連續(xù)力學(xué)線彈性固體

1、第三章 線性彈性固體 到目前為止，我們已經(jīng)講述了有關(guān)連續(xù)介質(zhì)的幾何學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的基本概念及基本關(guān)系式。所有這些關(guān)系對各種連續(xù)介質(zhì)都適用，因?yàn)樵谕茖?dǎo)過程中并沒有考慮是什么物質(zhì)。 然而，這些方程還不足以描述特定物質(zhì)在給定的荷載作用下的反響。在同樣荷載條件下，鋼的反響和水的反響是不同的。另外，對于給定的同一物質(zhì)，隨著荷載條件的變化，其反響也是不同的。例如，低碳鋼在適度荷載下將發(fā)生變形，去掉荷載后變形消失，物質(zhì)的這種性質(zhì)稱為彈性。若荷載繼續(xù)增加，低碳鋼將產(chǎn)生永久變形，甚至斷裂。造成這些不同反響的原因是由于物質(zhì)的特性，而不是共性，即物質(zhì)內(nèi)部本構(gòu)是造成這些反響的原因。在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，我們不涉及物質(zhì)

2、的原子結(jié)構(gòu)，而只研究物質(zhì)的宏觀性質(zhì)。為此，我們要建立反映物質(zhì)結(jié)構(gòu)差異的總體效應(yīng)的方程，即本構(gòu)方程(constitutive equation)。在本章中，我們只研究線性彈性固體這種理想化的物質(zhì)的本構(gòu)方程，并給出這類固體的若干簡單情形的靜力和動(dòng)力問題的解。在本章最后，對線性彈性固體的變分原理作一簡要的闡述。3.1 線性彈性固體的力學(xué)性質(zhì) 為了建立線性彈性固體的本構(gòu)方程，首先需要對該物質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)做一些了解。 1.簡單拉伸實(shí)驗(yàn)取一根長為，橫截面面積為A的細(xì)長圓柱試件。此試件在軸向荷載P的作用下伸長，如圖3.1所示。在線性范圍內(nèi)(圖中OA段)，如果把荷載卸掉，則線OA可逆，此時(shí)試件表現(xiàn)出彈性。如果再

3、繼續(xù)加載到B然后卸載，則得到典型的OABC線，并且將有一“永久變形”量OC。在一般的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中常采用線性彈性理論。在線性彈性范圍內(nèi)，我們可以假定，逐級加載不影響線性彈性性狀。 為了表示加載與變形的這種線性關(guān)系，我們希望有一種與試件尺寸和由于實(shí)驗(yàn)裝置引進(jìn)的任何變量無關(guān)的材料性狀的表示法，于是我們引用應(yīng)力，而應(yīng)力。在OA段應(yīng)力與應(yīng)變之比為常數(shù) (3.1.01)E稱為楊氏模量，或彈性模量。其量綱是力/單位面積。在國際單位制中，鋼的彈性模量。 在拉伸實(shí)驗(yàn)中，我們可以測出橫向尺寸的變化。假若桿是一個(gè)直徑為d的圓柱體，在一定條件下，當(dāng)拉力增大時(shí)它仍保持圓形載面，但直徑減小，用表示橫向應(yīng)變，則值為 (3

4、.1.02)由實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)比例是一個(gè)常數(shù)。我們把這個(gè)常數(shù)稱為泊松比,并用表示，也常把稱為橫向收縮系數(shù)，鋼的典型值為0.3，是一無量鋼數(shù)。 對于各向同性、均勻的材料，E和均為常數(shù)。若E和沿不同方向取不同值，且隨著鄰域的不同而變化，則稱材料是各向異性和非均勻的。 2.簡單扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn) 取半徑為r，長為l的圓柱桿件，沿桿軸方向作用扭矩，使桿件扭轉(zhuǎn)一個(gè)角度。對于彈性材料，和成線性關(guān)系，于是我們定義剪切模量為 (3.1.03)這里為極慣性矩。 鋼的典型值是。 3.均勻各向同性塊體在均勻壓力下的實(shí)驗(yàn) 對于一種線性彈性材料，在均勻壓力作用下，體積將發(fā)生變化，此時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)為 (3.1.04) 在相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)中，我們測

5、量出壓力和單位體積的體積變化的關(guān)系，這種關(guān)系也是線性關(guān)系，并且定義為體積模量，用表示 (3.1.05)鋼的典型值是。 通過這樣三個(gè)實(shí)驗(yàn)，對于各向同性線性彈性材料引進(jìn)了四個(gè)不同的常數(shù)。我們需要了解這些常數(shù)是否獨(dú)立，或者說，需要多少常數(shù)才能描述各向同性的線性材料。3.2 線性彈性固體的本構(gòu)方程 在某些限度內(nèi)，在上節(jié)所提到的實(shí)驗(yàn)具有下列共同特點(diǎn)： (1)作用荷載和度量變形的量之間的關(guān)系是線性的； (2)逐級加載不影響(1)的線性關(guān)系； (3)在荷載卸掉后，變形將完全消失； (3)在實(shí)驗(yàn)中觀察到的變形很小。 于是，上述特征可以描述一種理想的物質(zhì)，即線性彈性固體或虎克彈性固體?，F(xiàn)在就來建立這種理想物質(zhì)的

6、本構(gòu)方程。本構(gòu)方程要把應(yīng)力和相關(guān)的變形量聯(lián)系起來。每一個(gè)本構(gòu)方程定義一種理想物質(zhì)，而且它是物質(zhì)性質(zhì)從經(jīng)驗(yàn)加以抽象化的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。對于變形很小，而且不受加載等級影響的物質(zhì)，我們可以寫出 (3.2.01)這里是E的單值函數(shù)，而且。如果函數(shù)是線性的，則可把上式寫成分量形式。 (3.2.02) 這里共有九個(gè)方程。還可寫成指標(biāo)形式 (3.2.03)寫成不變性形式，則為 (3.2.04)因?yàn)楹褪嵌A張量，由商法則知必是一個(gè)四階張量，稱它為彈性常數(shù)張量。它共有81個(gè)分量。四階張量表征一種特定的各向異性虎克彈性固體的力學(xué)性質(zhì)。方程 (3.2.02) 稱為廣義虎克定律。如果物體是均勻的，即物體每個(gè)物質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)性質(zhì)

7、都 相同，則是常數(shù)。這里，我們僅研究這種物質(zhì)。 由于應(yīng)力張量T是對稱的，應(yīng)變張量E也是對稱的，則方程(3.2.02)歸結(jié)為六個(gè)方程，它們表示六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量，和六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量，之間的關(guān)系。因此，對于一個(gè)線性的各向異性彈性固體，只需要不多于36個(gè)的彈性常數(shù)來確定它的力學(xué)性質(zhì)。如果采用下述記號： ， ， (3.2.05) ，和 ， ， (3.2.06) ，則各向異性均勻彈性固體的本構(gòu)方程就可寫成 (3.2.07)其中共有36個(gè)分量。由材料的均勻性可知，系統(tǒng)與坐標(biāo)，無關(guān)。3.3 線性彈性固體的內(nèi)能 在忽略熱效應(yīng)的情況下，線性彈性固體內(nèi)能u的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)為 (3.3.01)或?qū)懗刹蛔冃孕问?(3.3

8、.02)在這種情況下，內(nèi)能是由純力學(xué)原因形成的，稱之為應(yīng)變能。由上式得 (3.3.03)由于應(yīng)力張量T是應(yīng)變張量E的函數(shù)，故u可表示成E的函數(shù)，則它的微分為 (3.3.04) 比較式(3.3.03)和式(3.3.04)，則得 (3.3.05) 我們定義應(yīng)變能密度為 (3.3.06)因?yàn)樵谛?yīng)變理論中密度為常量，故 (3.3.07)導(dǎo)致線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的應(yīng)變能函數(shù)可取為下列二次形 (3.3.08)考慮到式3.2.02，則 (3.3.09)這表示應(yīng)力分量在相應(yīng)分量上所做的功，其中因子是考慮應(yīng)力從零逐漸增加到它的終值時(shí)在應(yīng)變上做功的結(jié)果。 對式3.3.08求微分，得 (3.3.10)由式(3.3.0

9、3)得 (3.3.11)上列兩式相減，則得 由于，所以九個(gè)不能全部任意選取，但總可以選取一對指標(biāo)kl，使得，于是得 即 同樣地，再選取一對ij，使，也得 (3.3.12)這就是說，對于彈性常數(shù)張量，除前兩指標(biāo)ij對稱，后兩指標(biāo)kl對稱外，還允許把一對指標(biāo)ij與另一對指標(biāo)kl互換。因此彈性常數(shù)張量獨(dú)立分量數(shù)目從36個(gè)減少到21個(gè)。用矩陣表示，則為 (3.3.13)這是彈性常數(shù)張量的一般形式。具有這種彈性常數(shù)張量的物質(zhì)稱為各向異性物質(zhì)。3.4 各向同性線性彈性固體 假如物體是各向同性的，那么對于物體中的一點(diǎn)沿著任何方向看，彈性性質(zhì)都是一樣的，即在各個(gè)方向上應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系是一樣的。在得出一般結(jié)果之前

10、，我們首先討論幾種特殊情形。 (1)設(shè)彈性常數(shù)張量C對某一方向，比如取，是各向同性的，則由和所確定的平面是C的對稱面，以這個(gè)面作為鏡面的反射變換 (3.4.01)這個(gè)表達(dá)式中取指標(biāo)1，2的方向不變，而取指標(biāo)3的方向變?yōu)樗姆捶较颍谑鞘?3.4.01)中帶奇數(shù)個(gè)指標(biāo)3的項(xiàng)要改變符號，須使這些項(xiàng)為零時(shí)等式才能成立。因此剩下不為零的彈性常數(shù)張量分量只有13個(gè)獨(dú)立分量。寫成矩陣形式則為 (3.4.02) (2)設(shè)對方向也是各向同性的，則在(3.4.02)中含奇數(shù)個(gè)指標(biāo)2的彈性常數(shù)張量的分量為零。于是剩下不為零的彈性常數(shù)張量分量只有九個(gè)獨(dú)立分量。寫成矩陣形式則為 (3.4.03) (3)設(shè)沿方向也是同

11、性的，這時(shí)材料沿，方向都是同性的。這種材料稱為正交各向異性材料。同(1)、(2)一樣地考慮，這時(shí)只剩下與式(3.4.03)相同的獨(dú)立彈性常數(shù)張量分量。正交各向異性彈性材料的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系就具有下列展開形式 (3.4.04) 其中 ， (4)設(shè)材料關(guān)于軸對稱，即材料中的每一點(diǎn)對該軸進(jìn)行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系保持不變。顯然，材料應(yīng)當(dāng)關(guān)于與和與的平面為對稱，故至多只剩下(3.4.03)所示的九個(gè)獨(dú)立分量。而且當(dāng)與互換時(shí)彈性常數(shù)張量分量保持不變，即 ，故只剩下六個(gè)獨(dú)立分量。寫成矩陣形式則為 (3.4.05)再將坐標(biāo)軸繞旋轉(zhuǎn)35，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變，還可以得到一個(gè)，之間的關(guān)系，最后只剩下列五個(gè)獨(dú)立分量：

12、 ， (3.4.06)這種材料稱為平面各向同性材料。(5)設(shè)關(guān)于也是軸對稱的，故，且，之間存在一個(gè)關(guān)系，故只剩下列三個(gè)獨(dú)立常數(shù)：， (3.4.07) (6)再設(shè)關(guān)于也是軸對稱的，于是，只剩下列兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)： ， (3.4.08)在這種情況下，在空間的各個(gè)方向同性，簡稱各向同性。這種彈性材料稱為各向同性彈性材料。 實(shí)際上，在各向同性的情況下，考慮到式和的對稱性，則可寫出下列各向同性彈性固體的本構(gòu)方程： (3.4.09)其中是應(yīng)變張量第一主不變量，這里和稱為拉梅常數(shù)。把上式寫成不變性形式，則為 (3.4.10)式中I為二階單位張量。 把式(3.4.09)寫成展開形式，則有 (3.4.11) 式(3

13、.4.11)就是各向同性線性彈性固體的本構(gòu)方程。這是用應(yīng)變表示應(yīng)力的本構(gòu)方程。 下面我們推導(dǎo)本構(gòu)方程的另一種表達(dá)形式，即用應(yīng)力表示應(yīng)變的本構(gòu)方程。將式(3.4.10)兩邊取跡，則得應(yīng)力張量第一主不變量與應(yīng)變張量第一主不變量間的關(guān)系式 (3.4.12)從上列式中解出 , 即 (3.4.13)寫成不變性形式，則為 (3.4.14)式(3.4.13)、(3.4.14)就是用應(yīng)力表示應(yīng)變的本構(gòu)方程。 如果利用楊氏模量E、泊松比與拉梅常數(shù)和關(guān)系 ， (3.4.15)即 ， (3.4.16)則得 ， (3.4.17)代入式(3.4.15)，有 (3.4.18)或 (3.4.19)把式(3.4.18)寫成展

14、開形式 (3.4.20) 3.5 線性彈性固體的基本方程組 本節(jié)將研究各向同性線性彈性固體的小變形問題。為此，首先讓我們回顧一下第二章得到的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本方程組。 對于質(zhì)量守恒定律，由式(2.2.15)給出其物質(zhì)形式為 (3.5.01)但我們知道雅可比行列式J表示時(shí)刻t的體積元與時(shí)刻的體積元之比，故 考慮到式(1.3.48)，引入體積應(yīng)變e，則 因?yàn)槲覀兯芯康氖切∽冃螁栴}，故可認(rèn)為 代入式(3.5.01)，得 (3.5.02)此式表明，物體變形前后，其密度不發(fā)生變化。因此，今后將密度看成是常量，而不作為未知量。 在不考慮熱效應(yīng)的情況下，狀態(tài)方程和熵定律無需考慮。能量方程可以直接從運(yùn)動(dòng)方程推

15、出，所以它不是獨(dú)立的，我們也無需加以考慮。 考慮到式(2.3.11)、(1.3.18)、(1.3.19)和式(3.4.10)，則可將線性彈性固體問題的基本方程組匯集如下： (3.5.03) (3.5.04) (3.5.05)這里應(yīng)力張量為對稱張量，(3.5.03)是運(yùn)動(dòng)方程，包括三個(gè)方程；(3.5.04)是應(yīng)變與位移關(guān)系，包括六個(gè)獨(dú)立的方程；(3.5.05)是本構(gòu)方程，包括六個(gè)獨(dú)立的方程。共15個(gè)方程。未知量和中各有六個(gè)獨(dú)立的未知分量，有三個(gè)未知分量，共15個(gè)未知量，因此，基本方程組是封閉的。 所有的線性彈性固體都要滿足基本方程組，但是滿足同一方程組的運(yùn)動(dòng)仍然千差萬別，多種多樣。只有確定邊界狀

16、態(tài)和初始狀態(tài)之后，物體的運(yùn)動(dòng)才被確定下來。下面討論幾種常見的邊界條件和初始條件。 (1)位移邊界條件：在物體表面S上，位移被給定 (3.5.06) (2)應(yīng)力邊界條件：在物體表面S上應(yīng)力被給定 (3.5.07)其中n為其表面外法向。 (3)彈性邊界條件：在物體表面S上的應(yīng)力與其對應(yīng)的位移成正比。 (3.5.08)其中k為彈性系數(shù)。 (4)混合邊界條件：在物體表面，和上分別滿足 (3.5.09) (3.5.10) (3.5.11)其中。 初始條件一般要求給定時(shí)刻的初位移和初速度，即 (3.5.12) (3.5.13)其中和為已知矢量值函數(shù)。 到此為止，在不考慮熱效應(yīng)情況下的各向同性線性彈性固體的

17、小變形問題的完整數(shù)學(xué)描述由式(3.5.03)到式(3.5.13)給出。3.6 圣維南原理 以上我們已經(jīng)討論了線性彈性固體的基本方程組以及邊界條件，但是對于某一具體問題來說，要想真正計(jì)算出來，在實(shí)際上有很大的困難。另一方面，在實(shí)際的工程問題中也不可能逐點(diǎn)精確地給出邊界條件，于是就提出這樣一個(gè)問題：邊界條件怎樣變動(dòng)時(shí)，其基本方程組的解在大部分范圍內(nèi)保持不變或變動(dòng)很小。為此，引出了圣維南原理。 圣維南原理：若作用于較小面積上的外載，用另一與其等效的力系(即合力相等，合力矩相等)代替，則在物體內(nèi)部產(chǎn)生的影響隨與此處距離的增加而急劇衰減。 圣維南原理的正確性是顯而易見的，但它的一般性嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明至今尚未解決。3.7 線性彈性固體的唯一性 假如在靜力情況下，已知彈性固體在邊界上受給定外力作用，在體內(nèi)各點(diǎn)受給定的體力作用，則這彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力一定滿足運(yùn)動(dòng)方程，各點(diǎn)的應(yīng)變可以從本構(gòu)方程中求得，各點(diǎn)的位移又可以從應(yīng)變與位移關(guān)系中求得。現(xiàn)在的問題是我們所求的應(yīng)力、應(yīng)變和位移是不是唯一的？或者說是不是只有一組應(yīng)力、應(yīng)變、位移的分布適合這些基本方程組？ 為了證明線性彈性固體解的唯一性，我們假設(shè)對同一彈性體，在同樣的邊界條件下，存在著兩組滿足基本方程組的解 ，和，分別滿足 (3.7.01) (在上) (在上) (在上)和 (3.7.02) 在上 在上 在上令 并將3.7.01與3.7