小學五年級數(shù)學奧數(shù)基礎教程第1630講

1、小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(五年級)本教程共30講巧算24同學們可能都玩過“數(shù)學24”的游戲，它把枯燥的基本數(shù)字計算變得趣味盎然，能大大提高計算能力和速度，使得思維靈活敏捷，是一種寓教于樂的智力競賽游戲。游戲規(guī)則：給定四個自然數(shù)，通過+，-，四則運算，可以交換數(shù)的位置，可以隨意地添括號，但規(guī)定每個數(shù)恰好使用一次，連起來組成一個混合運算的算式，使最后得數(shù)是24?！皵?shù)學24”游戲通常是用撲克牌進行的，此時，給定的四個自然數(shù)就被限定在113范圍內(nèi)了?！皵?shù)學24”游戲可以1個人玩，也可以多個人玩，比如四個人玩，把撲克牌中的大、小王拿掉，剩下的52張牌洗好后，每人分13張，然后每人出一張牌，每張牌的點數(shù)代表一

2、個自然數(shù)，其中j，q，k分別代表11，12和13，四張牌表示四個自然數(shù)。誰最先按游戲規(guī)則算出24，就把這四張牌贏走。然后繼續(xù)進行。最后誰的牌最多誰獲勝。要想算得又快又準，這就要靠平時的基本功了。最重要的有兩條：一是熟悉加法口訣和乘法口訣，二是利用括號。括號既能改變運算順序，也可以改變運算符號。請用下面例題中給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。例1 3，3，5，6。解一：根據(jù)38=24，3已有，將另三個數(shù)湊成8，得3（5+6-3）=24。解二：根據(jù)64=24，6已有，將另三個數(shù)湊成4，得6（5-33）=24或6（33-5）=24。解三：還是根據(jù)38=24，把3和8各分成兩數(shù)，得（6-3）（3+5）=2

3、4。解四：先把其中兩數(shù)相乘，積不足24的用另兩數(shù)補足，得35+3+6=24。解五：先把其中兩數(shù)相乘，積超過24的用另兩數(shù)割去，得56-3-3=24。例2 2，2，4，8。解一：根據(jù)83=24，得8（2+4）2=24或8（4-22）=24。解二：根據(jù)46=24，得4（2+82）=24。解三：根據(jù)212=24，得2（28-4）=24。解四：根據(jù)8+16=24，8已有，將另三個數(shù)湊成16，得8+224=24或8+（2+2）4=24。解五：根據(jù)8+16=24，把8和16各分成兩數(shù)，得24+28=24。解六：根據(jù)4+20=24，4已有，將另三個數(shù)湊成20，得4+2（2+8）=24。具體玩法很多，在這里特

4、別要注意的是：212，38，46是三個最基本的算式，在玩的過程中，你可以先固定某數(shù)為一個因數(shù)，看另三個數(shù)能否湊成相應的另一個因數(shù)。你也可以把每一個因數(shù)分別看成由兩個數(shù)湊成。下面，我們借助“乘法分配律”來玩“數(shù)學24”游戲。例3 1，4，4，5。分析：很明顯，我們看到4（1+5）=24，三個數(shù)已經(jīng)能夠算出24了，可惜的是還有一個4沒有用過。根據(jù)規(guī)則，必須把這個4也用進去，怎么辦？怎樣把這個多余的4用到算式里面而又不影響得數(shù)呢？解：利用“乘法分配律”：4（1+5）=41+45=24。例4 6，8，8，9。解：8（9-6）=89-86=24。例5 5，7，12，12。解：12（7-5）=127-12

5、5=24。在例3例5中，我們利用了：a（b+c）=ab+ac，a（b-c）=ab-ac。例6 2，2，6，9。分析：很明顯，我們看到29+6=24，三個數(shù)已經(jīng)能夠算出24了，可惜的是還有一個2沒有用過。根據(jù)規(guī)則，必須把這個2也用進去，怎樣把這個多余的2用到算式里面而又不影響得數(shù)呢？解：利用“乘法分配律”：24=29+6=29+622=2（9+62）。例7 2，6，9，9。解： 24=29+6=29+699=9（2+69）例8 2，4，10，10。解： 24=210+4=210+41010 =10（2+410）。在例6例8中，我們利用了ab+ca（b+ca），ab-ca（b-ca）。我們知道，符

6、合“數(shù)學24”游戲規(guī)則的每個具體算式中，一定要出現(xiàn)四個數(shù)和三個運算符號。也就是說，一定要進行三次運算，出現(xiàn)三個運算結(jié)果。其中前兩次結(jié)果是運算過程中的中間結(jié)果，第三次即最后一次的運算結(jié)果必須是24。當我們還是小學低年級的學生時，由于知識水平所限，解題總是圍繞運算結(jié)果是整數(shù)展開討論。當我們升入小學高年級，接觸到分數(shù)以后，我們的眼界變得開闊了，就可以打破整數(shù)這個框框，允許前兩次的運算結(jié)果出現(xiàn)分數(shù)，這樣，我們將會找到更多的、更好的思考辦法。例9 1，5，5，5。有效的思考辦法。由上面的算式可以看出，我們以前接觸的僅僅是其中的212，38，46三個整數(shù)乘法基本算式?，F(xiàn)在我們學了分數(shù)以后，乘法基本算式就增

7、加了許多：在這些分數(shù)乘法基本算式中，固定的一個因數(shù)只能是5，7，9，10，至此，應用乘法玩“數(shù)學24”游戲的過程才是完整的。下面，我們再來看看用分數(shù)除法來玩“數(shù)學24”游戲。例10 3，3，8，8。8（3-83）=24。例11 1，4，5，6。在解題過程中，我們先想到基本算式成。這是基本的思考辦法。一般地，應用分數(shù)除法玩“數(shù)學24”游戲的思考過程為：固定的一個自然數(shù)只能是被除數(shù)，除數(shù)恰好由另外三個自然數(shù)湊成。另外，我們還是要強調(diào)一下分數(shù)除法與分數(shù)乘法的相同處與不同處。學了分數(shù)以后，除法運算可以轉(zhuǎn)化成乘法運算。因此，在玩“數(shù)學24”游戲的過程中，很多除法算式可以轉(zhuǎn)化到乘法算式中去。但是它們之間還

8、是有區(qū)別握用分數(shù)除法這種工具來玩“數(shù)學24”游戲是必不可少的。 練習 16 用給出的四個數(shù)，按規(guī)則算出24。1.（1）1，3，3，7； （2）2，2，5，7；（3）1，4，4，7； （4）1，2，8，8；（5）1，5，6，6； （6）5，8，8，8。2.（1） 2，7，7，10； （2）3，5，5，9；（3）5，5，7，11； （4）2，6，6，12；（5）4，4，5，5； （6）2，5，5，10；（7）4，9，9，12； （8）3，7，9，13。3.（1）1，3，4，6； （2）2，8，9，13；（3）1，6，6，8； （4）2，3，5，12；（5）3，4，6，13； （6）1，8，12，1

9、2；（7）3，4，8，13； （8）2，7，12，13。練習16以下題目可能有多種解法，僅給出一種解。1.（1）37+3l=24；（2）25+27=24；（3）1+7+44=24；（4）128+8=24；（5）56-16=24；（6）88-58=24。2.（1）7（2+107）=24；（2）5（3+95）=24；（3）5（7-115）=24；（4）6（2+126）=24；（5）5（4+45）=24；（6）5（5-210）=24；（7）9（4-129）=24；（8）9（7-133）=24。3.（1）6（1-34）=24；（2）9（2-138）=24；（3）6（1-68）=24；（4）12（3-5

10、2）=24；（5）6（134-3）=24；（6）12（128-1）=24；（7）8（133-4）=24；（8）12（7-132）=24。小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(五年級)本教程共30講位值原則同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如“5”，寫在個位上，就表示5個一；寫在十位上，就表示5個十；寫在百位上，就表示5個百；等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原則。我們通常使用的是十進制計數(shù)法，其特點是“滿十進一”。就是說，每10個某一單位就組成和它相鄰的較高的一個單位，即10個一，叫做“十”，10個十

11、叫做“百”，10個百叫做“千”，等等。寫數(shù)時，從右端起，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（見下圖）。用阿拉伯數(shù)字和位值原則，可以表示出一切整數(shù)。例如，926表示9個百，2個十，6個一，即926=9100+210+6。根據(jù)問題的需要，有時我們也用字母代替阿拉伯數(shù)字表示數(shù)，如：其中a可以是19中的數(shù)碼，但不能是0，b和c是09中的數(shù)碼。下面，我們利用位值原則解決一些整數(shù)問題。個數(shù)之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍數(shù)。例2有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)相差666。求原來的兩位

12、數(shù)。分析與解：由位值原則知道，把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)前面，等于加了100；把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)后面，等于這個兩位數(shù)乘以10后再加1。設這個兩位數(shù)為x。由題意得到（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100， 9x=765，x=85。原來的兩位數(shù)是85。例3 a，b，c是19中的三個不同的數(shù)碼，用它們組成的六個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)之和是（a+b+c）的多少倍？分析與解：用a，b，c組成的六個不同數(shù)字是這六個數(shù)的和等于將六個數(shù)的百位、十位、個位分別相加，得到所以，六個數(shù)的和是（a+b+c）的222倍。例4用2，8，7三張數(shù)字卡片可以組成若

13、干個不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少？解：由例3知，可以組成的六個三位數(shù)之和是（2+8+7）222，所以平均值是（2+8+7）2226=629。例5一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的5倍比原數(shù)大6，求這個兩位數(shù)。（a+b）5-（10a+b）=6，5a+5b-10a-b=6，4b-5a=6。當b=4，a=2或b=9，a=6時，4b-5a=6成立，所以這個兩位數(shù)是24或69。例6將一個三位數(shù)的數(shù)字重新排列，在所得到的三位數(shù)中，用最大的減去最小的，正好等于原來的三位數(shù)，求原來的三位數(shù)。分析與解：設原來的三位數(shù)的三個數(shù)字分別是a，b，c。若由上式知，所求三位數(shù)是99的倍數(shù)，可能值為198，297，3

14、96，495，594，693，792，891。經(jīng)驗證，只有495符合題意，即原來的三位數(shù)是495。 練習17 1.有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)之和是970。求原來的兩位數(shù)。2.有一個三位數(shù)，將數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個四位數(shù)，將數(shù)碼3加在它的后面也可以得到一個四位數(shù)，這兩個四位數(shù)之差是2351，求原來的三位數(shù)。5.從19中取出三個數(shù)碼，用這三個數(shù)碼組成的六個不同的三位數(shù)之和是3330。這六個三位數(shù)中最小的能是幾？最大的能是幾？6.一個兩位數(shù)，各位數(shù)字的和的6倍比原數(shù)小9，求這個兩位數(shù)。7.一個三位數(shù)，抹去它的首位數(shù)之后

15、剩下的兩位數(shù)的4倍比原三位數(shù)大1，求這個三位數(shù)。練習171.79。解：設原來的兩位數(shù)為x，則（100+x）+（10x+1）=970。解得x=79。2.372。解：設原來的三位數(shù)為x，則（10x+3）-（1000+x）=2351。解得x=372。3.6。=100a+10b+c-（a+b+c） 4.3814。5.159；951。提示：由例3知，a+b+c=3330222=15。6.63。（10a+b）-（a+b）6=9，化簡得4a-5b=9。解得a=6，b=3，所求兩位數(shù)為63。7.267。解：設三位數(shù)的百位數(shù)字為a，后兩位數(shù)為x，則有4x-（100a+x）=1，3x=100a+1。因為x是兩位數(shù)

16、，所以3x300，推知a=1或2。若a=1，則x=1013不是整數(shù)，不合題意；若a=2，則x=2013=67。所求三位數(shù)為267。小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(五年級)本教程共30講本教程共30講最大最小同學們在學習中經(jīng)常能碰到求最大最小或最多最少的問題，這一講就來講解這個問題。例1兩個自然數(shù)的和是15，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)各是多少？分析與解：將兩個自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況：15=1+14，114=14；15=2+13，213=26；15=3+12，312=36；15=4+11，411=44；15=5+10，510=50；15=6+

17、9，69=54；15=7+8，78=56。由此可知把15分成7與8之和，這兩數(shù)的乘積最大。結(jié)論1如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當這兩個數(shù)相等時，他們的乘積最大。例2比較下面兩個乘積的大?。篴=5712846387596512，b=5712846087596515。分析與解：對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個8位數(shù)的乘積是很繁的。仔細觀察兩組對應因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即57128463+8

18、7596512=57128460+87596515。因為a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據(jù)結(jié)論1可得ab。例3用長36米的竹籬笆圍成一個長方形菜園，圍成菜園的最大面積是多少？分析與解：已知這個長方形的周長是36米，即四邊之和是定數(shù)。長方形的面積等于長乘以寬。因為長+寬=362=18（米），由結(jié)論知，圍成長方形的最大的面積是99=81（米2）。例3說明，周長一定的長方形中，正方形的面積最大。例4兩個自然數(shù)的積是48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最?。糠治雠c解：48的約數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。所以，兩個自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況：48=

19、148，1+48=49；48=224，2+24=26；48=316，3+16=19；48=412，4+12=16；48=68，6+8=14。兩個因數(shù)之和最小的是6+8=14。結(jié)論2兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越小。例5要砌一個面積為72米2的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？解：將72分解成兩個自然數(shù)的乘積，這兩個自然數(shù)的差最小的是9-8=1。由結(jié)論2，豬圈圍墻長9米、寬8米時，圍墻總長最少，為（8+9）2=34（米）。答：圍墻最少長34米。例6把17分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？分析與解：假設分成的自

20、然數(shù)中有1，a是分成的另一個自然數(shù)，因為1a1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個自然數(shù)要比分成1和a兩個自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應該有1。如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)，這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如，5=2+323，8=3+535。也就是說，只要有大于4的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應該有大于4的數(shù)。如果分成的自然數(shù)中有4，因為4=2+2=22，所以可以將4分成兩個2。由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種。因為2+2+2=6，222=8，3+3=6，33=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的

21、乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個2，其余都是3。由此得到，將17分為五個3與一個2時乘積最大，為333332=486。由例6的分析得到：結(jié)論3把一個數(shù)拆分成若干個自然數(shù)之和，如果要使這若干個自然數(shù)的乘積最大，那么這些自然數(shù)應全是2或3，且2最多不超過兩個。例7把49分拆成幾個自然數(shù)的和，這幾個自然數(shù)的連乘積最大是多少？解：根據(jù)結(jié)論3，由49=315+2+2，所以最大的積是 練習181.試求和是91，乘積最大的兩個自然數(shù)。最大的積是多少？之和的最小值是多少？3.比較下面兩個乘積的大?。?23456789987654321，123456788987654322。4.現(xiàn)計劃用圍墻圍起一塊面積為55

22、44米2的長方形地面，為節(jié)省材料，要求圍墻最短，那么這塊長方形地的圍墻有多少米長？5.把19分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的積最大？6.18這八個數(shù)字各用一次，分別寫成兩個四位數(shù)，使這兩個數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個四位數(shù)各是多少？7.在數(shù)1234567891011129899100中劃去100個數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個新數(shù)，這個新數(shù)最大是多少？最小是多少？練習181.45和46，最大積是2070。3.123456789987654321大。4.298米。提示：5544=2332711。因為5544的兩個最接近的因數(shù)是2332=72和7ll=77，所以這塊地長77米，寬72米。最短的圍墻

23、長是（77+72）2=298（米）。5.19=3+3+3+3+3+2+2。6.8531和7642。提示：高位數(shù)字越大，乘積越大，所以它們的千位分別是8，7，百位分別是6，5。兩數(shù)和一定時，這兩數(shù)越接近乘積越大，所以一個數(shù)的前兩位是85，另一個數(shù)的前兩位是76。同理可確定十位和個位數(shù)。7.最大數(shù)是999997859606199100，最小數(shù)是1000001234061626399100。解：要得到最大的數(shù)，左邊應盡量多地保留9。因為159中有109個數(shù)碼，其中有6個9，所以剩下的數(shù)如果左邊保留6個9，那么必須劃掉109-6=103（個）數(shù)碼，不合要求。因此左邊只能保留5個9，即保留149之中的5

24、個9，劃掉149中其余的84個數(shù)碼，然后在后面再劃掉16個數(shù)碼，盡量留下大數(shù)（見下圖）：所以最大數(shù)是999997859606199100。同理，要得到最小的數(shù)，左邊第一個數(shù)是1，之后應盡量保留0。250中有90個數(shù)碼，其中有5個0，劃掉非0的90-5=85（個）數(shù)碼，然后在后面再劃掉15個數(shù)碼，盡量留下小數(shù)（見下圖）：所以最小數(shù)是10000012340616299100。小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(五年級)本教程共30講圖形的分割與拼接怎樣把一個圖形按照要求分割成若干部分？怎樣把一個圖形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一個圖形？這就是本講要解決的問題。例1請將一個任意三角形分成四個面積相等的三角形

25、。分析與解：本題要求分成面積相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面積相等”這一性質(zhì)來分割。方法一：將某一邊等分成四份，連結(jié)各分點與頂點（見左下圖）。方法二：畫出某一邊的中線，然后將中線二等分，連結(jié)分點與另兩個頂點（見右上圖）。方法三：找出三條邊上的中點，然后如左下圖所示連結(jié)。方法四：將三條邊上的中點兩兩連結(jié)（見右上圖）。前三種方法可以看成先將三角形分割成面積相等的兩部分，然后分別將每部分再分割成面積相等的兩部分。本題還有更多的分割方法。例2將右圖分割成五個大小相等的圖形。分析與解：因為圖中共有15個小正方形，所以分割成的圖形的面積應該等于155=3（個）小正方形的面積。3個小正方形有和

26、兩種形式，于是可得到很多種分割方法，下圖是其中的三種。例3右圖是一個44的方格紙，請在保持每個小方格完整的情況下，將它分割成大小、形狀完全相同的兩部分。分析與解：因為分割成完全相同的兩塊，所以每塊有8個小方格，并且這兩塊關于中心點對稱。下面是六種分割方法。例4將下圖分割成兩塊，然后拼成一個正方形。分析與解：圖形的面積等于16個小方格，如果以每個小方格的邊長為1，那么拼成的正方形的邊長應是4。因為題圖是缺角長方形，長為6寬為3，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應向上平移1（原來寬為3，向上平移1使寬為4），向左平移2（原來長為6，向左平移2使長為4）?？紤]到缺角這一特點，可做下圖所示的分割和拼接。例

27、5有一塊長4.8米、寬3米的長方形地毯，現(xiàn)在把它鋪到長4米、寬3.6米的房間中。請將它剪成形狀相同、面積相等的兩塊，使其正好鋪滿房間。分析與解：首先驗證地毯的面積與房間的面積是否相等，然后考慮如何以可將原來的長分為4份，寬分為3份（見下頁左上圖），現(xiàn)在的長與寬如下頁右上圖。容易得到下圖所示的分割與拼接的方法。例6用四塊相同的不等腰的直角三角板，拼成一個外面是正方形，里面有正方形孔的圖形。分析與解：右圖所示的三角板，a是直角，b+c=90。因為要拼的圖形有內(nèi)外兩個正方形，所以有將a作為外正方形的角（左下圖）和拼內(nèi)正方形的角（下中圖）兩種情況。若三角板可以重疊放置，還有右下圖所示的拼法。 練習19

28、 1.試將一個等邊三角形分割成8個全等的直角三角形。2.用四種方法將左下圖分割成完全相同的兩部分，但要保持每個小方格的完整。3.將右上圖分成四個大小相等、形狀相同的圖形。4.將下圖分成兩塊，然后拼成一個正方形。5.將一塊3020的方格紙分成大小、形狀都相同的兩塊，然后拼成一個2425的長方形。6.將一個正方形分成相等的4塊，然后用這4塊分別拼成三角形、平行四邊形和梯形。練習19 5.6.小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(五年級)本教程共30講多邊形的面積我們已經(jīng)學習過三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形以及圓、扇形等基本圖形的面積計算，圖形及計算公式如下：正方形面積=邊長邊長=a2，長方形面積=長寬=

29、ab，平行四邊形面積=底高=ah，圓面積=半徑半徑=r2，扇形面積=半徑半徑圓心角的度數(shù)360在實際問題中，我們遇到的往往不是基本圖形，而是由基本圖形組合、拼湊成的組合圖形，它們的面積不能直接用公式計算。在本講和后面的兩講中，我們將學習如何計算它們的面積。例1 小兩個正方形組成下圖所示的組合圖形。已知組合圖形的周長是52厘米，dg=4厘米，求陰影部分的面積。分析與解：組合圖形的周長并不等于兩個正方形的周長之和，因為cg部分重合了。用組合圖形的周長減去dg，就得到大、小正方形邊長之和的三倍，所以兩個正方形的邊長之和等于（52-4）3=16（厘米）。又由兩個正方形的邊長之差是4厘米，可求出大正方形

30、邊長=（16+4）2=10（厘米），小正方形邊長=（16-4）2=6（厘米）。兩個正方形的面積之和減去三角形abd與三角形bef的面積，就得到陰影部分的面積。102+62-（10102）-（10+6）62=38（厘米2）。例2如左下圖所示，四邊形abcd與defg都是平行四邊形，證明它們的面積相等。分析與證明：這道題兩個平行四邊形的關系不太明了，似乎無從下手。我們添加一條輔助線，即連結(jié)ce（見右上圖），這時通過三角形dce，就把兩個平行四邊形聯(lián)系起來了。在平行四邊形abcd中，三角形dce的底是dc，高與平行四邊形abcd邊dc上的高相等，所以平行四邊形abcd的面積是三角形dce的兩倍；同理

31、，在平行四邊形defg中，三角形dce的底是de，高與平行四邊形defg邊de上的高相等，所以平行四邊形defg的面積也是三角形dce的兩倍。兩個平行四邊形的面積都是三角形dce的兩倍，所以它們的面積相等。例3如左下圖所示，一個腰長是20厘米的等腰三角形的面積是140厘米2，在底邊上任意取一點，這個點到兩腰的垂線段的長分別是a厘米和b厘米。求a+b的長。分析與解：a，b與三角形面積的關系一下子不容易看出來。連結(jié)等腰三角形的頂點和底邊上所取的點，把等腰三角形分為兩個小三角形，它們的底都是20厘米，高分別為a厘米和b厘米（見右上圖）。大三角形的面積與a，b的關系就顯露出來了。根據(jù)三角形的面積公式，

32、兩個小三角形的面積分別為20a2和20b2。因為這兩個小三角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以有20a2+20b2=140，10（a+b）=140，a+b=14（厘米）。在例2、例3中，通過添加輔助線，使圖形間的關系更清晰，從而使問題得解。下面再看一例。例4如左下圖所示，三角形abc的面積是10厘米2，將ab，bc，ca分別延長一倍到d，e，f，兩兩連結(jié)d，e，f，得到一個新的三角形def。求三角形def的面積。分析與解：想辦法溝通三角形abc與三角形def的聯(lián)系。連結(jié)fb（見右上圖）。因為ca=af，所以三角形abc與三角abf等底等高，面積相等。因為ab=bd，所以三角形abf與三角

33、形bdf等底等高，面積相等。由此得出，三角形adf的面積是10+10=20（厘米2）。同理可知，三角形bde與三角形cef的面積都等于20厘米2。所以三角形def的面積等于203+10=70（厘米2）。例5一個正方形，將它的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米，剩下的長方形比原來正方形的面積減少1725厘米2，求剩下的長方形的面積。分析與解：根據(jù)已知條件畫出下頁左上圖，其中甲、乙、丙為截去的部分。由左上圖知，丙是長15厘米、寬10厘米的矩形，面積為1510=150（厘米2）。因為甲、丙形成的矩形的長等于原正方形的邊長，乙、丙形成的矩形的長也等于原正方形的邊長，所以可將兩者拼成右上圖的矩形。右上

34、圖矩形的寬等于10+15=25（厘米），長等于原正方形的邊長，面積等于（甲+丙）+（乙+丙）= 甲+乙+丙）+丙= 1725+150= 1875（厘米2）。所以原正方形的的邊長等于187525=75（厘米）。剩下的長方形的面積等于7575-1725=3900（厘米2）。例6有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個正方形盒的底部，它們之間互相疊合（見右圖）。已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，求正方形盒子底部的面積。分析與解：把黃色正方形紙片向左移動并靠緊盒子的左邊。由于三個正方形紙片面積相等，所以原題圖可以轉(zhuǎn)化成下頁右上圖。此時露出的黃、綠兩部分的面積相

35、等，都等于（14+10）2=12。因為綠：紅=a黃，所以綠黃=紅a，a=綠黃紅 =121220=7.2。正方形盒子底部的面積是紅+黃+綠+a=20+12+12+7.2=51.2。 練習201.等腰直角三角形的面積是20厘米2，在其中做一個最大的正方形，求這個正方形的面積。2.如左下圖所示，平行四邊形abcd的周長是75厘米，以bc為底的高是14厘米，以cd為底的高是16厘米。求平行四邊形abcd的面積。3.如右上圖所示，在一個正方形水池的周圍，環(huán)繞著一條寬2米的小路，小路的面積是80米2，正方形水池的面積是多少平方米？4.如右圖所示，一個長方形被一線段分成三角形和梯形兩部分，它們的面積差是28

36、厘米2，梯形的上底長是多少厘米？5.如下圖，在三角形abc中，bd=df=fc，be=ea。若三角形edf的面積是1，則三角形abc的面積是多少？6.一個長方形的周長是28厘米，如果它的長、寬都分別增加3厘米，那么得到的新長方形比原長方形的面積增加了多少平方厘米？7.如下圖所示，四邊形abcd的面積是1，將ba，cb，dc，ad分別延長一倍到e，f，g，h，連結(jié)e，f，g，h。問：得到的新四邊形efgh的面積是多少？練習201.10厘米2。提示：右圖中四個小三角形的面積都相等。2.280厘米2。解：14bc=16cd，所以bccd=1614=87。因為bc+cd=752=37.5，所以平行四邊

37、形abcd的面積等于1420=280（厘米2）。3.64米2。提示：右圖中每個小矩形的寬是2，面積是804，所以水池的邊長是8042-2=8（米）。4.4厘米。提示：見左下圖。上底=287=4（厘米）。5.6。提示：如右上圖，sacf=sbcf，sbfd=sefd=scfe。6.51厘米2。解：左下圖陰影部分即為增加部分，如右下圖重新拼合，所得陰影部分的長為（282+3）厘米，寬為3厘米，面積為（282+3）3=51（厘米2）。7.5。提示：連結(jié)af和ac（見右圖）。容易求出sebf=2sabc。同理可求出shdg=2sadc。所以sebf+shdg=2sabcd。同理可知seah+sgcf=

38、2sabcd，所以s efgh=sebf+shdg+seah+sgcf+s abcd=5s abcd=5。小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(五年級)本教程共30講用等量代換求面積一個量可以用它的等量來代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個數(shù)，它們的差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個性質(zhì)在解幾何題時有很重要的作用，它能將求一個圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個圖形的面積，或?qū)蓚€圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個圖形的面積差，從而使隱蔽的關系明朗化，找到解題思路。例1兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。分析與解：陰影部分是一個高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都

39、不知道，因而不能直接求出它的面積。因為三角形abc與三角形def完全相同，都減去三角形doc后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應相等，即陰影部分與直角梯形oefc面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形oefc的面積。直角梯形oefc的上底為10-3=7（厘米），面積為（7+10）22=17（厘米2）。所以，陰影部分的面積是17厘米2。例2在右圖中，平行四邊形abcd的邊bc長10厘米，直角三角形ecb的直角邊ec長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形efg的面積大10厘米2，求平行四邊形abcd的面積。分析與解：因為陰影部分比三角形efg的面積大10厘米2，都加上梯形fgcb后，根據(jù)差不變性質(zhì)，

40、所得的兩個新圖形的面積差不變，即平行四邊行abcd比直角三角形ecb的面積大10厘米2，所以平行四邊形abcd的面積等于1082+10=50（厘米2）。例3在右圖中，ab=8厘米，cd=4厘米，bc=6厘米，三角形afb比三角形efd的面積大18厘米2。求ed的長。分析與解：求ed的長，需求出ec的長；求ec的長，需求出直角三角形ecb的面積。因為三角形afb比三角形efd的面積大18厘米2，這兩個三角形都加上四邊形fdcb后，其差不變，所以梯形abcd比三角形ecb的面積大18厘米2。也就是說，只要求出梯形abcd的面積，就能依次求出三角形ecb的面積和ec的長，從而求出ed的長。梯形abc

41、d面積=（8+4）62=36（厘米2），三角形ecb面積=36-18=18（厘米2），ec=1862=6（厘米），ed=6-4=2（厘米）。例4 下頁上圖中，abcd是74的長方形，defg是102的長方形，求三角形bco與三角形efo的面積之差。分析：直接求出三角形bco與三角形efo的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個圖形的面積之差，而這兩個圖形的面積之差容易求出，那么問題就解決了。解法一：連結(jié)b，e（見左下圖）。三角形bco與三角形efo都加上三角形beo，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形bec與三角形bef的面積之差。所求為4（10-7）2-2（10-7

42、）2=3。解法二：連結(jié)c，f（見右上圖）。三角形bco與三角形efo都加上三角形cfo，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形bcf與三角形ecf的面積之差。所求為4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法三：延長bc交gf于h（見下頁左上圖）。三角形bco與三角形efo都加上梯形cofh，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形bhf與矩形cefh的面積之差。所求為（4+2）（10-7）2-2（10-7）=3。解法四：延長ab，fe交于h（見右上圖）。三角形bco與三角形efo都加上梯形bheo，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形bhec與直角三角形bhf的面積之差。所求為4（10-7）-（10-7）（4+2）2=3。例5左

43、下圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形abc的面積。分析與解：這道題似乎缺少大正方形的邊長這個條件，實際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長沒關系。連結(jié)ad（見右上圖），可以看出，三角形abd與三角形acd的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等。因為三角形afd是三角形abd與三角形acd的公共部分，所以去掉這個公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個部分，即三角形abf與三角形fcd面積仍然相等。根據(jù)等量代換，求三角形abc的面積等于求三角形bcd的面積，等于442=8（厘米2）。 練習21 1.左下圖中，等腰直角三角形abc的腰為10厘米，以c為圓心、

44、cf為半徑畫弧線ef，組成扇形cef。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等，那么扇形所在的圓的面積是多少？2.右上圖（單位：厘米）是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。3.左下圖中，扇形abd的半徑是4厘米，甲比乙的面積大3.44厘米2。求直角梯形abcd的面積。（=3.14）4.在右上圖的三角形中，d，e分別是所在邊的中點，求四邊形adfe的面積。5.下頁左上圖中，矩形abcd的邊ab為4厘米，bc為6厘米，三角形abf比三角形edf的面積大9厘米2，求ed的長。6.右上圖中，ca=ab=4厘米，三角形abe比三角形cde的面積大2厘米2，求cd的長。影部分的面積和。 練習211.40

45、0厘米2。解：扇形cef與直角三角形abc的面積相等，c=45，所求圓的面2.140厘米2。提示：所求面積等于右圖中陰影部分的面積，為（20-5+20）82=140（厘米2）。3.24厘米2。提示：扇形abd的面積為444=12.56（厘米2），直角三角形abc的面積為12.56+3.44=16（厘米2），bc=1642=8（厘米），梯形abcd面積為（4+8）42=24（厘米2）。4.8。提示：由三角形adc與三角形ebc的面積相等，推知陰影部分與三角形bcf面積相等。5.1厘米。解：（46-9）62=1（厘米）。6.3厘米。解：連結(jié)cb（見右圖）。三角形dcb的面積為442-2=6（厘米2

46、），cd=642=3（厘米）。7.12厘米2。解：連結(jié)df（見右圖）。因為ae=ed，所以bed與abe面積相等，解得sabf=12，即陰影部分的面積和為12厘米2。小學數(shù)學奧數(shù)基礎教程(五年級)本教程共30講用割補法求面積在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計算它們的面積，常常需要變動圖形的位置或?qū)D形進行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中，為了計算面積，有時也要用到割補的方法。例1求下列各圖中陰影部分的面積：分析與解：（1）如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按

47、照右下圖所示，將這兩部分分別拼補在陰影位置?？梢钥闯觯}圖的陰影部分等于右下圖中ab弧所形成的弓形，其面積等于扇形oab與三角形oab的面積之差。444-442=4.56。（2）在題圖虛線分割的兩個正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為5的四分之一個圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為5的四分之一個圓。如下圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中?？梢钥闯觯}圖的陰影部分正好等于一個正方形的面積，為55=25。例2在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的幾分之幾。分析與解：陰影部分是一個梯形。我們用三種方法解答。（1

48、）割補法從頂點作底邊上的高，得到兩個相同的直角三角形。將這兩個直角三角（2）拼補法將兩個這樣的三角形拼成一個平行四邊形（下頁左上圖）。積和平行四邊行面積同時除以2，商不變。所以原題陰影部分占整個圖形面（3）等分法將原圖等分成9個小三角形（見右上圖），陰影部分占3個小三角形，注意，后兩種方法對任意三角形都適用。也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。例3如左下圖所示，在一個等腰直角三角形中，削去一個三角形后，剩下一個上底長5厘米、下底長9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個梯形的面積。分析與解：因為不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面積?？梢詮牡妊苯侨切闻c

49、正方形之間的聯(lián)系上考慮。將四個同樣的等腰直角三角形拼成一個正方形（上頁右下圖），圖中陰影部分是邊長9厘米與邊長5厘米的兩個正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍。所以所求梯形面積是（99-55）4=14（厘米2）。例4在左下圖的直角三角形中有一個矩形，求矩形的面積。分析與解：題中給出了兩個似乎毫無關聯(lián)的數(shù)據(jù)，無法溝通與矩形的聯(lián)系。我們給這個直角三角形再拼補上一個相同的直角三角形（見右上圖）。因為a與a，b與b面積分別相等，所以甲、乙兩個矩形的面積相等。乙的面積是46=24，所以甲的面積，即所求矩形的面積也是24。例5下圖中，甲、乙兩個正方形的邊長的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40厘

50、米2。求乙正方形的面積。分析與解：如果從甲正方形中“挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的a，b，c三部分之和就是40厘米2（見左下圖）。把c割下，拼補到乙正方形的上面（見右上圖），這樣a，b，c三塊就合并成一個長20厘米的矩形，面積是40厘米2，寬是4020=2（厘米）。這個寬恰好是兩個正方形的邊長之差，由此可求出乙正方形的邊長為（20-2）2=9（厘米），從而乙正方形的面積為99=81（厘米2）。練習221.求下列各圖中陰影部分的面積：（1） （2）2.以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫兩個半圓?。ㄒ娤聢D），直角邊長4厘米，求圖中陰影部分的面積。3.在左下圖所示的等腰直角三角形中，剪去

51、一個三角形后，剩下的部分是一個直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為36厘米2，上底為3厘米，求下底和高。4.在右上圖中，長方形aefd的面積是18厘米2，be長3厘米，求cd的長。5.下圖是甲、乙兩個正方形，甲的邊長比乙的邊長長3厘米，甲的面積比乙的面積大45厘米2。求甲、乙的面積之和。6.求下圖（單位：厘米）中四邊形abcd的面積。練習221.（1）25；（2）ab。提示：（1）（2）2.4.56厘米2。提示：如左下圖所示，所求面積等于右下圖中圓面積減去正方形面積，等于（42）2-442= 4.56（厘米2）。3.下底9厘米，高6厘米。解：用兩個同樣的等腰直角三角形拼成一個正方形（見左下圖），大正方形的面積為362+33=81（厘米2）。邊長為9厘米。所求梯形的下底為9厘米，高為9-3=6（厘米）。4.6厘米。提示：與例4類似，右上圖中甲、乙的面積相等，所以，cd=183=6（厘米）。5.117厘米2。提示：與例5類似，下圖中丙與乙相同，c與c相同。甲、乙的邊長和等于453=15（厘米），甲的邊長為（l5+3）2=9（厘米）。甲、乙的面積和為992-45=117（厘米2）。6.20厘米2。解：將ad，bc分別延長，相