【數(shù)學(xué)】2021.5鎮(zhèn)海中學(xué)數(shù)學(xué)模擬卷

1、一、挑選題1. 已知全集 ur , 集合 ax | x0 ， bx| 0x1 ，就cu aba x | x1b x | 0x1c x | x0d r 答案： a解答： a x | x0 ，cu a x | x0 . cu a x | x0 ， b a | 0x1 . cu a u b x | x1 .2. 已知 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z2i ，就 z12i 的共軛復(fù)數(shù)為 a 2ib 43ic 4d43i3i答案：c解答：，的共軛復(fù)數(shù)為.3已知直線 a, b, m , 其中 a,b 在平面內(nèi)就“ ma,mb ”是“ m”的a. 充分而不必要條件b. 必要而不充分條件c. 充要條件d. 既不充分也

2、不必要條件答案：b解答：推不出，當(dāng)時(shí)，也可能平行于；依據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，由于，所以；由充分必要條件概念可知，命題中前者是后者的必要而不充分條件.4某幾何體的三視圖如下列圖，就該幾何體的體積是a 38b310c3d 11 3答案：c解答：該幾何體是由圓柱的四分之一和圓錐的一半組合而成的立體圖形，就5記2x7a0a1 1xla7 1x，就 a07a1a2l a6 的值為 a. 1b. 2c 129d 2188 答案： c解答：x2y x2,10,6. 已知不等式組xy10,表示的平面區(qū)域?yàn)?d ，如函數(shù) y| x1|m的圖象上存在區(qū)域 d 上的點(diǎn)，就實(shí)數(shù) m 的取值范疇是 a 2,1b12,2

3、c10,2d31,2答案：a解答：不等式組表示的平面區(qū)域圖所示的三角形abc 及其內(nèi)部 而函數(shù) yx1m的圖像可看作是函數(shù) yx1 的圖像上下平移而得到的，明顯當(dāng)平移至圖中黑色折線a和黑色折線 b及其之間位置時(shí)均與題意相符當(dāng)在黑色線a 位置時(shí)，將點(diǎn) 1, 2 代入即可求出 m2 ；當(dāng)在黑色線 b 位置時(shí)，將點(diǎn) 1,1代入即可求出 m1，所以實(shí)數(shù) m 的取之范疇為 2,1 7. 甲、乙、丙、丁四個(gè)人到a ， b ， c 三個(gè)景點(diǎn)旅行，每個(gè)人只去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一個(gè)人去，就甲不到a 景點(diǎn)的方案有 a. 18種b. 12種c. 36 種d. 24種答案：d解答：可先選取 2 人作為一組 ,

4、這樣 4 人被分為三組 , 分到三個(gè)景點(diǎn) , 減去甲在 a 景點(diǎn)的方法數(shù)43332c 2 a3 a3c 2 a2 24 種.8. 設(shè)橢圓x2c : a 2y 221abb0的右焦點(diǎn)為f , 橢圓c 上的兩點(diǎn) a ， b 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿意uuuruuurfa fb0 ， fbfa2 fb ，就橢圓c 的離心率的取值范疇是25a., 23b. c. 5 ,132 ,312d.31,1答案：a解答：作出橢圓的左焦點(diǎn)f ，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形afbf 為平行四邊形，uuuruuur又 fa fb0 ，即 fafb ，故平行四邊形 afbf 為矩形，所以abff2c ，設(shè) afn ， afm，

5、就在直角abf 中， mn2a ， m2n 24c2 ，得 mn2b2 ，m n整理得2c2m2，令t ，得 t12c22，n mbntb又由 fbfa2 fb ，得 mnt1, 2 ，所以 t12c2tb252, ，所以離心率的取值2范疇是25, .239. 已知函數(shù)f xln x1 , x1，就方程f f x2f x30 的實(shí)根個(gè)數(shù)為a. 3b. 4c. 5d. 6 答案： b2 x 11, x14解答：令 tf x , 就方程f fx2 f x30 等價(jià)于43f t 2t20 ，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出f x與直線 y2 x32的圖象，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)， 且f t 2t302的兩根

6、分別為t10 和1t 22 ，當(dāng) t1f x0 時(shí)，解得 x2 ；當(dāng) t2f x1,2 時(shí)，f x 有 3個(gè)不等實(shí)根 . 綜上所述，方程f f x2f x30 的實(shí)根個(gè)數(shù)為 4.410. 已知直三棱柱abca1 b1c1 的側(cè)棱長(zhǎng)為 6 ，且底面是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，用一平面截此棱柱， 與側(cè)棱aa1 ,bb1 ,cc1 分別交于三點(diǎn)m ,n ,q , 如 mnq 為直角三角形，就該直角三角形斜邊長(zhǎng)的最小值為a. 2b. 4c. 22d. 2 3答案：d解答：建立直角坐標(biāo)系如圖， 點(diǎn) m 在側(cè)棱aa1 上，設(shè) m 0,1,a，點(diǎn) n 在bb1 上，設(shè) n 3,0, b ，點(diǎn) q 在 cc1上

7、，設(shè)q0,1, c ，就uuuur mnuuur 3,1, ba ， qn3,1,bc .由于mnq 為直角三角形，所以u(píng)uuur uuur mnqn0 ，所以 babc20 ，斜邊mq4ac24 abbc244abbc44223，當(dāng) abbc 時(shí)取等號(hào) .二、填空題11. 雙曲線c : y2x1的漸近線方程為，設(shè)雙曲線x2y21a0,b0 經(jīng)過24點(diǎn) 4,1 , 且與 c 具有相同漸近線 , 就 c 的方程為a2b2答案：yx ； 2x2y21.123解答：12. 設(shè)數(shù)列an滿意 a13a2l2n1an2nan 的通項(xiàng) an，數(shù)列的an 2 n 前 n 項(xiàng)和是1答案：2；2n12 n.2n1

8、解答： 由題知 a13a2l2n1an2n ，當(dāng) n2 時(shí)，有 a13a2l2 n11an 12n1，由得： 2n1an2n2n1，就 an2 n2 .當(dāng) n1時(shí)，有 a12 ，也滿意 an2，2n12n1所以數(shù)列 an 的通項(xiàng) an2.2n1令 ban，由（ 1）可得 b211，nn2n12n12n12n12n1故其前 n 項(xiàng)和 sn1111l11112n.3352 n13. 隨機(jī)變量 x 的分布列如下：12n1 2n12n1其中 a， b ， c 成等差數(shù)列，就答案：p x1，方差的最大值是2 ；32 .3解答：由題意知，abc1，且a,b,c0,1 . a, b, c 成等差數(shù)列， 2b

9、ac ，聯(lián)立，得 b1 ， ac2 .33 p x1p x1p x1ac2.3，方差的最大值是.14. 函數(shù)f xasinx a0,0,0 的部分圖像如下列圖，就，為了得到g xacosx 的圖像，需將函數(shù)yfx 的圖象最少向左平移個(gè)單位答案：；6.3解答：15. 如實(shí)數(shù)答案：2, 4 .解答：x, y滿意4x + 4= 2x+ 1 +2y+ 1 ，就 s =2x +2 y 的取值范疇是 4x4y2 x2y 22 2x2 ys22 2x 2y ，故原式變形為s22 2 x2 y2s ，即 2 2 x2 ys22 s.2x2 ys2， 02 2x2y號(hào).2 2 ，即 0s222s，當(dāng)且僅當(dāng) 2x

10、22 y ，即 xy 時(shí)取等y解得 2s4 ，故答案為 2, 4 .16. 已知y24x 拋物線，焦點(diǎn)記為f ，過點(diǎn) f 作直線 l 交拋物線于a, b 兩點(diǎn)，就af2bf的最小值為答案：222 .解答：由題意知，拋物線y24x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 1,0 ，當(dāng)斜率 k 存在時(shí)，設(shè)直線 ab 的方程為ykx1 ，設(shè)a x1 , y1 ， b x2 , y2 .y24x由yk x，整理得：1k 2 x22k 24 xk 20 .就 x1x222 k4k2， x1x211，就 x2.x1依據(jù)拋物線性質(zhì)可知，afx11，bfx21，222 xx 21af x1x111, x0 .111bfx21x11x1

11、1設(shè) f xx21 , xx10 ，求導(dǎo)f xx22 x x121 ，令 f x0 ，就x22x10 ，解得 x21 .當(dāng) x0,21 ， f x0 ，當(dāng) x21, ， f x0 . f x 在 0,21單調(diào)遞減，在 21, 單調(diào)遞增 .當(dāng) x21 ， f x取得最小值， 最小值為 222 ， af2最小值為 222 .bf17. 如圖， 在四邊形 abcd 中，abcd1 ，點(diǎn) m , n 分別是邊uuuv uuuvuuuvad , bc 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) ba和 cd 交 nm 的延長(zhǎng)線于不同的兩點(diǎn)p,q ，就pqabdc的值為答案：0 .解答：利用特例法解決，令四邊形為等腰梯形，就兩點(diǎn)重合，

12、.三、解答題18. 已知銳角abc的內(nèi)角 a ， b ， c 所對(duì)的邊分別為 a， b ， c，且 a3 ，sinbsinabcsincab（1） 求角 a 的大小；（2） 求 bc 的取值范疇 答案：（1）；3（2） 3, 23 .解答：sin b（1） 由sin abc及正弦定理得bababc c ，sin cab所以 a 2b 2c2bccos a1 ， a.23（2） a3 ，a，所以a bc32 ，3sin asin bsin csin3b c2sin bsin c2sin bsin 2b23 cos b ，33abc 為銳角三角形， b 的范疇為 ,6 ，就 b2, ，366 co

13、sb 的取值范疇是33 ,1 ， bc23, 23 .19. 在三棱錐 abcd 中，abadbd2 ，bcdc2 ， ac2 （1） 求證： bdac ；（2） 如點(diǎn) p 為 ac 上一點(diǎn)， 且ap答案：（1）略；3pc，求直線 bp 與平面 acd 所形成的角的正弦值（2） 43 .7解答：（1）取 bd 中點(diǎn) e ，連接 ae ， ce ， abadbd2 ，又 e 為 bd 中點(diǎn)， aebd .同理可得： cebd .又 ae i cee ， bd平面 ace ，又 ac平面 ace ， bdac （2） abadbd2 ， bcdc2 ， bcd 為直角三角形，且ae3 ， ce1

14、， ae 2ec 2ac 2 ，aec2 ，即 aeec .又 aebd ，所以 ae平面 bcd ，以 e 為坐標(biāo)原點(diǎn)，ec 為 x 軸， ed 為 y 軸， ea 為 z 軸建立如圖直角坐標(biāo)系 b 0,1,0， d 01,0， c 1,0 ,0， a 0,0,3 ，uuur設(shè) p x0, y0, z0uuuruuur， apac 0uuur1 ， ac1,0,3 ，apx0 , y0, z03， x0, y0 , z031,0,3,0,3 ，uuur，即x0x0y00y0z033z0， p,0,33033， bp =,1,33，uuur， ，uuurda013， dc1, 1,0 ，設(shè) n

15、x1, y1, z1 是平面 acd 的法向量，uuurn da0y13 z103uuur，令x11 ，得y11 ， z1，n dc0x1y1033 n1,1, ，3 sincosuuur n, bpuuurn bp26uuur，nbp721312372232由 01，可知 7228322 ，4321sin43 ， sin的最大值為7773ap3pc ，即443時(shí)， sin的值為.720. 已知函數(shù)f xae2 xa2exx （1） 爭(zhēng)論f x 的單調(diào)性；（2） 如答案：f x 有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范疇（1）f x在 ,ln1 上為減函數(shù)，在aln1, 上為增函數(shù)；a（2） 0解答：a1

16、.xx（1）f x2 e1a e1 .如 a0 時(shí)，f x2ex1a ex10 ，所以f x在 r 上為減函數(shù) .如 a0 時(shí)，f x2ex1a ex10 ，就 x1ln .a就 f x 在 ,ln1 上為減函數(shù)，aln1 , 上為增函數(shù) .a111 21111（2）f ln0 即可得 f lna a2ln1ln0 .aaaaaaa11令 t，g t1t aln t 在 0, 上為減函數(shù)， 又由于g 10 ，所以 t1，所以1 ， a所以 a的取值范疇為 0a121. 已知橢圓x2c 的方程為 a22y1 ab b2e20， p1,2 在橢圓上，離心率2 ，2左、右焦點(diǎn)分別為f1 ， f2 （

17、1） 求橢圓 c 的方程；（2） 直線 ykx （ k0 ）與橢圓 c 交于 a ， b ，連接af1 ， bf1 并延長(zhǎng)交橢圓 c 于 d ，e，連接 de ，求答案：kde 與 k 之間的函數(shù)關(guān)系式2（1） x2y21；（2）略 .解答：11（1）由2p1, 2在橢圓上，可得2a2b21， a2c ，又 a2b2c2 ，可得 a2 ， b1， c1，2所以橢圓 c 的方程為 x2y21 （2） 設(shè)a x ,y，就bx ,y，直線md : xx01 y1 ，00000yx2c :代入2y21，得 x122 y 2 y22 x1 y yy 20 .000002由于 x0y 21，代入化簡(jiǎn)得2

18、x3 y22 x1 y yy20 .000002設(shè) d x , y， e x, y，就 y y2y0，所以 y1y0， x1x01y11.11直線 ne : x22x01 y0 11 ，同理可得2x03yy02 x03y0x01， xy1 .y0ky1y2y1y222 x0223y0y1y21de所以x1x2x01 yx01 yx0yyy1y2x01y1y2y1y2y12yyyyy0000001213 y03k .x01y0y04x0 x0 6n122. 我們稱滿意： ak1k aa2 nn 的數(shù)列an為“ k 級(jí)夢(mèng)數(shù)列”nn1111（1） 如an 是“ 1級(jí)夢(mèng)數(shù)列”且 a12 求： a和1a1a的值；1a1（2） 如n1a是“ 1級(jí)夢(mèng)數(shù)列” 且滿意 1a23311，l431 2 ，求 a4a 的2a1a2a202120211最小值；（3） 如 ana1是“ 0 級(jí)夢(mèng)數(shù)列”且12 ，設(shè)數(shù)列2 an 的前n 項(xiàng)和為sn 證明：1sn1nn 2n2n2n1答案：（1） 1 ， 1 ；37（2）7 ；2（3）略 .解答：（1） an 是“ 1級(jí)夢(mèng)數(shù)列