連續(xù)力學線彈性固體

1、第三章 線性彈性固體 到目前為止，我們已經講述了有關連續(xù)介質的幾何學、運動學和動力學的基本概念及基本關系式。所有這些關系對各種連續(xù)介質都適用，因為在推導過程中并沒有考慮是什么物質。 然而，這些方程還不足以描述特定物質在給定的荷載作用下的反響。在同樣荷載條件下，鋼的反響和水的反響是不同的。另外，對于給定的同一物質，隨著荷載條件的變化，其反響也是不同的。例如，低碳鋼在適度荷載下將發(fā)生變形，去掉荷載后變形消失，物質的這種性質稱為彈性。若荷載繼續(xù)增加，低碳鋼將產生永久變形，甚至斷裂。造成這些不同反響的原因是由于物質的特性，而不是共性，即物質內部本構是造成這些反響的原因。在連續(xù)介質力學中，我們不涉及物質

2、的原子結構，而只研究物質的宏觀性質。為此，我們要建立反映物質結構差異的總體效應的方程，即本構方程(constitutive equation)。在本章中，我們只研究線性彈性固體這種理想化的物質的本構方程，并給出這類固體的若干簡單情形的靜力和動力問題的解。在本章最后，對線性彈性固體的變分原理作一簡要的闡述。3.1 線性彈性固體的力學性質 為了建立線性彈性固體的本構方程，首先需要對該物質的力學性質做一些了解。 1.簡單拉伸實驗取一根長為，橫截面面積為A的細長圓柱試件。此試件在軸向荷載P的作用下伸長，如圖3.1所示。在線性范圍內(圖中OA段)，如果把荷載卸掉，則線OA可逆，此時試件表現(xiàn)出彈性。如果再

3、繼續(xù)加載到B然后卸載，則得到典型的OABC線，并且將有一“永久變形”量OC。在一般的工程結構設計中常采用線性彈性理論。在線性彈性范圍內，我們可以假定，逐級加載不影響線性彈性性狀。 為了表示加載與變形的這種線性關系，我們希望有一種與試件尺寸和由于實驗裝置引進的任何變量無關的材料性狀的表示法，于是我們引用應力，而應力。在OA段應力與應變之比為常數 (3.1.01)E稱為楊氏模量，或彈性模量。其量綱是力/單位面積。在國際單位制中，鋼的彈性模量。 在拉伸實驗中，我們可以測出橫向尺寸的變化。假若桿是一個直徑為d的圓柱體，在一定條件下，當拉力增大時它仍保持圓形載面，但直徑減小，用表示橫向應變，則值為 (3

4、.1.02)由實驗發(fā)現(xiàn)比例是一個常數。我們把這個常數稱為泊松比,并用表示，也常把稱為橫向收縮系數，鋼的典型值為0.3，是一無量鋼數。 對于各向同性、均勻的材料，E和均為常數。若E和沿不同方向取不同值，且隨著鄰域的不同而變化，則稱材料是各向異性和非均勻的。 2.簡單扭轉實驗 取半徑為r，長為l的圓柱桿件，沿桿軸方向作用扭矩，使桿件扭轉一個角度。對于彈性材料，和成線性關系，于是我們定義剪切模量為 (3.1.03)這里為極慣性矩。 鋼的典型值是。 3.均勻各向同性塊體在均勻壓力下的實驗 對于一種線性彈性材料，在均勻壓力作用下，體積將發(fā)生變化，此時的應力狀態(tài)為 (3.1.04) 在相應的實驗中，我們測

5、量出壓力和單位體積的體積變化的關系，這種關系也是線性關系，并且定義為體積模量，用表示 (3.1.05)鋼的典型值是。 通過這樣三個實驗，對于各向同性線性彈性材料引進了四個不同的常數。我們需要了解這些常數是否獨立，或者說，需要多少常數才能描述各向同性的線性材料。3.2 線性彈性固體的本構方程 在某些限度內，在上節(jié)所提到的實驗具有下列共同特點： (1)作用荷載和度量變形的量之間的關系是線性的； (2)逐級加載不影響(1)的線性關系； (3)在荷載卸掉后，變形將完全消失； (3)在實驗中觀察到的變形很小。 于是，上述特征可以描述一種理想的物質，即線性彈性固體或虎克彈性固體?，F(xiàn)在就來建立這種理想物質的

6、本構方程。本構方程要把應力和相關的變形量聯(lián)系起來。每一個本構方程定義一種理想物質，而且它是物質性質從經驗加以抽象化的數學表現(xiàn)。對于變形很小，而且不受加載等級影響的物質，我們可以寫出 (3.2.01)這里是E的單值函數，而且。如果函數是線性的，則可把上式寫成分量形式。 (3.2.02) 這里共有九個方程。還可寫成指標形式 (3.2.03)寫成不變性形式，則為 (3.2.04)因為和是二階張量，由商法則知必是一個四階張量，稱它為彈性常數張量。它共有81個分量。四階張量表征一種特定的各向異性虎克彈性固體的力學性質。方程 (3.2.02) 稱為廣義虎克定律。如果物體是均勻的，即物體每個物質點的力學性質

7、都 相同，則是常數。這里，我們僅研究這種物質。 由于應力張量T是對稱的，應變張量E也是對稱的，則方程(3.2.02)歸結為六個方程，它們表示六個獨立的應力分量，和六個獨立的應變分量，之間的關系。因此，對于一個線性的各向異性彈性固體，只需要不多于36個的彈性常數來確定它的力學性質。如果采用下述記號： ， ， (3.2.05) ，和 ， ， (3.2.06) ，則各向異性均勻彈性固體的本構方程就可寫成 (3.2.07)其中共有36個分量。由材料的均勻性可知，系統(tǒng)與坐標，無關。3.3 線性彈性固體的內能 在忽略熱效應的情況下，線性彈性固體內能u的物質導數為 (3.3.01)或寫成不變性形式 (3.3

8、.02)在這種情況下，內能是由純力學原因形成的，稱之為應變能。由上式得 (3.3.03)由于應力張量T是應變張量E的函數，故u可表示成E的函數，則它的微分為 (3.3.04) 比較式(3.3.03)和式(3.3.04)，則得 (3.3.05) 我們定義應變能密度為 (3.3.06)因為在小應變理論中密度為常量，故 (3.3.07)導致線性應力應變關系的應變能函數可取為下列二次形 (3.3.08)考慮到式3.2.02，則 (3.3.09)這表示應力分量在相應分量上所做的功，其中因子是考慮應力從零逐漸增加到它的終值時在應變上做功的結果。 對式3.3.08求微分，得 (3.3.10)由式(3.3.0

9、3)得 (3.3.11)上列兩式相減，則得 由于，所以九個不能全部任意選取，但總可以選取一對指標kl，使得，于是得 即 同樣地，再選取一對ij，使，也得 (3.3.12)這就是說，對于彈性常數張量，除前兩指標ij對稱，后兩指標kl對稱外，還允許把一對指標ij與另一對指標kl互換。因此彈性常數張量獨立分量數目從36個減少到21個。用矩陣表示，則為 (3.3.13)這是彈性常數張量的一般形式。具有這種彈性常數張量的物質稱為各向異性物質。3.4 各向同性線性彈性固體 假如物體是各向同性的，那么對于物體中的一點沿著任何方向看，彈性性質都是一樣的，即在各個方向上應力和應變關系是一樣的。在得出一般結果之前

10、，我們首先討論幾種特殊情形。 (1)設彈性常數張量C對某一方向，比如取，是各向同性的，則由和所確定的平面是C的對稱面，以這個面作為鏡面的反射變換 (3.4.01)這個表達式中取指標1，2的方向不變，而取指標3的方向變?yōu)樗姆捶较?，于是?3.4.01)中帶奇數個指標3的項要改變符號，須使這些項為零時等式才能成立。因此剩下不為零的彈性常數張量分量只有13個獨立分量。寫成矩陣形式則為 (3.4.02) (2)設對方向也是各向同性的，則在(3.4.02)中含奇數個指標2的彈性常數張量的分量為零。于是剩下不為零的彈性常數張量分量只有九個獨立分量。寫成矩陣形式則為 (3.4.03) (3)設沿方向也是同

11、性的，這時材料沿，方向都是同性的。這種材料稱為正交各向異性材料。同(1)、(2)一樣地考慮，這時只剩下與式(3.4.03)相同的獨立彈性常數張量分量。正交各向異性彈性材料的應力和應變關系就具有下列展開形式 (3.4.04) 其中 ， (4)設材料關于軸對稱，即材料中的每一點對該軸進行坐標旋轉，其應力應變關系保持不變。顯然，材料應當關于與和與的平面為對稱，故至多只剩下(3.4.03)所示的九個獨立分量。而且當與互換時彈性常數張量分量保持不變，即 ，故只剩下六個獨立分量。寫成矩陣形式則為 (3.4.05)再將坐標軸繞旋轉35，應力應變關系不變，還可以得到一個，之間的關系，最后只剩下列五個獨立分量：

12、 ， (3.4.06)這種材料稱為平面各向同性材料。(5)設關于也是軸對稱的，故，且，之間存在一個關系，故只剩下列三個獨立常數：， (3.4.07) (6)再設關于也是軸對稱的，于是，只剩下列兩個獨立常數： ， (3.4.08)在這種情況下，在空間的各個方向同性，簡稱各向同性。這種彈性材料稱為各向同性彈性材料。 實際上，在各向同性的情況下，考慮到式和的對稱性，則可寫出下列各向同性彈性固體的本構方程： (3.4.09)其中是應變張量第一主不變量，這里和稱為拉梅常數。把上式寫成不變性形式，則為 (3.4.10)式中I為二階單位張量。 把式(3.4.09)寫成展開形式，則有 (3.4.11) 式(3

13、.4.11)就是各向同性線性彈性固體的本構方程。這是用應變表示應力的本構方程。 下面我們推導本構方程的另一種表達形式，即用應力表示應變的本構方程。將式(3.4.10)兩邊取跡，則得應力張量第一主不變量與應變張量第一主不變量間的關系式 (3.4.12)從上列式中解出 , 即 (3.4.13)寫成不變性形式，則為 (3.4.14)式(3.4.13)、(3.4.14)就是用應力表示應變的本構方程。 如果利用楊氏模量E、泊松比與拉梅常數和關系 ， (3.4.15)即 ， (3.4.16)則得 ， (3.4.17)代入式(3.4.15)，有 (3.4.18)或 (3.4.19)把式(3.4.18)寫成展

14、開形式 (3.4.20) 3.5 線性彈性固體的基本方程組 本節(jié)將研究各向同性線性彈性固體的小變形問題。為此，首先讓我們回顧一下第二章得到的連續(xù)介質力學基本方程組。 對于質量守恒定律，由式(2.2.15)給出其物質形式為 (3.5.01)但我們知道雅可比行列式J表示時刻t的體積元與時刻的體積元之比，故 考慮到式(1.3.48)，引入體積應變e，則 因為我們所研究的是小變形問題，故可認為 代入式(3.5.01)，得 (3.5.02)此式表明，物體變形前后，其密度不發(fā)生變化。因此，今后將密度看成是常量，而不作為未知量。 在不考慮熱效應的情況下，狀態(tài)方程和熵定律無需考慮。能量方程可以直接從運動方程推

15、出，所以它不是獨立的，我們也無需加以考慮。 考慮到式(2.3.11)、(1.3.18)、(1.3.19)和式(3.4.10)，則可將線性彈性固體問題的基本方程組匯集如下： (3.5.03) (3.5.04) (3.5.05)這里應力張量為對稱張量，(3.5.03)是運動方程，包括三個方程；(3.5.04)是應變與位移關系，包括六個獨立的方程；(3.5.05)是本構方程，包括六個獨立的方程。共15個方程。未知量和中各有六個獨立的未知分量，有三個未知分量，共15個未知量，因此，基本方程組是封閉的。 所有的線性彈性固體都要滿足基本方程組，但是滿足同一方程組的運動仍然千差萬別，多種多樣。只有確定邊界狀

16、態(tài)和初始狀態(tài)之后，物體的運動才被確定下來。下面討論幾種常見的邊界條件和初始條件。 (1)位移邊界條件：在物體表面S上，位移被給定 (3.5.06) (2)應力邊界條件：在物體表面S上應力被給定 (3.5.07)其中n為其表面外法向。 (3)彈性邊界條件：在物體表面S上的應力與其對應的位移成正比。 (3.5.08)其中k為彈性系數。 (4)混合邊界條件：在物體表面，和上分別滿足 (3.5.09) (3.5.10) (3.5.11)其中。 初始條件一般要求給定時刻的初位移和初速度，即 (3.5.12) (3.5.13)其中和為已知矢量值函數。 到此為止，在不考慮熱效應情況下的各向同性線性彈性固體的

17、小變形問題的完整數學描述由式(3.5.03)到式(3.5.13)給出。3.6 圣維南原理 以上我們已經討論了線性彈性固體的基本方程組以及邊界條件，但是對于某一具體問題來說，要想真正計算出來，在實際上有很大的困難。另一方面，在實際的工程問題中也不可能逐點精確地給出邊界條件，于是就提出這樣一個問題：邊界條件怎樣變動時，其基本方程組的解在大部分范圍內保持不變或變動很小。為此，引出了圣維南原理。 圣維南原理：若作用于較小面積上的外載，用另一與其等效的力系(即合力相等，合力矩相等)代替，則在物體內部產生的影響隨與此處距離的增加而急劇衰減。 圣維南原理的正確性是顯而易見的，但它的一般性嚴格數學證明至今尚未解決。3.7 線性彈性固體的唯一性 假如在靜力情況下，已知彈性固體在邊界上受給定外力作用，在體內各點受給定的體力作用，則這彈性體內各點的應力一定滿足運動方程，各點的應變可以從本構方程中求得，各點的位移又可以從應變與位移關系中求得?，F(xiàn)在的問題是我們所求的應力、應變和位移是不是唯一的？或者說是不是只有一組應力、應變、位移的分布適合這些基本方程組？ 為了證明線性彈性固體解的唯一性，我們假設對同一彈性體，在同樣的邊界條件下，存在著兩組滿足基本方程組的解 ，和，分別滿足 (3.7.01) (在上) (在上) (在上)和 (3.7.02) 在上 在上 在上令 并將3.7.01與3.7