泰勒展開式中余項(xiàng)的應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計(jì)1

1、天 津 師 范 大 學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：泰勒展開式中余項(xiàng)的應(yīng)用學(xué) 院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)泰勒展開式中余項(xiàng)的應(yīng)用摘要:泰勒展開式是數(shù)學(xué)分析及復(fù)變函數(shù)中的重要內(nèi)容,它將某些函數(shù)近似地表示為形式簡單的多項(xiàng)式函數(shù).泰勒展開式的余項(xiàng)可分為佩亞諾型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)、積分型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng),彼此之間可以相互轉(zhuǎn)換.本文主要討論兩個方面的內(nèi)容:一是佩亞諾型余項(xiàng)在極限運(yùn)算、函數(shù)凹凸性、廣義積分和級數(shù)斂散性方面的應(yīng)用;二是拉格朗日型余項(xiàng)在證明一些等式或不等式、根的存在性、近似計(jì)算與誤差分析方面的應(yīng)用.從而對泰勒展開式的余項(xiàng)有一個總體認(rèn)識,這有助于我們對泰勒展開式中的各類余項(xiàng)實(shí)施進(jìn)一步推廣

2、和應(yīng)用.關(guān)鍵詞：泰勒展開式;佩亞諾型余項(xiàng);拉格朗日型余項(xiàng);泰勒級數(shù).目 錄1 引言12 預(yù)備知識12.1 泰勒多項(xiàng)式12.2 泰勒展開式的余項(xiàng)22.2.1 佩亞諾型余項(xiàng)22.2.2 拉格朗日型余項(xiàng)22.2.3 積分型余項(xiàng)與柯西型余項(xiàng)32.3 泰勒級數(shù)33 泰勒展開式余項(xiàng)的應(yīng)用43.1 佩亞諾型余項(xiàng)的應(yīng)用43.1.1 極限運(yùn)算的應(yīng)用43.1.2 判斷函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)63.1.3 判別廣義積分收斂性73.1.4 判別級數(shù)斂散性93.2 拉格朗日型余項(xiàng)的應(yīng)用103.2.1 一些等式或不等式的應(yīng)用103.2.3 證明根的唯一存在性133.2.4 近似計(jì)算與誤差估計(jì)144 參考文獻(xiàn)：15iii天津師范大

3、學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 泰勒展開式中余項(xiàng)的應(yīng)用1 引言泰勒展開式是18世紀(jì)早期英國數(shù)學(xué)家泰勒在微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)而定義出來的一個用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑,在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況下,泰勒展開式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值.此外泰勒展開式還給出了這個多項(xiàng)式和實(shí)際的函數(shù)值之間的偏差.在高等數(shù)學(xué)中,泰勒展開式占有重要地位,并以各種形式貫穿全部內(nèi)容,它可廣泛應(yīng)用與多種數(shù)學(xué)問題,集中體現(xiàn)了微積分和逼近法的精髓.在微積分及相關(guān)領(lǐng)域的各個方面都有重要的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)計(jì)算和在信息科學(xué)的研究中,泰勒多項(xiàng)式幾乎是開辟計(jì)算捷徑道路的

4、基礎(chǔ).事實(shí)上,各種數(shù)學(xué)分析教材的內(nèi)容側(cè)重點(diǎn)有所不同,而且一般高等數(shù)學(xué)教材中僅介紹了如何用泰勒展開式展開函數(shù),對泰勒展開式的應(yīng)用方法并未作深入討論.初學(xué)者在解題時總是不善于將題目和泰勒展開式的應(yīng)用聯(lián)系在一起,在沒有理解泰勒展開式的前提下,寫出常見函數(shù)的泰勒展開式只是一種機(jī)械的行為.那么如何學(xué)好和應(yīng)用好泰勒展開式呢? 這并不是一件簡單的事情，本文將對此課題進(jìn)行歸納總結(jié),主要介紹帶佩亞諾型余項(xiàng)和帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒展開式在各種問題中的應(yīng)用,并附以典型例題來歸納演繹,將此類問題更加系統(tǒng)化、專門化地呈現(xiàn)出來.通過總結(jié),希望能為初學(xué)者提供有益的幫助.2 預(yù)備知識2.1 泰勒多項(xiàng)式我們在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分概念

5、時已經(jīng)知道,如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)則有.即在點(diǎn)附近,用一次多項(xiàng)式逼近函數(shù)時,其誤差為的高階無窮小量,然而在很多場合,取一次多項(xiàng)式逼近是不夠的,往往需要用到二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近,并要求誤差為,其中為多項(xiàng)式的次數(shù).為此我們考察任意次多項(xiàng)式.逐次求它在點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù),得到,即,.由此可見,多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)由其在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定.對于一般函數(shù),設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù),由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個次多項(xiàng)式,稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒（taylor）多項(xiàng)式,的各項(xiàng)系數(shù)稱為泰勒系數(shù).2.2 泰勒展開式的余項(xiàng)2.2.1 佩亞諾型余項(xiàng)若函數(shù)在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù),則,即.上式稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒公式,稱為泰勒公式的余

6、項(xiàng),形如的余項(xiàng)稱為佩亞諾（peano）型余項(xiàng).特別的,當(dāng)時,稱泰勒公式的特殊形式.為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林（maclaurin）公式.2.2.2 拉格朗日型余項(xiàng)若函數(shù)在上存在直到階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù),則對任意給定的,至少存在一點(diǎn),使得.上式同樣稱為泰勒公式,它的余項(xiàng)為, .稱為拉格朗日（largrange）型余項(xiàng).當(dāng)時,得到泰勒公式,.為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式.2.2.3 積分型余項(xiàng)與柯西型余項(xiàng)若函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù),則,有.其中稱為積分型余項(xiàng).由于連續(xù),在（或）上保持同號,因此由推廣的積分第一中值定理,可將積分型余項(xiàng)寫成,其中介于與之間,這就將積分型余項(xiàng)轉(zhuǎn)

7、化成拉格朗日余項(xiàng).如果直接對積分型余項(xiàng)用積分第一中值定理,則得到.由于,因此又可進(jìn)一步把改寫為. 上式稱為泰勒公式的柯西（cauchy）型余項(xiàng).2.3 泰勒級數(shù)函數(shù)在處的泰勒公式為.在上式中抹去余項(xiàng),那么在附近可用上式右邊的多項(xiàng)式來近似代替,如果函數(shù)在處存在任意階導(dǎo)數(shù),這時稱形式為 的級數(shù)為函數(shù)在的泰勒級數(shù).當(dāng)時,稱為函數(shù)的麥克勞林級數(shù). 如果在某鄰域內(nèi)等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù),則稱該級數(shù)為在點(diǎn)處的泰勒展開式.顯然在處的泰勒級數(shù)收斂的充要條件是在處泰勒公式中的余項(xiàng)極限為,即.3 泰勒展開式余項(xiàng)的應(yīng)用不同余項(xiàng)的泰勒公式之間是可相互轉(zhuǎn)換的,但是不同的余項(xiàng)在解決不同類型的問題時有各自的優(yōu)點(diǎn).接下來將通

8、過一些典型例題展開對泰勒公式中不同類型余項(xiàng)應(yīng)用的討論,加深對泰勒公式余項(xiàng)及其應(yīng)用的認(rèn)識. 3.1 佩亞諾型余項(xiàng)的應(yīng)用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在極限運(yùn)算,判斷函數(shù)凹凸性,判別廣義積分和級數(shù)斂散性等方面都有很巧妙的用處.3.1.1 極限運(yùn)算的應(yīng)用在函數(shù)極限運(yùn)算中,不定式極限的計(jì)算是重要內(nèi)容,因?yàn)檫@是比較困難的一類問題.在計(jì)算不定式極限時,我們常常使用洛必達(dá)法則或者洛必達(dá)法則與等價無窮小相結(jié)合.但對于有些未定式極限問題如果應(yīng)用泰勒公式求解,會更加簡單明了.例1 求極限.分析: 此為型極限,若用洛必達(dá)法則求解至少要用三次,求導(dǎo)過程也會很繁瑣.這時可將原極限中每一項(xiàng)分別用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式代替,則

9、可簡化此比式,進(jìn)而求得極限結(jié)果.解: 由函數(shù)在處的帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可以得到,.將以上結(jié)果代入極限式中,有.例 2 求極限.分析: 由和可知這是型的極限問題.若用洛必達(dá)法則求解,計(jì)算過程將十分繁瑣,可以考慮借用帶佩亞諾型的泰勒公式求極限.這里需要注意的是計(jì)算過程中無窮小的計(jì)算和泰勒公式展開的項(xiàng)數(shù),由于本題分子中只需要展開到就已足夠,這是因?yàn)榉帜甘?所以要求分子的佩亞諾型余項(xiàng)是比高階的無窮小.解: 由函數(shù)在處的帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可以得到 ,.將以上結(jié)果帶入極限式中,有.例3 求極限.分析: 這是型的極限問題.要取得有限極限值,則必須要求兩個無窮大是同階的.由于的極限是,故是的三階無窮

10、大,并且也是的三階無窮大. 顯然,此題的解答用帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式去替換和較為方便.另一方面,由于和兩項(xiàng)都出現(xiàn)了,不妨令做為變量進(jìn)行替換.解: 令,將和在處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,并代入原極限式中,可以得到 . 例4 求極限.分析: 考慮到極限式中含有,在應(yīng)用泰勒公式時應(yīng)取.解: 將函數(shù)在處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,得到.將上式代入極限式中,有.帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在極限運(yùn)算中是個有力的工具,熟練掌握會使函數(shù)極限運(yùn)算變得簡單.3.1.2 判斷函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)泰勒展開式在各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,不少書中利用它來判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值.同樣可以嘗試?yán)锰├照归_式來研究函數(shù)的

11、凹凸性及拐點(diǎn).例 5 設(shè)在上連續(xù),且在上具有一階和二階導(dǎo)數(shù).若在內(nèi),則為的凸函數(shù).證明: 設(shè)為內(nèi)任意兩點(diǎn),且足夠小.為中的任意兩點(diǎn),令,將在處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,有. （1）將分別代入（1）式中,得到, （2）. （3）（2）加（3）,得到. 因?yàn)楹瘮?shù)泰勒公式中的佩亞諾型余項(xiàng)為的高階無窮小量,而又足夠小,因此可以得到的符號與相同.另一方面,又因?yàn)?所以,從而有.即,故.由的任意性可得,在足夠小的區(qū)間上是凸函數(shù).再由的任意性可得在內(nèi)任意一個足夠小的區(qū)間內(nèi)部都是凸函數(shù),從而在內(nèi)是凸函數(shù).本題的關(guān)鍵在于利用泰勒展開式的余項(xiàng)建立了三個等式，進(jìn)而進(jìn)行推理證明。例6 如果在某內(nèi)階可導(dǎo),滿足,并

12、且.證明:若為奇數(shù),則為拐點(diǎn);若為偶數(shù),則不是拐點(diǎn).證明: 將導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,有由于,代入上式中有.又因?yàn)樘├照归_式的余項(xiàng)為的高階無窮小,所以在內(nèi)有與同號.從而可以得到當(dāng)為奇數(shù)時,在點(diǎn)的兩邊,異號所以的符號相異,從而為拐點(diǎn).當(dāng)n為偶數(shù)時,在點(diǎn)的兩邊的符號相同,所以不是拐點(diǎn).3.1.3 判別廣義積分收斂性在判定廣義積分的收斂性時通常用作為比較對象,從而利用比較判別法的極限形式判別無窮積分的收斂性.于是判定廣義積分的收斂性問題也就變成如何選取恰當(dāng)?shù)囊员愀玫貞?yīng)用比較判別法.我們可以通過帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式來研究的階,從而找到恰當(dāng)?shù)捻樌鉀Q問題.例 6 研究廣義積分的

13、斂散性.解: ,分別將,在處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,可以得到,代入被積函數(shù)中,有因此.又因?yàn)榉e分收斂,由比較判別法知原廣義積分也收斂.例7 討論無窮積分的斂散性.解: 將被積函數(shù)在處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,得.選取,因?yàn)槎?所以由無窮積分?jǐn)可⑿耘袆e定理得知收斂.例8 判斷廣義積分是否收斂？解: 由函數(shù)在處的帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式,有.于是可以得到,.代入積分表達(dá)式中并整理,有. 由于,所以是的一階無窮大量,而發(fā)散,故由比較判別法知原積分也發(fā)散.3.1.4 判別級數(shù)斂散性泰勒展開式能將某些函數(shù)近似地表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù),這種化繁為簡的功能使得在級數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類型函數(shù)

14、構(gòu)成的繁瑣形式時,可以進(jìn)行簡化或轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一形式,以便于利用判別準(zhǔn)則判斷級數(shù)斂散性.例9 討論級數(shù)的斂散性.分析: 首先需要判斷級數(shù)是否為正項(xiàng)級數(shù),但直接根據(jù)級數(shù)的通項(xiàng)去判斷存在一定的困難,也就難以選擇恰當(dāng)?shù)呐袆e方法.而對于,若令,不妨考慮將進(jìn)行泰勒展開,就得到的方冪形式.開二次方之后與相呼應(yīng),會簡化判別過程.解: 不妨設(shè),將在處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,有.令,代入上式,.在不等式兩邊同時開二次方,得到,從而有.故該級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù).因?yàn)?所以.由于級數(shù)收斂,由正項(xiàng)級數(shù)比較判別法知原級數(shù)收斂.例10 判斷級數(shù)的斂散性.解: 將函數(shù),分別在處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,得到,.代入原級數(shù)

15、中并整理,有因此有,由比較原則的極限形式知,級數(shù)和級數(shù)同斂散性.又因?yàn)檎?xiàng)級數(shù)發(fā)散,所以原級數(shù)發(fā)散.例11 設(shè)偶函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)鄰域內(nèi)連續(xù),且滿足,則級數(shù)絕對收斂.分析: 題中已知條件“二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)鄰域內(nèi)連續(xù)”這一信息提示可使用泰勒公式,而,可以使在點(diǎn)的展開式變得簡單,便于用比較判別法判別收斂.但是泰勒公式中缺少的值,不妨考慮剩余的條件“偶函數(shù)”.證明: 因?yàn)槭桥己瘮?shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)有,在等式兩邊同時對求導(dǎo),得.令,則有,故而.將在處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開,得.令,代入上式中,得到.等式兩邊同時在時取極限,有.由比較原則的極限形式知,級數(shù)與級數(shù)同斂散.又因?yàn)榧墧?shù)收斂,所以級數(shù)收斂,從而

16、級數(shù)絕對收斂.3.2 拉格朗日型余項(xiàng)的應(yīng)用 佩亞諾型余項(xiàng)只是對余項(xiàng)的定性估計(jì),而拉格朗日型余項(xiàng)則是對余項(xiàng)的定量表達(dá),因此它在證明等式和不等式,精確估計(jì)方面有重要作用.3.2.1 一些等式或不等式的應(yīng)用泰勒公式在等式或不等式證明中有著重要的應(yīng)用,應(yīng)用的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件如何選取需要展開的函數(shù)、在哪一點(diǎn)的鄰域展開以及展開的階數(shù)等.例12 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且在內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo),試證明必使得.分析: 題中已知條件告知二階連續(xù)可導(dǎo)而且等式中出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù),高階導(dǎo)數(shù)的存在提示我們使用展開到二階導(dǎo)數(shù)的泰勒公式是一種可行途徑,問題在于如何選取適當(dāng)?shù)恼归_點(diǎn)并建立等式.而待證的等式中出現(xiàn)了在點(diǎn),的函數(shù)值,不妨考慮將

17、在點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開,再分別令 進(jìn)而找出與的關(guān)系.解: 把,在點(diǎn)按帶泰勒公式展開到二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),得, （1）,. （2）（1）加（2）并移項(xiàng)整理,有. （3）另一方面,因?yàn)樵趦?nèi)二階連續(xù)可導(dǎo),所以二階導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù),故由最大最小值定理知,導(dǎo)函數(shù)在上有最大值和最小值,即存在、使得,從而有.由介值性定理知至少存在一點(diǎn),使得,代入（3）式中就證得 .例13 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二次可導(dǎo),且滿足,則必使得.證明: 將在點(diǎn),處分別按泰勒公式展開,得,其中介于與之間,介于與之間.令代入上面兩式,有,.兩式相減并整理,得.不妨令,于是有.這樣就證得.總結(jié): 利用泰勒公式證明等式和不等式主要有兩個步驟：（1）構(gòu)造函

18、數(shù),選取展開點(diǎn),寫出函數(shù)在展開點(diǎn)處的泰勒公式.那么如何選取適當(dāng)?shù)恼归_點(diǎn)呢？在一個區(qū)間中常常有一些特殊點(diǎn)體現(xiàn)了函數(shù)圖像的性質(zhì),如：端點(diǎn)、分點(diǎn)、零點(diǎn)、駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、拐點(diǎn),此外題中出現(xiàn)的點(diǎn)也應(yīng)該注意.運(yùn)用泰勒公式實(shí)質(zhì)上就是選擇導(dǎo)數(shù)信息較為充分的點(diǎn)作為展開點(diǎn),將函數(shù)展成比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式.（2）根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小、函數(shù)的界或三角不等式等,結(jié)合題干中的已知條件對余項(xiàng)進(jìn)行放縮.例14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),且滿足,試證明積分等式,其中.分析: 題中已知條件“具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)”提示可應(yīng)用泰勒公式加以證明.由于題目中要證的等式右邊出現(xiàn),不妨考慮將構(gòu)造函數(shù),并將其按帶拉格朗

19、日型余項(xiàng)的二階泰勒公式進(jìn)行展開.為便于運(yùn)用已知條件中的,可以考慮將作為展開點(diǎn),再分別令,從而引出使問題順利解決.證明: ,不妨設(shè)，則顯然有.將函數(shù)對求導(dǎo)可以得到,.把在處進(jìn)行二階泰勒展開,有, （1）其中介于與之間.分別令,代入（1）式中并將所得兩式相減,有.（2）其中介于與之間,介于與之間.再在（2）式右邊分別令,.將所得兩式相加,得到.因?yàn)?故而.設(shè),則.又因?yàn)樵谏线B續(xù),由介值定理知存在,使得,于是.這樣就證得,其中.由上例可知,在已知被積函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時證明定積分等式,一般先構(gòu)造輔助函數(shù).再將函數(shù)在所需點(diǎn)（一般是根據(jù)右邊的表達(dá)式確定展開點(diǎn)）進(jìn)行泰勒展開,然后對泰勒余項(xiàng)做適

20、當(dāng)處理（利用介值定理或最大值最小值定理）.例15 設(shè)在上二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù),且,則.分析: 需要證明的不等式左邊含有積分號,而右邊則可改寫為,則問題轉(zhuǎn)化為證明積分不等式.又因?yàn)樯婕暗蕉A導(dǎo)函數(shù)及,所以考慮在點(diǎn)處使用泰勒公式.另外,存在一個十分便利的隱含條件,這意味著若對泰勒公式兩邊同時積分,則泰勒公式中含有一階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)可以消去.證明: 將在處按泰勒公式展開,得,其中介于與之間.因?yàn)?所以.不等式的兩邊同時在上取定積分,有.于是就證得 .3.2.3 證明根的唯一存在性例16 設(shè)函數(shù)在上處處有,且滿足.試證明方程在內(nèi)有且僅有一個實(shí)根.分析: 這里是抽象函數(shù),直接討論方程的根存在一定的困難.由題中已知條

21、件在區(qū)間上二階可導(dǎo),而且,不妨考慮將函數(shù)在點(diǎn)處展開為一階的泰勒公式,再根據(jù)對泰勒公式進(jìn)行放縮,消去余項(xiàng).然后設(shè)法應(yīng)用介值定理進(jìn)行證明.證明: 將在處按泰勒公式展開并整理,有令,故當(dāng)時,不妨取,那么,由零點(diǎn)定理知,使得,即方程至少有一個實(shí)根.另一方面,由于,因此導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)減少的,所以當(dāng)時必有,故在上是嚴(yán)格遞減的.這就說明方程在內(nèi)有且僅有一個實(shí)根.3.2.4 近似計(jì)算與誤差估計(jì)泰勒展開式是“函數(shù)逼近”思想的一個重要應(yīng)用,在數(shù)值計(jì)算中不僅能用于近似計(jì)算和誤差分析,而且能夠判定迭代法的收斂速度,導(dǎo)出euler法和newton迭代法及誤差分析等.本文僅簡單介紹泰勒展開式在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用.利

22、用帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式可以進(jìn)行函數(shù)的近似計(jì)算和一些數(shù)值的誤差分析,由的麥克勞林公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式為,其誤差是余項(xiàng).例17 估算的值,使其誤差不超過.解: 令,將改寫為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式,有,.當(dāng)時有,.故誤差為,當(dāng),便有.從而略去而求得的近似值為.綜合以上幾種具體而實(shí)用的方法,是對泰勒展開式余項(xiàng)的應(yīng)用做了一個推廣,對我們解決某些具體問題有莫大的幫助.佩亞諾型和拉格朗日型都是對余項(xiàng)的估計(jì),其中佩亞諾型余項(xiàng)只是定向分析,拉格朗日余項(xiàng)雖然是定量分析但仍然含有不確定因素.然而積分型余項(xiàng)則不含類似因素,它是完全確定的.這正是積分型余項(xiàng)的優(yōu)點(diǎn).在許多較為精確的估計(jì)式中,經(jīng)常使用帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式.由于其原理與拉格朗日型余項(xiàng)在近似計(jì)算中相似,在此不作重復(fù).此外,與泰勒展開式密切相關(guān)的泰勒級數(shù)也有很大的實(shí)用性,其主要內(nèi)容包括兩個方面: 冪級數(shù)的收斂理論及如何對一個函數(shù)進(jìn)行泰勒展開.如果已知函數(shù)的泰勒展開式,則其通項(xiàng)中的系數(shù)正是,從而可以利用函數(shù)的泰勒展開式來求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值.在求冪級數(shù)的收斂半徑及和函數(shù)時也常常用到泰勒展開式,需要特別指出的一點(diǎn)是,在求得函數(shù)的泰勒展開式