智能控制講義第三章模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第3章 模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.1 概述模糊數(shù)學(xué)為模糊系統(tǒng)與模糊控制的發(fā)展提供了起點(diǎn)和基本語(yǔ)言。模糊數(shù)學(xué)本身就是一個(gè)巨大的領(lǐng)域，其原理是由用模糊集合的概念取代經(jīng)典數(shù)學(xué)理論中的集合概念而發(fā)展來(lái)的。按照這種方式，所有的經(jīng)典數(shù)學(xué)分支都可以被“模糊化”，于是誕生了模糊測(cè)度理論、模糊拓?fù)?、模糊算?shù)和模糊分析等等分支。顯然，模糊數(shù)學(xué)中僅有一部分可以應(yīng)用到工程中去。本章僅僅介紹后續(xù)模糊控制器設(shè)計(jì)中所用到的相關(guān)內(nèi)容。圖3-2 模糊集合的特征函數(shù)A (u)Auab1圖3-1 Contor集合的特征函數(shù)0A (u)在現(xiàn)實(shí)生活中，人們接觸過(guò)很多概念。任何一個(gè)概念都有著其內(nèi)涵和外延。概念的內(nèi)涵是這一概念的本質(zhì)屬性，而概

2、念的外延是指符合這一概念的對(duì)象范圍。當(dāng)我們談?wù)撃骋粋€(gè)概念的外延時(shí)，總離不開一定的討論范圍。如我們討論“工業(yè)控制計(jì)算機(jī)”這一概念時(shí)，自然我們不會(huì)去考慮那些風(fēng)馬牛不相及的事物，如汽車、機(jī)床或老鼠、大象等。我們討論的這個(gè)范圍稱為“論域”，論域中的每個(gè)對(duì)象稱為“元素”。而具有某些特定屬性的元素的全體構(gòu)成了該論域上的一個(gè)集合。對(duì)于這些明確的概念，我們可以用德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Contor Georg, 1845-1918)提出的經(jīng)典集合來(lái)表示。對(duì)于這種具有明確外延的概念，即對(duì)于一個(gè)具體的對(duì)象來(lái)說(shuō)，它要么屬于這個(gè)概念的范圍，要么不屬于這個(gè)概念的范圍。集合的特征函數(shù)描述了這個(gè)明確的外延。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，有許

3、多問(wèn)題不能用Contor集合來(lái)描述，即，這些概念沒(méi)有明確的外延。這種沒(méi)有明確外延的概念我們稱之為模糊概念。如，青年人、老年人、高個(gè)子、好人等概念。1965年美國(guó)自動(dòng)控制理論專家L.A.Zadeh提出了模糊集合理論，解決了對(duì)這類概念的描述。模糊集合理論將Contor集合論中的概念拓展，即，把特征函數(shù)的取值范圍從0，1擴(kuò)充到0，1，不再把論域中的某個(gè)對(duì)象說(shuō)成是屬于這個(gè)集合還是不屬于這個(gè)集合，而是說(shuō)某個(gè)對(duì)象隸屬于這個(gè)集合的程度是多少。3.2 普通集合及其運(yùn)算性質(zhì)一、集合的基本概念表3-1給出了普通集合的最基本概念。表3-1 集合的基本概念1論域由被考慮對(duì)象的所有元素的全體組成的基本集合稱為論域，用大

4、寫字母U、E等表示。2元素論域中的每個(gè)對(duì)象，稱為元素，用小寫字母a、b等表示。3集合給定一個(gè)論域，其中具有某種共同屬性的、確定的、彼此間可以區(qū)別的元素的全體稱為集合。它是指具有同一本質(zhì)屬性的全體事物的總和，用大寫字母A、B等表示。對(duì)于論域U中的元素a及任意一個(gè)集合A，它們的關(guān)系只有兩種，屬于與不屬于，表示為，或。4空集集合中不包含任何元素，這樣的集合稱為空集，表示為。5全集集合中包含論域里的全部元素，這樣的集合稱為全集，表示為E。6包含設(shè)A、B是論域U的兩個(gè)集合，若，則稱集合B包含集合A，表示為，或稱A包含于B，表示為。7相等設(shè)A、B是論域U的兩個(gè)集合，若與同時(shí)成立，則稱A=B，表示為。8子集

5、設(shè)A、B是論域U的兩個(gè)集合，若集合B中的所有元素是由集合A中的部分元素或全部元素組成，則稱集合B是集合A的子集。表示為或?？占侨我饧系淖蛹?。9冪集給定集合A，以它的全體子集為元素組成的集合稱為A的冪集。表示為P（A），即，P（A）=B是A的子集。10并集設(shè)有任意兩個(gè)集合A和集合B，若集合C是由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，則C稱為A和B的并集。表示為： ，并被定義為：。11交集設(shè)有任意兩個(gè)集合A和集合B，若集合C是由同時(shí)屬于集合A和集合B的元素組成的集合，則C稱為A和B的交集。表示為： ，并被定義為：。12補(bǔ)集設(shè)集合A為論域E上的一個(gè)集合，由論域E中不屬于A的所有元素組成的集合稱

6、為A的補(bǔ)集。表示為：。定義為： 。冪集舉例：設(shè)集合A=3，6，8，求其對(duì)應(yīng)的冪集。解：根據(jù)冪集的定義，可知集合A的冪集為P（A）=，3，6，8，3，6，3，8，6，8，3，6，8，即集合A的冪集有8個(gè)元素。二、集合的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)集合A、B、CE，其交、并、補(bǔ)運(yùn)算具有如下性質(zhì)：表3-2 集合運(yùn)算性質(zhì)1冪等律：AA=A，AA=A；2交換律：AB= BA， AB= BA；3結(jié)合律：（AB）C=A（BC），（AB）C=A（BC）；4分配律：A（BC）=（AB）（AC），A（BC）=（AB）（AC）；5同一律：A=，A=A，AE=A，AE=E；6吸收律：A（BA）=A，A（BA）=A；7互補(bǔ)律：AAc=，

7、AAc=E；8還原律：（Ac）c=A；9對(duì)偶律：（AB）c=A cB c，（AB）c=A cB c。三、集合的表示方法下面給出集合常用的表示方法。1 列舉法當(dāng)集合中的元素個(gè)數(shù)為有限時(shí)，可將其中的元素一一列出，例如：A= a, b, c, d ，表示集合A由4個(gè)元素構(gòu)成。2 描述法當(dāng)集合中的元素?cái)?shù)目為無(wú)限時(shí)，可通過(guò)元素的定義來(lái)表示集合。例如：A= x | p(x) ， （3-1）表示由滿足p(x)的所有x構(gòu)成集合A。3 特征函數(shù)法設(shè)A是論域U上的集合，記 （3-2）為集合A的特征函數(shù)。4 文氏圖法用任意一個(gè)封閉的圖形如圓、橢圓、矩形等表示一個(gè)集合。例如圖3-3表示了論域U上集合A、B及其它們的交

8、與并。ABABUAB 圖3-3 文氏圖法3.3 模糊集合論基礎(chǔ)一、模糊集合（一）模糊集合的概念根據(jù)集合的概念，我們知道，對(duì)于任意一個(gè)普通集合A而言，其論域中的元素x要么屬于這個(gè)集合，此時(shí)，要么不屬于該集合，此時(shí)，即存在非此即彼的概念。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，有大量的事物具有模糊的特點(diǎn)，無(wú)法用普通集合來(lái)描述。例如，“中年人”，就是一個(gè)模糊概念。因?yàn)椤爸心耆恕边@個(gè)概念涉及兩個(gè)問(wèn)題： 中年人的外延問(wèn)題，即，年齡界限是多少？ 當(dāng)一個(gè)人的年齡在這個(gè)界限內(nèi)，那么他是否完全屬于中年人的范疇？對(duì)于這樣的問(wèn)題，不同的人完全可以給出不同的回答?，F(xiàn)在，假設(shè)中年人的年齡界限為35-50。若有3個(gè)人的年齡分別是36、45、

9、55，那么他們?nèi)藢儆谥心耆说某潭仁欠褚粯樱客ǔ?，人們?huì)認(rèn)為45歲相對(duì)于36歲其隸屬于中年人的程度要大；而對(duì)于55歲的人，盡管他已經(jīng)開始進(jìn)入老年，但他同時(shí)仍然隸屬于中年人，僅僅相對(duì)于45歲的人而言，其隸屬程度比較小而已。由此，我們可以發(fā)現(xiàn)，前面假設(shè)的中年人年齡界限35-50歲，實(shí)際應(yīng)用中是不能夠準(zhǔn)確描述人們的認(rèn)識(shí)和觀念的，用大致為35-50歲左右來(lái)描述中年人的年齡界限（沒(méi)有清晰的外延）似乎更合理。因此，對(duì)于一個(gè)模糊概念來(lái)說(shuō)，其特征是外延不清晰。又如，概念“頭發(fā)多”，也是一個(gè)模糊概念，單位面積上到底有多少根頭發(fā)時(shí)才可以稱為頭發(fā)多呢？假設(shè)每平方厘米有200根頭發(fā)時(shí)為多，那當(dāng)一個(gè)人他的頭發(fā)是平均每平

10、方厘米199根，那他的頭發(fā)還多還是少呢？而對(duì)于此類問(wèn)題在實(shí)際中也不可能去精確量化。諸如此類的這種模糊概念在日常生活中到處可以碰到。為此，凡是外延不明確的集合都稱之為模糊集合。由于模糊集合往往是某個(gè)論域的子集，所以，在討論模糊集合時(shí)，常常稱它為模糊子集。通常用大寫字母下加或上加波浪線來(lái)表示。如：，。（二）隸屬度對(duì)于模糊概念不能用普通集合的屬于與不屬于來(lái)描述，必須通過(guò)反映某個(gè)元素x屬于模糊集合的程度的隸屬函數(shù)來(lái)描述。表示元素x屬于模糊集合的隸屬度，取值范圍在0，1之間。例3-1 以年齡為論域，設(shè)E=0，100，Zadeh給出了模糊集合青年人的隸屬函數(shù)為： （3-3）其中，x代表年齡，當(dāng)x分別為26

11、、35、55時(shí)，通過(guò)上式計(jì)算可得到這三個(gè)年齡的人分別隸屬于模糊集合青年人的隸屬度為： 注意：由描述模糊集合青年人的隸屬度函數(shù)式（4-3）可知，0至25歲隸屬于模糊集合青年人的隸屬度均為1顯然是不盡合理。這表明該隸屬度函數(shù)的構(gòu)造不能夠很好地描述青年人這一模糊概念，若修改此隸屬函數(shù)為下式： ， （3-4）則4、10、18、25、35和55歲的人隸屬于模糊集合青年人的隸屬度分別為： ， ， ， 。（三）模糊集合的表示方法1 Zadeh表示法（1）論域U為離散有限域時(shí)，模糊集合可表示為 , （3-5）式中， 并不代表 “分?jǐn)?shù)”，而是表示論域中素屬于模糊集合的隸屬度和元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱為“單點(diǎn)”。同

12、樣“+”也不表示“求和”，而是表示論域U上所有元素及其隸屬于模糊集合的隸屬度的總體關(guān)系。如果某項(xiàng)的隸屬度為零，則該項(xiàng)可不寫入。該方法簡(jiǎn)單、實(shí)用。但它只適用于論域?yàn)橛邢薜那闆r。（2）如果論域U為無(wú)限域時(shí)，可將式（3-5）推廣到一般形式，如式（3-6）所示：， （3-6）式中，積分符號(hào)也不表示求和運(yùn)算，而是用來(lái)表示各元素與隸屬度對(duì)應(yīng)關(guān)系的一個(gè)總和。2 向量表示法當(dāng)論域U為離散有限域時(shí)，U上的模糊集合還可以表示成向量形式，即 。 （3-7）但應(yīng)注意：向量表示法中隸屬度為零的項(xiàng)不能省略。例3-2 設(shè)某設(shè)備運(yùn)行速度的論域?yàn)閁=200，400，600，800，1000，1200，1400，單位為r/min

13、，“速度高”是一個(gè)模糊概念，“速度高”表示一個(gè)模糊集合。用Zadeh表示法表示如下： 。 去掉隸屬度為零對(duì)應(yīng)的元素項(xiàng)，又可表示為：。用向量表示法表示為：=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 。 此時(shí)，對(duì)應(yīng)隸屬度為零的元素項(xiàng)不可省略。3 隸屬函數(shù)表示法模糊集合還可以用隸屬函數(shù)來(lái)描述，它表示元素x隸屬于模糊集合的隸屬程度。例如例3-1中的和，給出了模糊集合青年人的隸屬函數(shù)，用以描述該集合的特征。4 用序偶形式表示設(shè)論域U為離散有限域時(shí)，模糊集合可表示為例3-3 在整數(shù)1到10組成的論域U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，設(shè)表示模糊集合“幾個(gè)”。并設(shè)各元素的隸屬度函數(shù)依次

14、為，請(qǐng)用序偶形式表達(dá)該模糊集合。解：則模糊集合=（1，0），（2，0），（3，0.3），（4，0.7），（5，1.0），（6，1.0），（7，0.7），（8，0.3），（9，0），（10，0）。二、隸屬函數(shù)及其確定1 隸屬函數(shù)普通集合用特征函數(shù)來(lái)表示，而模糊集合的特征函數(shù)通常稱做隸屬函數(shù)。隸屬函數(shù)能夠很好地描述事物的模糊性。關(guān)于隸屬函數(shù)要注意到兩點(diǎn)： 隸屬函數(shù)是Contor集合特征函數(shù)的擴(kuò)展，其值域?yàn)?，1；的值表示了元素x隸屬于模糊集合的程度。 隸屬函數(shù)完全刻劃了模糊集合，隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學(xué)的基本概念。不同的隸屬函數(shù)刻劃了不同的模糊集合。2 隸屬函數(shù)的確定重要性：隸屬函數(shù)的建立是一項(xiàng)十分關(guān)鍵

15、的工作，它的合理性直接影響對(duì)問(wèn)題描述的正確性。多樣性：由于模糊集合理論研究的對(duì)象具有模糊性以及客觀實(shí)際研究對(duì)象的多樣性，目前還沒(méi)有統(tǒng)一的隸屬函數(shù)選擇方法。評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：在實(shí)際工作中評(píng)價(jià)隸屬函數(shù)的好壞就是看是否符合客觀實(shí)際。主觀性：隸屬函數(shù)的選取存在極大的主觀性?；驹瓌t：就是要符合實(shí)際，不能違背常識(shí)。例如在例3-1中如果選擇的隸屬函數(shù)具有如下形式： （3-8）式中，x代表年齡，為青年人這個(gè)模糊集合。當(dāng)x分別為26、35、55時(shí)，由式（3-8）可得： ，結(jié)果中出現(xiàn)了隸屬度大于1的情況，顯然，這是不合理的。隸屬函數(shù)的確定大致有如下三種方法：（1）模糊統(tǒng)計(jì)法。以調(diào)查統(tǒng)計(jì)所得結(jié)果，繪制出經(jīng)驗(yàn)曲線作為隸屬函

16、數(shù)曲線，利用數(shù)學(xué)中曲線回歸的方法，找出隸屬函數(shù)的解析表達(dá)式。（2）主觀經(jīng)驗(yàn)法。當(dāng)論域?yàn)殡x散論域時(shí)，可根據(jù)主觀認(rèn)識(shí)，結(jié)合個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)分析和推理，直接給出元素的隸屬值。這種方法被廣泛使用。（3）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊邏輯相結(jié)合的方法。利用神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)、訓(xùn)練能力強(qiáng)的特點(diǎn)，通過(guò)對(duì)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，由神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)生成隸屬函數(shù)。3 幾種常見的隸屬函數(shù)形式b=4b=2圖3-4 正態(tài)型隸屬函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)滿足問(wèn)題需要及計(jì)算簡(jiǎn)便的原則，常用的隸屬函數(shù)有如下幾種：1）正態(tài)型（圖3-4）2）三角形（圖3-5）a1 a a2 x1.0 0圖3-5 三角形隸屬函數(shù)圖3-6 升半梯形隸屬函數(shù)a1 a2 x1.0 03

17、）升半梯形（圖3-6）圖3-7降半梯形隸屬函數(shù)a1 a2 x1.0 04）降半梯形（圖3-7）三、模糊集合的運(yùn)算1 模糊集合的基本運(yùn)算定義1：設(shè)和是論域U上的兩個(gè)模糊集合，其隸屬函數(shù)分別為和。規(guī)定和的并運(yùn)算、交運(yùn)算和補(bǔ)運(yùn)算（）的隸屬函數(shù)分別為、，則對(duì)U上的每一個(gè)元素x（），有：， （3-9）， （3-10）， （3-11） （3-12） 式中，符號(hào)“”表示取大運(yùn)算，符號(hào)“”表示取小運(yùn)算。例3-4 設(shè)論域U=，中的模糊子集為 試求、和。解：=+=+；=+=+，=+=+，=+=+。2 模糊集合的運(yùn)算定律設(shè)模糊集合、和是論域U上的三個(gè)模糊子集，其并、交、補(bǔ)滿足下列性質(zhì)：1）冪等律：=，=；2）交換律

18、：=，=；3）結(jié)合律：=，=；4）分配律：=，=；5）同一律：，；，；6）吸收律：=， =；7）互補(bǔ)律：，；8）還原律：；9）對(duì)偶律：，。3.4 模糊關(guān)系及其運(yùn)算客觀世界中的各種事物間一般都存在某種聯(lián)系，而描述客觀事物間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型就稱作關(guān)系。集合論中的關(guān)系精確地描述了元素之間是否相關(guān)；模糊集合論中的模糊關(guān)系則描述了元素間相關(guān)的程度。模糊關(guān)系在概念上是普通關(guān)系的推廣，而普通關(guān)系則是模糊關(guān)系的特例。一、模糊關(guān)系（一）關(guān)系、關(guān)系矩陣定義2：給定兩個(gè)非空的普通集合X、Y，由全體組成的集合，叫做X與Y的直積，記做，又被稱做笛卡爾積，又叫直集。其定義為=， （3-13）例3-5 設(shè)，試求和。解：=；=

19、。注意：通常，直積是由序偶對(duì)構(gòu)成的集合。定義3：給定兩個(gè)非空的經(jīng)典集合X、Y，它們的直積的一個(gè)子集R稱為X到Y(jié)的一個(gè)二元關(guān)系，簡(jiǎn)稱關(guān)系。記做。注意：X、Y的直積中包含了全體，而直積中的一個(gè)子集，即關(guān)系則包含了符合關(guān)系要求的序偶對(duì)。若，則記做，若，則記做。因此，關(guān)系R的特征函數(shù)為 。若，則稱R是X中的關(guān)系。當(dāng)集合X、Y都是有限集合時(shí)，關(guān)系R也可用矩陣來(lái)表示，稱做關(guān)系矩陣。設(shè)，則R可表示為 ，其中。例3-6 已知，試確定中的的關(guān)系。解：本題有兩種解法：（1）用屬于關(guān)系的元素組成的集合來(lái)表示=（2） 用關(guān)系矩陣來(lái)表示=，其中，關(guān)系矩陣中的元素：。（二）模糊關(guān)系、模糊關(guān)系矩陣普通二元關(guān)系是用簡(jiǎn)單的“有

20、”或“無(wú)”來(lái)衡量事物間的關(guān)系，因此無(wú)法用來(lái)衡量事物間有關(guān)系的程度。模糊關(guān)系則是普通關(guān)系的推廣，它是指多個(gè)模糊集合的元素間所具有關(guān)系的程度。定義4：給定兩個(gè)非空集合X、Y，它們的直積的一個(gè)模糊子集稱為X到Y(jié)的一個(gè)模糊二元關(guān)系。序偶的隸屬度為，取值區(qū)間為0，1，它的大小反映了具有模糊關(guān)系的程度。若，則稱為X中的模糊關(guān)系。若集合X、Y分別為由m，n個(gè)元素組成，則模糊關(guān)系可用矩陣來(lái)表示，稱之為模糊關(guān)系矩陣或模糊矩陣，其表達(dá)如下：表3-3 身高與體重接近標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系的程度 Kgm35455565751.41.00.70.20.10.01.50.71.00.70.20.11.60.20.71.00.70.21

21、.70.10.20.71.00.71.80.00.10.20.71.0 。例3-7 設(shè)人的身高論域是 （單位：m），體重論域是 （單位：Kg），表3-3給出了某地區(qū)男子“身高與體重接近標(biāo)準(zhǔn)程度”的情況。我們用表示其模糊關(guān)系，請(qǐng)用模糊關(guān)系矩陣來(lái)表示。解：其中表示元素隸屬于關(guān)系的程度。例3-8 設(shè)集合，試確定集合X中的元素比集合Y中的元素小得多的模糊關(guān)系。解：用序偶的形式可表示如下： =+。（三）模糊關(guān)系的性質(zhì)1 自反性定義5：設(shè)是X中的模糊關(guān)系，若對(duì)于，必有，則稱是具有自反性的模糊關(guān)系。其對(duì)應(yīng)的模糊矩陣中的對(duì)角線元素為1。2 對(duì)稱性定義6：設(shè)是X中的模糊關(guān)系，若對(duì)于，均有，則稱是具有對(duì)稱性的模糊

22、關(guān)系。其對(duì)應(yīng)的模糊矩陣中 。例3-9 設(shè)X中的模糊關(guān)系、用矩陣表示如下=，=。請(qǐng)根據(jù)自反性、對(duì)稱性定義，判斷、具有的性質(zhì)。解：由模糊矩陣對(duì)角線上元素唯一和對(duì)稱元素相等，可知模糊關(guān)系具有自反性和對(duì)稱性；而模糊矩陣對(duì)稱元素相等，可知只具有對(duì)稱性。3 傳遞性定義7：設(shè)是X中的模糊關(guān)系，若對(duì)于，均有成立，則稱是具有傳遞性的模糊關(guān)系。其對(duì)應(yīng)的模糊矩陣中 。若關(guān)系具有自反性和對(duì)稱性，則稱為論域X上的模糊相似關(guān)系。若關(guān)系具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性，則稱為論域X上的模糊等價(jià)關(guān)系。二、模糊關(guān)系運(yùn)算當(dāng)論域有限時(shí)，模糊矩陣可用于表示模糊關(guān)系，模糊矩陣為模糊關(guān)系的運(yùn)算帶來(lái)了方便，它已成為模糊關(guān)系運(yùn)算的主要工具。設(shè)模糊

23、矩陣、是上的模糊關(guān)系，=，=，模糊矩陣運(yùn)算如下：（1） 并：設(shè)、的并為，令=取和中的最大者。（2） 交：設(shè)、的交為，令=取和中的最小者。（3） 補(bǔ)：設(shè)的補(bǔ)為，令。（4） 截陣：給定，由對(duì)任意水平截集閾值，得到新的矩陣=，其中，稱為的截陣。（5） 轉(zhuǎn)置：將中的行與列進(jìn)行交換，所得到的模糊關(guān)系矩陣稱為的轉(zhuǎn)置矩陣，記做。例3-10 設(shè)=，=，試求U、I、和。解：U=； I=； =； =； =。（6）合成：定義8：設(shè)論域U、V、W；是U到V的模糊關(guān)系，是V到W的模糊關(guān)系。所謂對(duì)的合成，則是U到W的模糊關(guān)系，它具有隸屬函數(shù)=。或 ，合成運(yùn)算有不同的定義，這里，采用最常用的最大-最小合成定義。要注意的是，

24、的列數(shù)和的行數(shù)必須相等，否則，合成運(yùn)算無(wú)意義。例3-11 設(shè)=，=，求。解：= =。例3-12 設(shè)某家中子女與父母的長(zhǎng)相相似關(guān)系、其父母與祖父母的長(zhǎng)相相似關(guān)系為模糊關(guān)系，可用表格表示如下：父親母親子0.80.1女0.20.8祖父祖母父0.80.1母0.10也可用模糊矩陣的形式表示如下： =， =。求合成運(yùn)算。解：通過(guò)合成運(yùn)算可求得子女與祖父母的長(zhǎng)相相似關(guān)系為=。用表格又可表示為：祖父祖母子0.80.1女0.20.1三、模糊向量的笛卡爾積定義9：設(shè)兩個(gè)模糊行向量、，它們的笛卡爾積定義如下： =。 （3-14）例3-13 設(shè)兩個(gè)模糊向量，試求它們的笛卡爾積。解：=。3.5 模糊語(yǔ)言及模糊推理一、模

25、糊語(yǔ)言與語(yǔ)言變量1 模糊語(yǔ)言語(yǔ)言是一種以文字為符號(hào)的符號(hào)系統(tǒng)，常分為自然語(yǔ)言和機(jī)器語(yǔ)言。自然語(yǔ)言的特征在于它的模糊性，而帶有模糊性的語(yǔ)言，稱為模糊語(yǔ)言。人之所以比計(jì)算機(jī)“聰明”，就是因?yàn)樽匀徽Z(yǔ)言具有模糊性。2 語(yǔ)言變量和語(yǔ)言值語(yǔ)言變量是指以自然或人工語(yǔ)言的詞、詞組或句子作為值的變量，例如年齡、高低、快慢、好壞等。語(yǔ)言變量的值稱為語(yǔ)言值。例如：語(yǔ)言變量是“偏差”，它的值可取為： “大”、“較大”、“正中”、“較小”、“小”、“很小”等。LAZadeh于1975年曾經(jīng)給出了語(yǔ)言變量的定義：語(yǔ)言變量是由一個(gè)五元體（U，N，T(N)，G，M）來(lái)表征，五元體中各個(gè)元的意義如下：（1）N是語(yǔ)言變量的名稱，

26、如年齡、偏差、偏差變化率等。（2）U是N的論域。如N是年齡時(shí)，其論域可設(shè)為0，100。（3）T(N)是語(yǔ)言變量N的語(yǔ)言值X的集合，其中，每個(gè)語(yǔ)言值是U上模糊集合。如N為年齡，則：T(N)T(年齡)“很年輕”+“年輕”+“中年”+“較老”+“年老”。（4）G是語(yǔ)法規(guī)則。1）前綴限制詞。在原子單詞前加一些用于加強(qiáng)或減弱語(yǔ)氣的詞，比如，“極老”、“比較老”等。語(yǔ)法規(guī)則定義了“極老”與“老”之間的關(guān)系，即隸屬度的計(jì)算規(guī)則。例3-14 以年齡為論域，設(shè)E=0，100，Zadeh給出了年齡語(yǔ)言變量值的“老”模糊集合的隸屬函數(shù)為， 其中，x代表年齡。當(dāng)x為65時(shí)，=0.9。當(dāng)加上前綴限制詞時(shí)，按照一定的語(yǔ)法

27、規(guī)則，可計(jì)算65歲屬于“極老”、“相當(dāng)老”、“比較老”的模糊集合的隸屬度分別為：=0.656；=0.876；=0.924；2）連接詞“與”、“或”。否定詞“非”。語(yǔ)法規(guī)則定義了加上連接詞后其隸屬函數(shù)的計(jì)算方法：， ， 。 （5）M是語(yǔ)義規(guī)則，根據(jù)語(yǔ)義規(guī)則給出模糊子集X的隸屬函數(shù)。語(yǔ)言變量語(yǔ)法規(guī)則G語(yǔ)言值集合T（N）語(yǔ)義規(guī)則M論域U（年齡）圖3-8 語(yǔ)言變量的五元體結(jié)構(gòu)圖二、模糊條件語(yǔ)句1模糊命題二值邏輯和命題。在清晰集合論中，表達(dá)思維的概念、判斷和推理所對(duì)應(yīng)的邏輯形式是二值邏輯，即數(shù)理邏輯。也就是說(shuō)命題都有一個(gè)值，要么為“真”，要么為“假”，分別用“1”和“0”表示。例如： （1）小明是一個(gè)男

28、生。（2）小明是一個(gè)班長(zhǎng)。（3）今天是教師節(jié)。模糊命題是指含有模糊概念或者是帶有模糊性的陳述句。它的取值就不能簡(jiǎn)單的取“真”或“假”，而是“真”或“假”的程度。模糊命題的一般形式為：“x是”，其中，x是對(duì)象名稱，是論域U上的一個(gè)模糊子集。例如：P：該設(shè)備的溫度太高；Q：該設(shè)備誤差的變化率很小。模糊命題之間有析取(邏輯并)、合取(邏輯交)、取非運(yùn)算，定義如下：設(shè)模糊命題P：x is ，Q：y is ，則：（1）析取，其真值為：；（2）合取，其真值為：；（3）取非，其真值為：。由上可見，模糊命題真值之間的運(yùn)算，也就是其相應(yīng)隸屬函數(shù)之間的運(yùn)算。2模糊條件語(yǔ)句常用句型：（其中模糊命題用P、Q、R等表示

29、）（1）簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句“若P，則Q”型。記為if P then Q。例如，對(duì)于加熱爐的爐溫控制來(lái)說(shuō)，規(guī)則“若溫度偏低，則增加燃料量” 就是這一類型。（2）多重簡(jiǎn)單模糊條件語(yǔ)句“若P，則Q，否則R” 型。記為 if P then Q else R。例如，“若溫度偏高，則減少燃料量，否則增加燃料量”就是這一類型。（3）雙維模糊條件語(yǔ)句“若P且Q，則R” 型。記為 if P and Q then R。例如，“若溫度偏高，且溫度具有增加趨勢(shì)，則減少燃料量” 就是這一類型。三、模糊推理（一）模糊推理的基本概念所謂推理，就是從一個(gè)或多個(gè)已知的判斷（或前提）出發(fā)，推出另一個(gè)新的判斷(稱為結(jié)論)的思維形式。

30、推理有直接推理、演繹推理、歸納推理、類比推理等形式。但是，用得最多的是演繹推理中的假言推理。例如： 大前提： 若P，則Q 小前提： 現(xiàn)P 結(jié)論： Q例如： 大前提：若蘭州人， 則講蘭州話小前提：現(xiàn)小明是蘭州人 是確定性命題結(jié)論： 則他會(huì)講蘭州話模糊推理：當(dāng)推理所用到的命題（或判斷）具有模糊性，也就是在大前提和小前提中含有模糊命題的推理，所得結(jié)論為一個(gè)新的模糊命題。例如：規(guī)則“若溫度偏低，則增加燃料量” ，現(xiàn)在溫度稍低，所以稍微增加一些燃料。模糊推理的特點(diǎn)是一種近似推理，即小前提與大前提的條件可能不完全相符，但可根據(jù)小前提與大前提的條件相符的程度，推出有一定價(jià)值的結(jié)論。 （二）模糊控制中常用的模

31、糊推理在模糊控制中常用模糊推理方法的有Mamdani法和Zadeh方法。下面介紹模糊控制中采用上述兩種推理方法的幾種常用的模糊條件語(yǔ)句。1模糊假言推理設(shè)、 分別為論域X、Y上的兩個(gè)模糊集合，其對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)分別為、，又設(shè)是上描述模糊條件語(yǔ)句“若x is ，則y is ”即“若P，則Q”型的模糊語(yǔ)句，其中，P表示命題x is ，Q表示命題y is 。該模糊語(yǔ)句所表達(dá)的模糊關(guān)系的隸屬函數(shù)由Zadeh定義為 ， （3-15）可用模糊向量的笛卡爾積表示模糊關(guān)系， （3-16）其中，E是代表論域Y的全稱矩陣。模糊假言推理可看作為模糊關(guān)系的合成，其推理的邏輯結(jié)構(gòu)如下： 大前提： 若 x is ，則y is

32、 規(guī)則： 小前提： 現(xiàn)x is 或簡(jiǎn)寫為： 事實(shí)： 結(jié) 論： y is ，且 結(jié)論：符號(hào)“”表示合成運(yùn)算。若用Mamdani的極大極小推理法，則隸屬函數(shù)定義為 ， （3-17）可用模糊向量的笛卡爾積表示模糊關(guān)系 = ， （3-18）例3-15 設(shè)x表示轉(zhuǎn)速（單位：r/min），y表示控制電壓（單位：V）。其論域分別為：X=100，200，300，400，500，Y=1，2，3，4，5，已知在X、Y上的模糊子集為： = 轉(zhuǎn)速高 = 0/100+0/200+0/300+0.5/400+1/500， = 控制電壓高 = 0/1+0/2+0/3+0.5/4+1/5。上的模糊關(guān)系為“若轉(zhuǎn)速高，則控制電壓

33、高”，或用控制規(guī)則簡(jiǎn)記為“” ，現(xiàn)在當(dāng)= 轉(zhuǎn)速較高 = 0/100+0/200+0.5/300+1/400+0.5/500，試?yán)肸adeh推理法確定相應(yīng)的控制電壓。解：（1）從Zadeh的推理公式 可知，我們首先應(yīng)按式（3-16）計(jì)算模糊關(guān)系。= （2）接下來(lái)求=與控制電壓高=控制電壓高=0/1+0/2+0/3+0.5/4+1/5進(jìn)行比較，則可得出推理結(jié)論=0.5/1+0.5/2+0.5/3+0.5/4+0.5/5 為控制電壓比較高，即=控制電壓較高。例3-16 設(shè)x表示溫度，y表示壓力，其論域分別為X=0，20，40，60，80，100，Y=1，2，3，4，5，6，7，已知在X、Y上的模糊

34、子集 =溫度高=0/0+0.1/20+0.3/40+0.6/60+0.85/80+1/100， =壓力大=0/1+0.1/2+0.3/3+0.5/4+0.7/5+0.85/6+1/7。上的模糊關(guān)系為“若溫度高，則壓力大”，或用控制規(guī)則簡(jiǎn)記為“” ，現(xiàn)在當(dāng)=溫度較高=0.1/0+0.15/20+0.4/40+0.75/60+1/80+0.8/100，試?yán)肕amdani推理法確定相應(yīng)的壓力。解：Mamdani的假言推理，可用模糊關(guān)系表示為=由 =0/1+0.1/2+0.3/3+.05/4+.07/5+.085/6+0.85/7 可知，為壓力較大。在模糊控制應(yīng)用中，Mamdani法更為常用。2 模糊條件推理設(shè)為論域X上的一個(gè)模糊集合，、分別為論域Y上的兩個(gè)模糊集合，其對(duì)應(yīng)的隸屬函數(shù)分別為、，又設(shè)是上描述模糊條