建筑力學(xué)之材料力學(xué)第9章(華南理工)

1、 第第9章章 組合變形組合變形 9-1 組合變形的概念組合變形的概念 在實際工程中在實際工程中, 桿件受力后發(fā)生的變形桿件受力后發(fā)生的變形, 往往不僅是單一的基往往不僅是單一的基 本變形本變形(拉伸、壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲拉伸、壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲), 而是由兩種或兩種以上而是由兩種或兩種以上 基本變形的組合基本變形的組合. 桿件在外力作用下桿件在外力作用下, 同時發(fā)生兩種或兩種以上的同時發(fā)生兩種或兩種以上的 基本變形基本變形, 稱為組合變形。稱為組合變形。 水箱中的水重使水箱中的水重使 下面支承的桿件受壓下面支承的桿件受壓 , 發(fā)生壓縮變形發(fā)生壓縮變形, 由于由于 水塔比較高水塔比較高,

2、同時還同時還 受一定的側(cè)向風(fēng)壓受一定的側(cè)向風(fēng)壓, 桿件還要發(fā)生彎曲變桿件還要發(fā)生彎曲變 形形, 這樣這樣, 水塔在水重水塔在水重 和風(fēng)力的共同作用下和風(fēng)力的共同作用下 , 將同時發(fā)生壓縮和將同時發(fā)生壓縮和 彎曲兩種基本變形。彎曲兩種基本變形。 F作用下桿件發(fā)生彎曲作用下桿件發(fā)生彎曲 變形變形, Me作用下桿件發(fā)生扭作用下桿件發(fā)生扭 轉(zhuǎn)變形轉(zhuǎn)變形, F、Me共同作用下共同作用下, 桿件同時發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)兩桿件同時發(fā)生彎曲和扭轉(zhuǎn)兩 種基本變形。種基本變形。 9-2 斜彎曲斜彎曲 平面彎曲平面彎曲: 外力外力F的作用線與的作用線與 截面的豎向?qū)ΨQ軸重合截面的豎向?qū)ΨQ軸重合, 梁彎梁彎 曲后的撓曲線位

3、于外力所在的曲后的撓曲線位于外力所在的 縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)?？v向?qū)ΨQ平面內(nèi)。 斜彎曲斜彎曲: 外力外力F的作用線雖然的作用線雖然 通過截面的形心通過截面的形心, 但不與截面但不與截面 的對稱軸的對稱軸(形心主軸形心主軸)重合重合, 梁梁 彎曲后撓曲線不位于外力彎曲后撓曲線不位于外力F所所 在的縱向平面內(nèi)。在的縱向平面內(nèi)。 一、正應(yīng)力計算一、正應(yīng)力計算 =cos , =sin yz FFFF =cos zy MFa Fa =cosM =sin yz MF a Fa =sinM 任意截面上的彎矩任意截面上的彎矩: F在在y、z方向的分量方向的分量: 一、正應(yīng)力計算一、正應(yīng)力計算 =cos , =sin

4、 yz FFFF =cos zy MFa Fa =cosM =sin yz MF a Fa =sinM 任意截面上的彎矩任意截面上的彎矩: F在在y、z方向的分量方向的分量: 在在Fy和和Fz單獨作用下單獨作用下, n-n截面上任一點截面上任一點K 處的正應(yīng)力分別為處的正應(yīng)力分別為: =, = y z zy MM yz II 在在Fy和和Fz共同作用下共同作用下, K點的正應(yīng)力為點的正應(yīng)力為: =+=+ y z zy MM yz II cossin =+ zy Myz II cossin =+ zy Myz II 梁斜彎曲時橫截面上任梁斜彎曲時橫截面上任 一點的正應(yīng)力計算公式一點的正應(yīng)力計算公

5、式 一、正應(yīng)力計算一、正應(yīng)力計算 cossin =+ zy Myz II 二、中性軸的位置二、中性軸的位置 中性軸上各點的正應(yīng)力都等于零中性軸上各點的正應(yīng)力都等于零, 用用y0、z0代表中性軸上任一代表中性軸上任一 點的坐標(biāo)點的坐標(biāo), 將公式中的將公式中的y、z用用y0、z0來代替并令來代替并令=0, 便得到中性軸便得到中性軸 方程方程, 即即: 00 cossin +=0 zy Myz II 顯然顯然, y0=0、z0=0滿足該方程滿足該方程, 這說明中性軸為通過該截面形這說明中性軸為通過該截面形 心的一條直線。心的一條直線。 二、中性軸的位置二、中性軸的位置 中性軸上各點的正應(yīng)力都等于零中

6、性軸上各點的正應(yīng)力都等于零, 用用y0、z0代表中性軸上任一代表中性軸上任一 點的坐標(biāo)點的坐標(biāo), 將公式中的將公式中的y、z用用y0、z0來代替并令來代替并令=0, 便得到中性軸便得到中性軸 方程方程, 即即: 00 cossin +=0 zy Myz II 顯然顯然, y0=0、z0=0滿足該方程滿足該方程, 這說明中性軸為通過該截面形這說明中性軸為通過該截面形 心的一條直線。心的一條直線。 cossin =+ zy Myz II 0 0 tan = y z 0 0 =tan z y Iy zI tan =tan z y I I 確定中性軸確定中性軸 位置的公式位置的公式 與平面彎曲類似與平

7、面彎曲類似, 斜彎曲時斜彎曲時, 橫截面橫截面 上的正應(yīng)力以中性軸為界上的正應(yīng)力以中性軸為界, 一側(cè)為拉應(yīng)一側(cè)為拉應(yīng) 力力, 另一側(cè)為壓應(yīng)力另一側(cè)為壓應(yīng)力, 各點的正應(yīng)力值與各點的正應(yīng)力值與 該點到中性軸的距離成正比。該點到中性軸的距離成正比。 三、正應(yīng)力強度條件三、正應(yīng)力強度條件 對工程中常用的矩形截面工字形截面等有棱角的截面梁對工程中常用的矩形截面工字形截面等有棱角的截面梁, 在在 計算斜彎曲危險截面上的最大正應(yīng)力時計算斜彎曲危險截面上的最大正應(yīng)力時, 可不必先確定中性軸的可不必先確定中性軸的 位置。因為這類梁的橫截面具有兩個對稱軸位置。因為這類梁的橫截面具有兩個對稱軸, 最大正應(yīng)力一定位

8、最大正應(yīng)力一定位 于截面邊緣的角點處于截面邊緣的角點處, 當(dāng)將斜彎曲分解為兩個平面彎曲后當(dāng)將斜彎曲分解為兩個平面彎曲后, 很容很容 易找到最大正應(yīng)力的所在位置。易找到最大正應(yīng)力的所在位置。 最大拉應(yīng)力危險點最大拉應(yīng)力危險點 最大壓應(yīng)力危險點最大壓應(yīng)力危險點 ,max,max maxmaxmax =+ yz zy MM yz II ,max,max =+ yz zy MM WW 由于危險點處的應(yīng)力狀由于危險點處的應(yīng)力狀 態(tài)是單向應(yīng)力狀態(tài)態(tài)是單向應(yīng)力狀態(tài), 所以所以, 斜斜 彎曲時的強度條件為彎曲時的強度條件為: ,max,max max= + yz zy MM WW ,max,max max=

9、+ yz zy MM WW 解解: 首先作彎矩圖首先作彎矩圖. = cos = sin y z FF F F ,max 1 = 4 zy MF l 1 =cos 4 Fl 1 =3.2kN 3m cos14 4 =2.33kN m ,max 1 = 4 yz MFl 1 =sin 4 Fl 1 =3.2kN 3m sin14 4 =0.58kN m ,max,max max22 66 =+ yz MM bhbh 3 23 6 2.33 10 N m = 0.1 0.14 m 3 3 6 0.58 10 N m + 0.14 0.1m =9.61MPa 9-3 拉伸拉伸(壓縮壓縮)與彎曲的組合變

10、形與彎曲的組合變形 軸向力軸向力F單獨作用時單獨作用時: N = F A 橫向力橫向力q單獨作用時單獨作用時: = z z M y I F、q共同作用下共同作用下, 橫截面上任一點的正應(yīng)力為橫截面上任一點的正應(yīng)力為: N =+=+ z z MF y AI 最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面的上邊緣處最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面的上邊緣處, 其值為其值為: ,max N max= + z z MF AW ,max N max= + z z MF AW 處于單向應(yīng)力狀態(tài)處于單向應(yīng)力狀態(tài) 正應(yīng)力強度條件正應(yīng)力強度條件 這里應(yīng)指明一點這里應(yīng)指明一點: 處于壓彎組合變形的桿件處于壓彎組合變形的桿件, 在橫向力

11、使桿在橫向力使桿 件彎曲后件彎曲后, 軸向力軸向力F對桿件的作用就不是純軸向壓縮了對桿件的作用就不是純軸向壓縮了, 它在橫它在橫 向力引起的位移上還要產(chǎn)生附加彎矩向力引起的位移上還要產(chǎn)生附加彎矩(例如例如, 梁跨中的附加彎矩梁跨中的附加彎矩 M*=Ff ), 此附件彎矩又會影響桿件在橫向力作用下產(chǎn)生的撓度此附件彎矩又會影響桿件在橫向力作用下產(chǎn)生的撓度, 這種問題稱為桿件的縱橫彎曲問題。所以這種問題稱為桿件的縱橫彎曲問題。所以, 對壓彎組合變形桿件對壓彎組合變形桿件 來說來說, 只有當(dāng)桿件的抗彎剛度只有當(dāng)桿件的抗彎剛度EI比較大時比較大時, 按時按時(9-4)與與(9-5)的計的計 算才是正確的

12、。算才是正確的。 ,max N max= + z z MF AW ,max N max= + z z MF AW 處于單向應(yīng)力狀態(tài)處于單向應(yīng)力狀態(tài) 正應(yīng)力強度條件正應(yīng)力強度條件 ,max N max= + z z MF AW ,max N max= + z z MF AW 處于單向應(yīng)力狀態(tài)處于單向應(yīng)力狀態(tài) 正應(yīng)力強度條件正應(yīng)力強度條件 例例9-2 矩形截面懸臂梁矩形截面懸臂梁, 已知已知l=1.2m, b=100mm, h=150mm, F1=2kN , F2=1kN. 試求梁橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。試求梁橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。 解解: F1作用下桿件軸向受拉作用下桿件軸

13、向受拉, F2作用下桿件發(fā)生平面彎曲。梁作用下桿件發(fā)生平面彎曲。梁 橫截面上最大拉應(yīng)力發(fā)生在固定橫截面上最大拉應(yīng)力發(fā)生在固定 端截面邊緣處端截面邊緣處, 其值為其值為 ,max N ,max= + z z MF AW 拉 拉 N2 2 6 =+ FFl bh bh 33 223 2 10 N6 1 10 N 1.2m =+ 0.1 0.15m0.1 0.15 m =3.33MPa 最大壓應(yīng)力發(fā)生在固最大壓應(yīng)力發(fā)生在固 定端截面下邊緣處定端截面下邊緣處, 其值為其值為 ,max N ,max= z z MF AW 拉拉 33 223 2 10 N6 1 10 N 1.2m = 0.1 0.15m

14、0.1 0.15 m = 3.07MPa 解解: 梁梁BD受力如圖受力如圖, 由平衡求得由平衡求得: N NR R =23.1kN =40kN =8.1kN y xx y F FF F 在在FRx和和FNx作用下橫作用下橫 梁的梁的BC段受壓段受壓: FN=40kN 在在F作用下橫梁作用下橫梁BD受彎受彎: max2 =21kN mMFl A=35.5cm2 W=237cm3 3 max42 40 10 N = 35.5 10 m 3 63 21 10 N m = 99.9MPa 237 10 m 9-4 偏心拉伸偏心拉伸(壓縮壓縮) 一、單向偏心拉伸一、單向偏心拉伸(壓縮壓縮) F使桿件發(fā)生

15、軸向拉伸使桿件發(fā)生軸向拉伸, Mz使桿使桿 件發(fā)生平面彎曲件發(fā)生平面彎曲, 即單向偏心拉伸即單向偏心拉伸 (壓縮壓縮)為軸向拉伸為軸向拉伸(壓縮壓縮)與平面彎曲與平面彎曲 的組合變形。由前述知的組合變形。由前述知: N =+=+ z z MF y AI 式中式中Mz=Fe, e稱為偏心距稱為偏心距, 正應(yīng)力仍正應(yīng)力仍 是以拉為正是以拉為正, 壓為負(fù)。壓為負(fù)。 最大正應(yīng)力很容易判定最大正應(yīng)力很容易判定(位于右位于右 側(cè)側(cè)), 其值為其值為: N max= + z z MF AW 二、雙向偏心拉伸二、雙向偏心拉伸(壓縮壓縮) 二、雙向偏心拉伸二、雙向偏心拉伸(壓縮壓縮) 軸向力軸向力F作用下作用下

16、, 橫截面上任一點處的正應(yīng)力為橫截面上任一點處的正應(yīng)力為: N = F F AA Mz和和My單獨作用下單獨作用下, 同一點處的正應(yīng)力分別為同一點處的正應(yīng)力分別為: = z z M y I = y y M z I 三者共同作用下三者共同作用下, 該點的正應(yīng)力為該點的正應(yīng)力為: =+=+ y z zy MM F yz AII =+=+ y z zy FeFe F yz AII 或或: 對矩形、工字形等有棱角的截面對矩形、工字形等有棱角的截面, 最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力總是出現(xiàn)在最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力總是出現(xiàn)在 截面的棱角處截面的棱角處, 算出最大正應(yīng)力后算出最大正應(yīng)力后, 可可 依強度條件依強度條

17、件: max= + y z zy MM F AWW max= + y z zy MM F AWW 例例9-4 圖示桿件圖示桿件, 已知已知F=42kN, b=300mm, h=200mm, 試求陰試求陰 影面上影面上A點和點和B點的正應(yīng)力。點的正應(yīng)力。 解解: 將力將力F移至截面形心后移至截面形心后, 對對z軸和軸和y軸的附加力偶矩分別為軸的附加力偶矩分別為 31 =42 10 N0.2m 22 z h MF =4200N m 31 =42 10 N0.3m 22 y b MF =6300N m 3 2 42 10 N = 0.2 0.3m A 23 6 4200N m + 0.3 0.2 m

18、 23 6 6300N m + 0.2 0.3 m =3.5MPa =+ y z B zy MM F AWW = 0.7MPa 例例9-5 試求圖示柱的橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力的最大偏心距。試求圖示柱的橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力的最大偏心距。 解解: 將力將力F移至截面形心后移至截面形心后, 對對z軸的軸的 附加力偶矩為附加力偶矩為 = z MF e 在在F作用下作用下, 橫截面上各點處受壓橫截面上各點處受壓, 應(yīng)力為應(yīng)力為: = FF Abh 在在Mz作用下作用下, 最大拉應(yīng)力發(fā)生在左邊緣最大拉應(yīng)力發(fā)生在左邊緣, 為為: 2 6 = zz z MM W bh 在兩者共同作用下在兩者共同作用下, 令其左

19、邊緣處的令其左邊緣處的 正應(yīng)力等于零正應(yīng)力等于零: 2 6 =+=0 zz z MM FF AWbh bh 2 6 +=0 FF e bh bh max= 6 h e 9-6 彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形 一、內(nèi)力與應(yīng)力分析一、內(nèi)力與應(yīng)力分析 MC使桿件受扭使桿件受扭, F使桿件發(fā)生平面使桿件發(fā)生平面 彎曲彎曲, 剪力剪力FS對強度的影響一般都很小對強度的影響一般都很小 , 可不考慮。可不考慮。 由桿件的扭矩圖和彎矩圖可知由桿件的扭矩圖和彎矩圖可知, 左左 側(cè)固定端面為危險截面。側(cè)固定端面為危險截面。 左側(cè)固定端截面上左側(cè)固定端截面上, 由扭矩和彎曲由扭矩和彎曲 引起的切應(yīng)力和正應(yīng)

20、力的分布規(guī)律如圖引起的切應(yīng)力和正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖 所示所示, 上、下邊緣的上、下邊緣的A、B兩點處兩點處, 切應(yīng)切應(yīng) 力和正應(yīng)力值都最大力和正應(yīng)力值都最大, 故該兩點為危險故該兩點為危險 點。點。 從從A點截取出一單元體點截取出一單元體, 該單元該單元 體上的應(yīng)力情況如圖所示體上的應(yīng)力情況如圖所示, 該點為二該點為二 向應(yīng)力狀態(tài)。向應(yīng)力狀態(tài)。 二、強度計算二、強度計算 2 2 1= +, 22 2 2 3= +, 22 2=0 彎、扭組合變形桿件彎、扭組合變形桿件(如傳動軸如傳動軸)一般采用塑性材料一般采用塑性材料, 所以應(yīng)所以應(yīng) 選用第三或第四強度理論選用第三或第四強度理論: 13 22 4 222 122331 1 + 2 22 +3 對于圓形截面對于圓形截面(傳動軸傳動軸): P =, =, z MT WW 33 P =, = 3216 z dd WW P =2 z WW P =, =, z MT WW 33 P =, = 321