2圓的基本概念和性質(zhì)—知識(shí)講解答案版

1、圓的基本概念和性質(zhì)一知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 知識(shí)目標(biāo)：理解圓的有關(guān)概念和圓的對(duì)稱性；2 能力目標(biāo):能應(yīng)用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關(guān)系，？圓的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算或證明;3 .情感目標(biāo):養(yǎng)成學(xué)生之間發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探討問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的定義及性質(zhì)1. 圓的定義（1）動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段 0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) 0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A隨之旋轉(zhuǎn)所形 成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn) 0叫做圓心，線段 0A叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“O 0,讀作“圓 0.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?圓心確定圓的位置， 半徑確定圓的大??； 確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可; 圓

2、是一條封閉曲線靜態(tài)：圓心為0,半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn) 0的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑； 圓指的是圓周，而不是圓面； 強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，至U定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面2. 圓的性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來(lái)圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形， 對(duì)稱中心是圓心； 圓是軸對(duì)稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸或者說(shuō)，經(jīng)過(guò)圓心的任何一條直線都是圓的對(duì)稱軸.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸； 因?yàn)橹睆绞窍遥矣质蔷€段，而對(duì)稱軸是直線，所以不能說(shuō)“圓的對(duì)稱軸是直徑”，而應(yīng)該說(shuō)“圓的對(duì)

3、稱軸是直徑所在的直線”3. 兩圓的性質(zhì)兩個(gè)圓組成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）要點(diǎn)二、與圓有關(guān)的概念1. 弦弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑 .弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.要點(diǎn)詮釋?zhuān)褐睆绞菆A中通過(guò)圓心的特殊弦，也是圓中最長(zhǎng)的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑為什么直徑是圓中最長(zhǎng)的弦？如圖，AB是O O的直徑，CD是O O中任意一條弦，求證： AB CD.證明：連結(jié)OC、OD/ AB=AO+OB=CO+OD CD（當(dāng)且僅當(dāng) CD過(guò)圓心 O時(shí)，取“=”號(hào)） 二直徑AB是O O中最長(zhǎng)的弦.2.弧弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫

4、做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作一二，讀作“圓弧 AB ”或“弧AB ” .半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓； 優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧 .要點(diǎn)詮釋?zhuān)?半圓是弧，而弧不一定是半圓； 無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧 .3. 同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.【高清ID號(hào)：356996關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：概念、性質(zhì)的要點(diǎn)回顧】4. 等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視； 圓中兩平行弦所夾

5、的弧相等.【典型例題】類(lèi)型一、圓的定義1.已知：如圖，矩形ABCD勺對(duì)角線 AC與BD相交于點(diǎn) 0,求證：點(diǎn) A B、C、D在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.【答案與解析】四邊形ABCD是矩形， OA=OC OB=OD AC=BD OA=OC=OB=OD 點(diǎn)A B、C、D在以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓上【總結(jié)升華】 要證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，只能依據(jù)圓的定義， 去說(shuō)明這些點(diǎn)到平面內(nèi)某一點(diǎn)的距離相等舉一反三：【變式】平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則該平行四邊形一定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2. 爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點(diǎn)導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點(diǎn)120m

6、以外的安全區(qū)域。這個(gè)導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為18cm,那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？【答案與解析】18-導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為=20(s)0.9相同時(shí)間內(nèi)，人跑的路程為20 65 = 130(m)點(diǎn)導(dǎo)火索的人安全【總結(jié)升華】 爆破時(shí)的安全區(qū)域是以爆破點(diǎn)為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示 .類(lèi)型二、圓及有關(guān)概念 3 .已知，點(diǎn)P是半徑為5的O O內(nèi)一點(diǎn)，且 OP=3在過(guò)點(diǎn)P的所有的O O的弦中，弦長(zhǎng)為整數(shù)的 弦的條數(shù)為()A.2B.3C.4D.5【答案】C.【解析】作圖，過(guò)點(diǎn)P作直徑AB,過(guò)點(diǎn) P作弦，連接OC貝y OC=5 CD=2PC由勾股定理，得- CD=2PC=8 又T AB=1

7、0,過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng).的取值范圍是弦長(zhǎng).的整數(shù)解為8, 9，10，根據(jù)圓的對(duì)稱性，弦長(zhǎng)為9的弦有兩條，所以弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共 4條. 故選C.【總結(jié)升華】 在一個(gè)圓中，過(guò)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦是經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)的直徑，最短的弦是經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)與直徑垂直的弦知道這些，就可以利用垂徑定理來(lái)確定過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)的取值范圍根據(jù)圓的對(duì)稱性，弦長(zhǎng)為9的弦有兩條，容易漏解類(lèi)型三、圓的對(duì)稱性a4. 圓0所在平面上的一點(diǎn) P到圓0上的點(diǎn)的最大距離是 10,最小距離是2,求此圓的半徑是多少?【答案與解析】如圖所示，分兩種情況：（1）當(dāng)點(diǎn)P為圓0內(nèi)一點(diǎn)（如圖1），過(guò)點(diǎn)P作圓0的直徑，分別交圓 0于A、B兩點(diǎn)，由題意可得P到圓0最大距離為10，最

8、小距離為2，貝U AP=2 BP=10,2+10所以圓0的半徑為2一10 =6.2圖1（2）當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)（如圖2）P到圓0最大距離為10,10 2最小距離為 2,貝U BP=10, AP=2,所以圓 0的半徑=4.2綜上所述，所求圓的半徑為 6或4.【總結(jié)升華】 題目中說(shuō)到最大距離和最小距離，我們首先想到的就是直徑，然后過(guò)點(diǎn)P做圓的直徑，得到圓的半徑通常情況下，我們進(jìn)行的都是在圓內(nèi)的有關(guān)計(jì)算，這逐漸成為一種習(xí)慣，使得我們 一看到題首先想到的就是圓內(nèi)的情況，而忽略了圓外的情況，所以經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)漏解的情況這也是本題想要提醒大家的地方 體現(xiàn)分類(lèi)討論的思想舉一反三：【變式1】平面上的一個(gè)點(diǎn)到圓的最小距

9、離是4cm,最大距離是9cm，則圓的半徑是（）A.2.5cmB.6.5cm C. 2.5cm 或 6.5cm D. 5cm 或 13cm【答案】C.【高清ID號(hào)： 356996關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：知識(shí)講解二-四】【變式2】（1 ）過(guò)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.（2）交通工具上的輪子都是做圓的，這是運(yùn)用了圓的性質(zhì)中的 .【答案】（1 ）不在同一直線；（2）圓的旋轉(zhuǎn)不變性；5.如圖，O0的直徑為10,弦AB=8P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么0P的長(zhǎng)的取值范圍是【答案】3W OPC 5.【解析】OP最長(zhǎng)邊應(yīng)是半徑長(zhǎng)，為 5; 根據(jù)垂線段最短，可得到當(dāng) OPL AB時(shí)，OP最短.直徑為10,弦AB=8/ OPA=90 , OA=5,由圓的對(duì)稱性得 AP=4,由勾股定理的OP