPAXPAXX XPXPXA AX X PAXPAXX XPXPXAX)AX)X XP

28、 PX XPXPXX XX X TTTTT TTTT ()( V 對(duì)于系統(tǒng)在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定性來說，要求 是負(fù)定的，因此必須有 為負(fù)定。式中 (3.3) 由上式可知，在已知P P是正定的條件下，找 到滿足式(3.3)的一個(gè)赫米特矩陣(或?qū)崒?duì)稱 短陣)Q是正定的，則由式(3.2)描述的系統(tǒng)在 原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)，必是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定 的。這樣得到如下定理。 )(X XV Q QX XX X T )(X XV )(P PA AP PA AQ Q T 定理定理3.53.5 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 式中， 是 維狀態(tài)向量， 是 常系數(shù)矩陣， 且是非奇異的。若給定一個(gè)正定的赫米特矩 陣(包括實(shí)對(duì)稱矩陣) Q Q

29、 ，存在一個(gè)正定的赫 米特矩陣(或?qū)崒?duì)稱矩陣)P，使得滿足如下矩 陣方程 則系統(tǒng)在X X0處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近 穩(wěn)定的，而標(biāo)量函數(shù) 就是系統(tǒng)的李亞普 諾夫函數(shù)。對(duì)該定理需要說明如下幾點(diǎn)。 A AX XX X X Xn A Ann Q QP PA AP PA A T P PX XX X T 如果 沿任意一條軌跡不恒等于零， 則Q Q可取做半正定矩陣。 該定理闡述的條件，是充分且必要充分且必要的。 因?yàn)檎▽?duì)稱矩陣Q Q的形式可任意給定，且最終的 判斷結(jié)果將和Q Q的不同形式選擇無關(guān)，所以通常取通常取Q Q I(I(單位陣單位陣) )較為方便。這樣線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) 平衡狀平衡狀 態(tài)態(tài)X X0

30、 0為漸近穩(wěn)定的充要條件為：存在一個(gè)正定對(duì)為漸近穩(wěn)定的充要條件為：存在一個(gè)正定對(duì) 稱矩陣稱矩陣P P，滿足矩陣方程，滿足矩陣方程 將上述定理同從 的特征值分布來分析系統(tǒng)穩(wěn)定 性聯(lián)系起來看，它實(shí)際上就是 中矩陣 的特 征值均具有負(fù)實(shí)部的充要條件。 Q QX XX XX X T )(V A AX XX X T A A P PP PA AI I A A A A A AX XX X 可以證明，要求特征值均具有 小于某一數(shù)值的負(fù)實(shí)部，即 的充要條件(即考慮衰減程度) 是：對(duì)任意給定的正定對(duì)稱矩 陣Q Q ，存在正定對(duì)稱陣P P，它 為矩陣方程 的解。 )( ie R Q QP P- -PAPAP PA

31、A2 T 證明證明 用上述定理考察系統(tǒng) ，若特征值均具 有負(fù)實(shí)部(充要條件是對(duì)任意正定對(duì)稱矩陣Q Q，存 在正定對(duì)稱矩陣P P，滿足 )，對(duì)系統(tǒng)作 平移變換,將 代替上式中的A A，則有 即: A AX XX X Q QP PA AP PA A T I IA A Q QA AA A)()(I IP PP PI I T Q QP P- -P PA AP PA A2 T 例例3.53.5 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 顯然，坐標(biāo)原點(diǎn)是系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài), 試確定系統(tǒng)在該平衡狀態(tài)下的漸近穩(wěn)定 性條件，并求出系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)。 2 1 2221 1211 2 1 aa aa 解解 設(shè)系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)為

32、式中P P由下式?jīng)Q定 取Q Q=I I，得 展開得 解上式得 P PX XX XX X T )( V Q QP PA AP PA A T 10 01 2221 1211 2221 1211 2221 1211 2212 2111 aa aa pp pp pp pp aa aa 1)( 2 0)( 1)( 2 22221212 21221211221112 22121111 apap apapaap apap A AA A A A A AA A A AA AA AA A A A rr rr T aa T aaaa T aaaa T aa pp pp 22 22 2 12 2 11 11212212 11212212 2 22 2 21 2221 1211 P P 式中， 叫作系統(tǒng)方程中矩陣A A的跡(代表矩陣A A的主對(duì) 角線上的各元素之和）。 是系統(tǒng)矩陣A A的行列 式。 顯然，要使矩陣P P是正定的，必須使 于是可得 若滿足此不等