北航工科數(shù)學(xué)分析楊小遠第4節(jié)函數(shù)極限的定義與基本理論2學(xué)時[1]課件

1、2.4 2.4 函數(shù)的極限的定義與基本理論函數(shù)的極限的定義與基本理論一、極限的定義一、極限的定義sin,0.sin0arctan,arctan,0 xyxxyxxyxxxyxx 觀觀察察函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時時的的變變化化，當(dāng)當(dāng)時時的的變變化化當(dāng)當(dāng)時時的的變變化化當(dāng)當(dāng)時時的的變變化化問題問題: :如何用描述如何用描述? ?定義定義1 1（鄰域）鄰域）稱稱集集合合00(;)|0|oUxxxx 0.x為為點點的的去去心心鄰鄰域域定義定義2 2（函數(shù)極限（函數(shù)極限）0()f xx設(shè)設(shè)在在點點的的去去心心鄰鄰域域0(;)U xA 內(nèi)內(nèi)有有定定義義， 為為一一個個實實數(shù)數(shù)，若若00,|xx 對對存存在在當(dāng)當(dāng)0

2、0 - - - - - - - - 120min,0|:xxd dd d d dd d= = - - ),0(0,)(lim0 AAAxfxx或或且且若若性質(zhì)性質(zhì)4.(4.(保號性保號性) )證明：證明：則則取取,|0 , 0,20 xxA得得,2|)(|AAxf .23)(20AxfA 00,(; ),( )0( )0).oxUxf xf x 則則存存在在當(dāng)當(dāng)時時或或.)(有有相相同同的的符符號號在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)與與所所以以Axf0 (; ) ,oxUx 如如果果當(dāng)當(dāng)時時 下下列列函函數(shù)數(shù)滿滿足足),()()()1(xhxfxg ,)(lim,)(lim)2(00AxhAxgxxxx .

3、 , )(lim 0Axfxx且且等等于于存存在在那那么么性質(zhì)性質(zhì)5(5(夾逼定理夾逼定理) )AC例例2 2 求求.sinlim0 xxxxoBD,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時時當(dāng)當(dāng) xxcos1 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx 0解：如圖易得解：如圖易得 三、極限的四則運算性質(zhì)三、極限的四則運算性質(zhì). 0,)()(lim)3( BBAxgxf其中其中定理定理1 1（函數(shù)極限四則運算

4、性質(zhì)）（函數(shù)極限四則運算性質(zhì)）則則設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf ;)()(lim)1(BAxgxf ;)()(lim)2(BAxgxf 3113lim11xxx 例例3 3 計計算算23311132limlim111xxxxxxx 解解： 2112lim111xxxxxx 例4 有理函數(shù)的極限., ,)()(都是多項式都是多項式其中其中有理函數(shù)有理函數(shù)qpxqxp,)()(lim 0 xqxplxx 考考慮慮.)()( , 0)( . 1000 xqxplxq 則則如果如果. , 0)( , 0)( . 200極極限限不不存存在在則則如如果果 lxpxq則可設(shè)則可設(shè)如果如果, 0)

5、( , 0)( . 300 xpxq);0)(,(),()()();0)(,(),()()(01*1001*10 xqNxqxxxqxpNxpxxxp )1(1lim1xmxmx例例8 8 .,;,)()(;, 0 )()()(lim)()(lim 010111000 xqxpxqxpxxxqxplxxxx此時此時tx 1. 11)1(lim0 mttmt)11(lim1 nmxxnxm21)1()1()1(lim xmnxnxmmnx201)1(1)1(limmnttntmmnt )1)(1()1()1(lim1 nmmnxxxxnxm)1(tx 例例9 92220)12)1(1()12)1

6、(1(limmnttmmmtntnnntmt ( () )2332011()22limnntnmmnmntc tc tmnt + + +- -+ + + += =L L2121 mn.2mn ,)(lim,)(lim000 xtgAxfttxx 設(shè)設(shè) .)(lim)(lim00Axftgfxxtt 則則00( ; )( ),oUtg tx 且且在在內(nèi)內(nèi)定理定理2 2（復(fù)合函數(shù)的極限）（復(fù)合函數(shù)的極限）證明：證明：.|)(| Atgf,)(lim0Axfxx , 0, 0 0(;),oxUx 當(dāng)時當(dāng)時.|)(| Axf, 0 對對上上述述, 0 0( ; ),otUt 當(dāng)當(dāng)時時,|)(|0 xt

7、g),()(0 xUtgo ,0, 10, 0)(uuufyxxxgu1sin)( 00lim ( )0,lim( )1,xug xf u0lim( ( ).xf g x不不存存在在00( ; )( ).oUtg tx 在內(nèi)不能少在內(nèi)不能少 注注10,;( ( )11,.xnf g xxn 例例5 51cos1*sinlimtanlim00 xxxxxxx), 1coslim(0由剛才過程可知由剛才過程可知 xxbababxbxaxaxbxaxxx *sin*sinlimsinsinlim00的應(yīng)用的應(yīng)用1sinlim0 xxx復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù)求極限極限4*)2()2(sinlim2)2(s

8、in2limcos1lim22022020 xxxxxxxxx )2(xt 21)sin(lim2120 tttxxxarcsinlim0txsin 1sinlim0 ttt復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù)求極限極限復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求極限求極限xxxarctanlim0tx arctantxtan 1tanlim0 ttt2tan)1(lim1xxx tx 1tx 1)22tan(*lim0ttt tttt2cos*2sinlim0 ttt2cot*lim0 22sin2lim20 ttt0( )(; ), of xUx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義在在定理定理3 (3 ( 海涅定理海涅定理) ) 0000(; )

9、,nnxUxxxx 都都有有l(wèi)im( )xaf xA 則 則 的充分必要條件是：的充分必要條件是：.)(limAxfnn 注注: 海涅定理建立了數(shù)列極限和函數(shù)極限的聯(lián)系海涅定理建立了數(shù)列極限和函數(shù)極限的聯(lián)系 四、海涅定理和柯西定理證：恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng),0, 0, 00 xxAxfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng)對對上上述述,)( Axfn從而有從而有l(wèi)im().nnf xA 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又.)( Axf不不成成立立，假假設(shè)設(shè)Axfxx )(lim0*00010, , ,0 |:|()|.nnnnNxxxf xAn 但但是是即

10、即找找到到了了一一個個數(shù)數(shù)列列,|00 xxxxxnnn .)(limAxfnn 結(jié)論得證結(jié)論得證xy1sin 例例9 9.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n, 0 得證得證證明：證明：,)(lim0Axfxx .2|)(| ,00 Axfxx時時當(dāng)當(dāng)則則特特別別：取取2 , 1,|00 ixxi .22)()()()(2121 AxfAxfxfxf,0,0 定理

11、定理4 (4 ( 柯西收斂定理柯西收斂定理) ) *0( )(;), of xUx 函數(shù)定義在函數(shù)定義在lim( )xaf xA 則則的充分必要條件是：的充分必要條件是：*1201020120,0,(;),0 |,0 |:()().oxxUxxxxxf xf x )(lim,00 xxxxxnnnn 滿滿足足任任取取,N0,* N 對對時時，當(dāng)當(dāng)Nnm , |00 xxm | )()(|mnxfxf.)(列列是是Cauchyxfn.)(lim存在存在xnnlxf ,00 xxn.,2211nnnzyxyxyx組組成成將將 00lim,lim().nnnnynnyyxyxf yl同理,任取,=同

12、理,任取,=00,nnxxxx 對對任任意意收收斂斂于于的的數(shù)數(shù)列列.)(limlxfnn 都都有有知知定理定理據(jù)據(jù),Heine,nnnxyz由由于于是是的的子子列列 所所以以.xylll ),(lim00 xzxznnn 且且lim().nnf zl 所所以以lim( ).xaf xA 思考題目用海涅定理重新證明：用海涅定理重新證明：函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、保序性）；函數(shù)極限的基本性質(zhì)（唯一性、保序性）；四則運算；四則運算；復(fù)合運算性質(zhì)；復(fù)合運算性質(zhì)；夾逼定理夾逼定理.海涅海涅 (Heine.H.E,1821(Heine.H.E,182118811881）德國數(shù)學(xué)家，）德國數(shù)學(xué)家，是高斯、狄利克雷的學(xué)生是高斯、狄利克雷的學(xué)生. .海涅在數(shù)學(xué)分析及海涅在數(shù)學(xué)分析及應(yīng)用數(shù)學(xué)方面有較大的成就，他闡述了一致收應(yīng)用數(shù)學(xué)方面有較大的成就，他闡述了一致收斂的概念，證明了連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)定理斂的概念，證明了連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)定理. .他在證明函數(shù)的一致連續(xù)性時，利用了閉區(qū)間他在證明函數(shù)的一致連續(xù)性時，利用了閉區(qū)間具有有限開覆蓋的性質(zhì)，較早地掌握了覆蓋定具有有限開覆蓋的性