整理中值定理的證明技巧

1、第五講中值定理的證明技巧一、考試要求1、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。2、理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值 定理。掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用(經(jīng)濟(jì))。3、 了解定積分中值定理。二、內(nèi)容提要1、介值定理(根的存在性定理)(1) 介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.(2) 零點(diǎn)定理設(shè)f(x)在a、b連續(xù)，且f(a)f(b) v 0,則至少存在一點(diǎn)，c (a、b),使得f(c)=02、羅爾定理若函數(shù)f(x)滿足：(1) f(x)在，a,b 1上連續(xù)(2) f (x)在(a,

2、b)內(nèi)可導(dǎo)(3) f(a) f(b)則一定存在：(a,b)使得f)=3、拉格朗日中值定理若函數(shù)f (x)滿足：(1) f(x)在a,b上連續(xù)(2) f (x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則一定存在 (a,b)，使得 f(b)-f(a)二 f( )(b-a)4、柯西中值定理若函數(shù)f(x), g(x)滿足：(1) 在a,b L連續(xù)(2) 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3) g(x)=f(b)-f(a) _ fG)則至少有一點(diǎn) (a,b)使得g(b) -g(a) g()5、泰勒公式如果函數(shù)f(x)在含有X。的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n 1階導(dǎo)數(shù).則當(dāng)x在 (a,b) 內(nèi)時(shí).f (x)可以表示為x X。的一個(gè)n次多

3、項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng) Rn(X) 之和，即其中酥)=32 (n 1)!(X_xo)n 1介于X。與x之間).在需要用到泰勒公式時(shí)，必須要搞清楚三點(diǎn)：1 展開的基點(diǎn)；2展開的階數(shù)；3 余項(xiàng)的形式.其中余項(xiàng)的形式，一般在求極限時(shí)用的是帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公 式，在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式.而基點(diǎn)和階數(shù)，要根據(jù)具體的問題來確定.6 積分中值定理若f(x)在a、b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)c a、b，使得ba f(x)dx=f(c)(b-a)三、典型題型與例題題型一、與連續(xù)函數(shù)相關(guān)的問題(證明存在使f( J=0或方程f(x)=0有根)方法：大多用介值定理f(x)滿足：在a,b上連續(xù)；f(a)f(

4、b)0.思路：1)直接法2 )間接法或輔助函數(shù)法例 1、設(shè) f (x)在a,b上連續(xù)，a ： x1 ： x2 ： xn ： b, 0(i = 1,2,n)，證明存在a,b，使得&f (X1)C2f(X2)5 (Xn)f ():C1 +C2 + +Cn例2、設(shè)b . a 0, f(x)在a,b上連續(xù)、單調(diào)遞增,且f(x) . 0，證明存在：:二(a,b)使得 a2f(b) b2 f(a) =2 2 f ()*例3、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)且f(x) 0，證明存在：=(a,b)使得tb1 ba f(x)dx f (x)dx 二？ a f (x)dx例4、設(shè)f (x),g(x)在a,b上連續(xù)，證明

5、存在匚e (a,b)使得g( ) a f (x)dx 二f ( ) . g(x)dxx例5、設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，且f(x)0,利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證 明存在一點(diǎn)a,b使得b. b f(x)g(x)dx = f ( ) g(x)dx題型二、 驗(yàn)證滿足某中值定理例8、驗(yàn)證函數(shù)f(x)二丄2x，X乞1，在0, 2上滿足拉格朗日中值定理，并求x 1滿足定理的題型三、證明存在,使f(J=0(n=1,2,)方法：1、用費(fèi)馬定理2 、用羅爾定理(或多次用羅爾定理)3 、用泰勒公式思路：可考慮函數(shù)f(n)(x) 例9、設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo)且f (a )f_ (b) : 0，證明至少存在一個(gè)(

6、a,b)使得 f ( ) =0例 10、設(shè) f(x)在0,3上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0) f(1) f(2) = 3, f(3) = 1 ,證明存在一個(gè)(0,3)使得f ( H0*例11、設(shè)f(x)在0,2上連續(xù)，在(0, 2)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且f (x)10,2 1 f(x)dx 二 f(2),x 1 cos x匕證明存在：(0,2)使得f n = 0題型四、證明存在,使G( ,f ( ),f ( )0方法：1)用羅爾定理(原函數(shù)法，常微分方程法)，2)直接用拉格朗日中值定理和柯西中值定理(要求 a,b分離)思路：1) 換為x2) 恒等變形，便于積分3) 積分或解微分方程4) 分離

7、常數(shù)：F(x, f (x) =CF(x, f(x)即為輔助函數(shù)(1)用羅爾定理1) 原函數(shù)法：步驟：將換為x;恒等變形，便于積分；求原函數(shù)，取c=0；移項(xiàng)，得F(x).例12、設(shè)f (x), g(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g (x) = 0(x(a,b)，求證存在.刪使得罟例13、( 0134)設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且1f(1) =k Jxe1f (x)dx,k -1證明：在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f)= (1 一 )f ()例 14、設(shè) f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(a)f(b)0,f(a) f (H 0, g(x)在a,b上連

8、續(xù)，試證對(duì) (a,b),使得f ( g( )f().1 1*例 15、設(shè)f(x)在0,上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)一階可導(dǎo)，且f (x)dx = 0, xf (x)dx = O.試證： -(0,1),使得 f)=(1 )f( J.2)常微分方程法:適用：,f ( ( ,f()步驟： X,f (x)二(x, f(x)解方程 G(x, f(x) =c令 F(x)二G(x,f(x)例16、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)二f(b)二-，證明存在(a,b)使得 f) f( J * 例 17、設(shè) f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)=0,f(1)=1,證明：對(duì)任意

9、實(shí)數(shù),必存在(0，1),使得f)一f(J-】 = 1(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在：(a,b)，使得bf(b)-af(a)= f() f()ba例19、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求證存在：(a,b)，使得1 bnb a f(a)naf(b)二 nnf( ) f ( ),n1例20、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0 a b)，求證存在-(a,b)， 使得 f (b) 一 f (a)二 in - f ()a例21、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0 ： a b)，求證存在：(a

10、,b)，使得先擊f題型5、含有f ()(或更高階導(dǎo)數(shù))的介值問題方法：1)原函數(shù)法(對(duì)f (x)仍用微分中值定理：羅爾定理，拉格朗日，柯 西中值定理)；2)泰勒公式例22、設(shè)f(x)在0,1上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)，試證至少存在一個(gè) (0,1),使f()瞥例23、( 012, 8分)設(shè)f(x)在-a,a(a 0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0(1) 寫出f(x)的帶拉氏余項(xiàng)的一階麥克勞林公式。(2) 證明在-a, a上至少存在一個(gè) 使得3aa3f ( )=3 f(x)dx例24、設(shè)f(x)在 1,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(-1)=0, f(1)=1, f (0)=0,證明:在(-1

11、,1)內(nèi)存在一點(diǎn)，使得f ( ) = 3.例25、( 103)設(shè)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間0, 3上連續(xù)，在開區(qū)間(0, 3)內(nèi)二階可導(dǎo)，且22 f (0)= . 0 f(x)dx = f (2)+ f (3).(I) 證明存在 (0, 2),使得f( )= f (0)；(II) 證明存在 (0, 3),使得f ( )=0 .題型6 雙介值問題F，廠)=0方法：1)同時(shí)兩次用拉格朗日中值定理或柯西中值定理2)用一次后再用一次中值定理例26、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0 ： a ： b，求證存在(a,b)使得 f()= _LU(a b)2n例27、( 051，12分)已知函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0) =0, f(1)證明：(1)存在.(0,1)，使得f( -(2)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，(0,1)使得f ( )f ( ) =1題型7、綜合題* 例 29、(011, 7 分)試證設(shè)函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f”(x)=O ,(1) 對(duì)于(-