河北省唐山市重點(diǎn)高中2020-2021高二下學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試卷（及答案）

1、20202021學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)摸底考試數(shù) 學(xué) 試 卷一、 單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知，集合Mx|x23x+4，Nx|x3，則MN（）A（1，3）B（12）C（3，4）D（4，+）2已知i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3已知數(shù)列an是等差數(shù)列，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a137，則S25（）A350B700CD1754（5分）若雙曲線mx2y21的一條漸近線為2xy0，則實(shí)數(shù)m（）ABC2D45已知函數(shù)f（x）2log2（xa）log2x若對(duì)于任意的x（0，

2、+），都有f（x）1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（，1）BC（，1D6已知正三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BCC1B1的面積為4，則正三棱柱ABCA1B1C1外接球表面積的最小值為（）ABCD7已知點(diǎn)O為ABC的外心，且A，則ABC的形狀是（）A直角三角形B等邊三角形C直角三角形或等邊三角形D鈍角三角形8已知直線l過點(diǎn)（2，0）且傾斜角為，若l與圓（x3）2+y220相切，則（）ABCD二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分 9(2020山東臨沂二模、棗莊三調(diào))設(shè)向量a(2,0)，b(1,

3、1)，則()A|a|b|B(ab)bC(ab)bDa與b的夾角為 10如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF，則下列結(jié)論中正確的是（）AACBEBEF平面ABCDCAEF的面積與BEF的面積相等D三棱錐EABF的體積為定值11已知函數(shù)f（x）asinx+bcosx（ab0），且對(duì)任意xR都有，則（）Af（x）的最小正周期為2Bf（x）在上單調(diào)遞增C是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)D12(多選)(2020山東濰坊高密一模)關(guān)于函數(shù)f(x)，下列結(jié)論正確的是()A圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C在(，0)上單調(diào)遞增Df(x)恒大于0 第卷(非選擇題共90分

4、)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13（5分）已知函數(shù)f（x）xex1，則曲線yf（x）在x1處的切線方程為 14.（5分）2020年在抗擊新型冠狀病毒期間，武漢市在漢陽、江岸、硚口、洪山、武漢開發(fā)區(qū)等城區(qū)修建了方艙醫(yī)院，專門收治新型冠狀病毒肺炎感染的輕癥患者現(xiàn)將6名志愿者分配到漢陽、江岸、硚口這3個(gè)城區(qū)去負(fù)責(zé)藥品的分發(fā)工作，若每個(gè)城區(qū)，至少有一名志愿者，則不同的分配方法有 種（用數(shù)字作答）x0246y12m+12m3m15已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下，且它們之間存在較好的線性關(guān)系則y與x的回歸直線方程必過定點(diǎn) 16已知A（5，0），B（5，0），若對(duì)任意實(shí)數(shù)tR，點(diǎn)P都滿足，

5、則的最小值為 ，此時(shí)| 四、 解答題：本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17已知函數(shù)的圖象與直線y2的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，且_在函數(shù)為偶函數(shù)；xR，；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并解答（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）求函數(shù)f（x）在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間18. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19如圖，在菱形ABCD中，A60且AB2，E為AD的中點(diǎn)，將ABE沿BE折起使AD，得到如圖所示的四棱錐ABCDE（）求證：平面ABE平面ABC；（）若P為AC的中點(diǎn)，求三棱錐PABD的體積2

6、0某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的化學(xué)成績，把其中不低于50分的分成五段50，60），60，70），90，100后畫出如圖部分頻率分布直方圖觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出這60名學(xué)生中化學(xué)成績低于50分的人數(shù)；（2）估計(jì)高二年級(jí)這次考試化學(xué)學(xué)科及格率（60分以上為及格）；（3）從化學(xué)成績不及格的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，求他的成績低于50分的概率21（12分）已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，且|AB|4（1）求橢圓C的方程；（2）已知過左頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C另交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，在平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)P，使得恒

7、成立？若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，并求ADP面積的最大值；若不存在，說明理由22（12分）已知函數(shù)f（x）2lnx+x22ax（a0）（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一1【分析】求出集合M，N，由此能求出MN【解答】解：集合Mx|x23x+4x|1x4，Nx|x3，MNx|1x3（1，3）故選：A2【分析】對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡，從而求出其所在的象限即可【解答】解：z，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選：B3【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出S25的值【解答】解：數(shù)列an是等差數(shù)列，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S

8、n，a137，S25（a1+a25）25a13175故選：D4求解得答案【解答】解：雙曲線mx2y21化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程為y，又雙曲線mx2y21的一條漸近線為2xy0，即m4故選：D5【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，即，令，則由二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求范圍【解答】解：由f（x）1整理得log2（xa）log2x+log2，所以，即，令，則令，其圖象的對(duì)稱軸為，所以g（t）ming（），則故選：B6【分析】畫出圖形，設(shè)出側(cè)面BCC1B1的邊長，利用面積列出關(guān)系式，轉(zhuǎn)化求解外接球的半徑的最小值，然后求解表面積的最小值即可【解答】解：如圖：設(shè)BCa，BB1b，球的半徑為R，外接球的

9、球心為O，底面三角形的中心為O1，由側(cè)面BCC1B1的面積為4，可得ab4，外接球的表面積取最小值時(shí)，外接球的半徑最小，A1O1a，R，當(dāng)且僅當(dāng)，ab4，即a，b時(shí)等號(hào)成立此時(shí)外接球取得最小值：4故選：D7【分析】取AB、AC的中點(diǎn)E、F，則根據(jù)平面向量的三角形法則可得2a2b2+c2，然后求出B的范圍，再求出B的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得ABC，即可判斷ABC的形狀【解答】解：取AB、AC的中點(diǎn)E、F，則（）（）（）（a2b2），同理（c2a2），所以2a2b2+c2又A，由余弦定理，得a2b2+c2bc，即b2+c2a2+bc，所以bca2，由正弦定理，得sinBsinCsin2A，即

10、sinBsin（B），所以sinBsin（B）sinB（cosB+sinB）sin2B+，所以sin2Bcos2B2，所以2sin（2B）2，即sin（2B）1，因?yàn)锽，2B（，），所以2B，解得B，所以ABC，ABC的形狀是等邊三角形故選：B8.【分析】求出圓的圓心和半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出m的值，求出tan的值，再化簡三角函數(shù)，根據(jù)二倍角公式求出答案即可【解答】解：圓（x3）2+y220的圓心坐標(biāo)是（3，0），半徑r2，設(shè)直線l的方程為xmy2，即xmy+20，顯然m0，由題意得：2，化簡得4m210，解得：m或m，tan，tan2，sin（2）cos2故選：A二9.答案CD解析因?yàn)閍

11、(2,0)，b(1,1)，所以|a|2，|b|，所以|a|b|，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閍(2,0)，b(1,1)，所以ab(1，1)，所以(ab)與b不平行，故B錯(cuò)誤；又(ab)b110，故C正確；又cosa，b，所以a與b的夾角為，故D正確故選CD.10【分析】證明線面垂直，可得線線垂直判斷A；由直線與平面平行的判定定理判斷B；由點(diǎn)A和點(diǎn)B到EF的距離不相等，可得AEF的面積與BEF的面積不相等，判斷C錯(cuò)誤；連接BD，交AC于O，則AO為三棱錐ABEF的高，利用等體積法證明三棱錐EABF的體積為定值判斷D【解答】解：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，DD1平面ABCD，而AC平面ABCD，則D1DAC，又AB

12、CD為正方形，ACBD，D1DBDD，且D1D、BD平面DD1B1B，AC平面DD1B1B，BE平面DD1B1B，ACBE，故A正確；B1D1BD，BD平面ABCD，B1D1平面ABCD，BD平面ABCD，而EF在B1D1上，EF平面ABCD，故B正確；點(diǎn)B到EF的距離為正方體的棱長，A到EF的距離大于棱長，則AEF的面積與BEF的面積不相等，故C錯(cuò)誤；如圖所示，連接BD，交AC于O，則AO為三棱錐ABEF的高，EFBB11，則為定值，故D正確故選：ABD11【分析】由已知可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x對(duì)稱，則f（0）f（），由此可求得ab，代入f（x）解析式中，利用輔助角公式化簡可得f（x）2

13、bsin（x+），由正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一選項(xiàng)判斷即可得結(jié)論【解答】解：函數(shù)f（x）asinx+bcosx（ab0），且對(duì)任意xR都有，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x對(duì)稱，所以f（0）f（），即bab，所以ab，由ab0，可得，故D正確；所以f（x）bsinx+bcosx2b（sinx+cosx）2bsin（x+），所以f（x）的最小正周期為2，故A正確；當(dāng)x，x+，當(dāng)b0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增；當(dāng)b0時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤當(dāng)x時(shí)，f（x）0，故是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，故C正確故選：ACD12答案ACD解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)，因?yàn)閒(x)，f(x)f(x)，故函數(shù)f(

14、x)為偶函數(shù)，所以A正確，B不正確；當(dāng)x0時(shí)，y0，且y在(0，)上單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，y10，且y1在(0，)上單調(diào)遞減，而f(x)，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，又f(x)為偶函數(shù)，故f(x)在(，0)上單調(diào)遞增，所以C正確；由知，f(x)，當(dāng)x0時(shí)，0，ex10，又f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，故D正確故選ACD三13【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f（1），求出切線方程即可【解答】解：f（x）xex1+ex1f（1）2，f（1）1，故切線方程是：y12（x1），即y2x1；14【分析】根據(jù)題意，按分配人數(shù)的不同分3種情況討論，求出每種情況的方案數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案由分類加法原理

15、，所以共有90+360+90540種分配方案15【分析】運(yùn)用回歸直線過樣本中心點(diǎn)可得結(jié)果【解答】解：根據(jù)題意得，回歸直線過樣本中心點(diǎn)3，y與x的回歸直線方程必過定點(diǎn)（3，）故答案為（3，）16【分析】不妨以A，B的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過O且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，H為AB上一點(diǎn)，推出，說明P到直線AB的距離為3，P點(diǎn)在直線L：y3上，然后求解取最小值16，推出【解答】解：A（5，0）和B（5，0）在中點(diǎn)為原點(diǎn)O（0，0），不妨以A，B的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過O且垂直于AB的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，H為AB上一點(diǎn)，故，所以，P到直線A

16、B的距離為3，則P點(diǎn)在直線L：y3上，可得：A（5，0），B（5，0），P（x，3），則（5x，3）（5x，3）x225+9x216，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，取最小值16，此時(shí)P（0，3），故答案為：16；6四17【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別求出 和的值即可（2）求出角的范圍，結(jié)合是函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可【解答】解：（1）函數(shù)的圖象與直線y2的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，即周期T2，即2，得1，則f（x）2sin（x+）若選函數(shù)為偶函數(shù)，則2sin（x+）是偶函數(shù)，則+k+，kZ，得k+，kZ，0，k0時(shí)，則f（x）2sin（x+）若選，則f（x）2sin（+），即sin（+），0，+，

17、則+，即，則則f（x）2sin（x+）若選xR，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，即+2k+，kZ，得2k+，kZ，0，k0時(shí)，則f（x）2sin（x+）綜上函數(shù)f（x）的解析式為f（x）2sin（x+）（2）當(dāng)x0，時(shí)，x+，則當(dāng)x+，時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，此時(shí)由x+，得0x，即f（x）在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間為0，18. (本小題滿分12分)（）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a26，a3a472，6q6q272，即q2q120，q3或q4又an0，q0，q3，a12ana1qn123n1(nN*).（）bn23n1n，Sn2(13323n1)(123n)23n119【分析】（）由已知證明AE底

18、面BCDE，可得BCAE，再由BCBE，得到BC平面ABE，進(jìn)一步可得平面ABE平面ABC；（）利用VPABDVABCDVPBCD求解【解答】證明：（）在圖中，由AB2，AE1，A60，得BE2AB2+AE22ABAEcos60AE2+BE2AB2，可得BEAE，則BEBC在圖中，有AEBE，又AEED1，AD，AE2+ED2AD2，即AEEDBEEDE，AE平面BCDE，得AEBC，又BEAEE，BC平面ABE，而BC平面ABC，平面ABE平面ABC；解：（）由（）知，AE平面BCD，且AE1，P為AC的中點(diǎn)，P到平面BCD的距離為又2VPABDVABCDVPBCD故三棱錐PABD的體積為2

19、0【分析】（1）低于50分的頻率為0.1，由此能求出低于50分的人數(shù)（2）成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），頻率之和為0.75，由此可以估計(jì)這次考試化學(xué)學(xué)科及格率約為75%（3）“成績低于50分”的人數(shù)是6人，成績?cè)?0，60）這組的人數(shù)是9人，由此能求出從成績不及格的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，他的成績低于50分的概率【解答】解：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，故低于50分的頻率為：1（0.0152+0.03+0.025+0.005）100.1，所以低于50分的人數(shù)為600.16（人）（2）依題意，成績60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組）

20、，頻率之和為（0.015+0.03+0.025+0.005）100.75，所以，抽樣學(xué)生成績的及格率是75%，于是，可以估計(jì)這次考試化學(xué)學(xué)科及格率約為75%（3）由（1）知，“成績低于50分”的人數(shù)是6人，成績?cè)?0，60）這組的人數(shù)是0.01510609（人），所以從成績不及格的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，有15種選法，成績低于50分有6種選法，故他的成績低于50分的概率為21【分析】（1）求得雙曲線的離心率，由題意可得橢圓的離心率，結(jié)合頂點(diǎn)的概念和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為yk（x+2），聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得D的坐標(biāo)，由A（2，0），B（2，0），設(shè)P（m，n），在平面內(nèi)假設(shè)存在一定點(diǎn)P，使得恒成立，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理，結(jié)合恒等式的性質(zhì)，可得m，n，可得P的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，可得所求三角形的面積的最大值【解答】解：（1）雙曲線的離心率為2，由題意可得橢圓的離心率為e，|AB|4，即2a4，即a2，b，橢圓的方程為+1；（2）過左頂點(diǎn)A的直線l的斜率顯然存在，設(shè)為k，方程設(shè)為yk（x+2），可得E（0，2k），且A（2，0），B（2，0），設(shè)P（m，n），由可得（3+4