三維minkowski空間中的曲線理論

1、三維Minkowski空間中的曲線理論作 者 姓 名：郭巍指 導 教 師：劉會立 教授單 位 名 稱：東北大學理學院專 業(yè) 名 稱：信息與計算科學東 北 大 學2014年6月The theory of curves in Minkowski 3-spaceby Guo WeiSupervisor: Professor Huili-LiuNortheastern UniversityJune 2014畢業(yè)設計（論文）任務書畢業(yè)設計（論文）題目：三維Minkowski空間中的曲線理論設計(論文)的基本內容：設計類型：曲線幾何理論的學習，歸納，整理，發(fā)展?；灸繕耍簩F(xiàn)有的關于三維Minkowski

2、空間中的曲線理論進行系統(tǒng)的整理，歸納。畢業(yè)設計（論文）專題部分：題目：設計或論文專題的基本內容：學生接受畢業(yè)設計（論文）題目日期 第 1周指導教師簽字：2014年3月3日三維Minkowski空間中的曲線理論摘 要在非歐空間中，三維Minkowski空間是我們研究的最廣泛的一類偽歐氏空間。它只有一個負指標，并且具有較好的對稱性，與三維歐氏空間具有很多相似之處，從而三維歐氏空間中的一些簡單結論就可以推廣到三維Minkowski空間中。本文結合三維歐氏空間中曲線的相關理論整理歸納了三維Minkowski空間中曲線的基本概念和性質，并在此基礎上研究了三維Minkowski空間中幾種常見的曲線。如：曲

3、率和撓率為常數(shù)的曲線；一般螺線；Bertrand曲線；Mannheim曲線。論文中給出了三維Minkowski空間中的曲線的基本定義，曲線的分類，曲率和撓率，以及曲線的Frenet公式。在此基礎上，我們研究了曲率和撓率為常數(shù)的曲線方程，并在不同情形下，證明了當曲率和撓率為常數(shù)時，對應的曲線方程的結構；然后，證明了當一條曲線為一般螺線時，延伸出的四個命題等價；最后，我們給出了Bertrand曲線和Mannheim曲線的定義，性質。并總結了三維Minkowski空間中類空曲線是Bertrand曲線和Mannheim曲線的充要條件。關鍵詞： 三維Minkowski空間，曲率和撓率為常數(shù)的曲線，一般螺

4、線，Bertrand曲線，Mannheim曲線。The theory of curves in Minkowski 3-spaceABSTRACT In non-Euclidean space, three dimensionalspace（Minkowski） isthe most widely studieda class of pseudoEuclidean space，its onlyanegativeindex，and hasgood symmetry，has manysimilarities with thethree-dimensional Euclidean space。 In

5、 this paper,combined with the theory ofcurvesin 3-dimensional Euclidean spacefinishingthe basic concepts andproperties of curvesin 3-dimensional Minkowski spaceinduction，on the basis of a studie ofseveral commoncurvein Minkowski 3-space. such as:constant curvature and torsionof thecurve;the general

6、helix;Bertrand curve;mannheimcurve. The paper presents the in 3-dimensional Minkowski spacecurve,curve classification,curvature and torsion,and thecurve of Frenetformula. on this basis,we study thecurvature and torsionof thecurve equation ofconstant, andin different circumstances,proves that when th

7、ecurvature and torsionis constant, the structureof the correspondingcurveequation; provethat ifacurve is ageneral helix,fourequivalent propositionsextends out of the, finally, we give thedefinition of Bertrandcurve and Mannheim curve,properties, and summarizedin three dimensional Minkowski space lik

8、e forcurvesisnecessary and sufficient conditions of Bertrandcurve and Mannheim curve.Keywords: Minkowski 3-space; the curve of curvature and torsion is constant; cylindrical helix; Bertrand curve; Mannheim curve;目 錄任務書i中文摘要iiABSTRACTiii第1章 緒論11.1微分幾何的起源，發(fā)展和影響11.1.1微分幾何的起源與發(fā)展11.1.2微分幾何的應用及影響21.2非歐幾何的

9、產生21.3 本文的主要內容和研究意義3第2章 基本理論42.1三維歐氏空間42.1.1三維歐氏空間的基本概念42.1.2三維歐氏空間中曲線的基本概念42.1.3 三維歐氏空間曲線的曲率52.1.4三維歐氏空間曲線的撓率52.2三維歐氏空間中的常見曲線62.2.1一般螺線62.2.2 Bertrand曲線62.2.3 Mannheim曲線72.3三維Minkowski空間72.3.1三維Minkowski空間的基本定義72.3.2三維Minkowski空間的向量82.3.3三維Minkowski空間的標架8第3章 三維Minkowski空間中的曲線理論93.1三維Minkowski空間中的曲線

10、93.1.1三維Minkowski空間中曲線的基本概念93.1.2三維Minkowski空間中曲線的分類93.1.3三維Minkowski空間中曲線的公垂線103.1.4三維Minkowski空間中曲線的曲率和撓率103.1.5三維Minkowski空間中曲線的Frenet公式103.2曲率和撓率是常數(shù)的曲線113.2.1 曲率為常數(shù)的曲線113.2.2 曲率和撓率均為常數(shù)的曲線123.3 一般螺線163.4 Bertrand曲線183.4.1 Bertrand曲線的定義183.4.2曲線為Bertrand曲線的充要條件183.4.3 Bertrand曲線的性質213.5 Mannheim曲線

11、213.5.1 Mannheim曲線的定義213.5.2曲線為Mannheim曲線的充要條件223.5.3 Mannheim曲線的性質22第4章 總結23參考文獻25結束語27附錄29第1章 緒論1.1微分幾何的起源，發(fā)展和影響1.1.1 微分幾何的起源與發(fā)展微分幾何是數(shù)學的一個重要分支，它的產生和發(fā)展是和微積分密切相連的。1736年，瑞士數(shù)學家歐拉首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何的研究。這同時標志著微分幾何的誕生。十九世紀初，法國數(shù)學家蒙日首先把微積分應用到曲線和曲面研究中去，并在1807年出版了分析在幾何學上的應用一書

12、，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業(yè)的日益增長的要求是促進微分幾何發(fā)展的因素。二十世紀，微分幾何的發(fā)展極為迅速，大致可以分為四個不同方面：（1）Cartan和Weyl做了Lie群和Riemann對稱空間的分類，Cartan將聯(lián)絡的概念推廣，將Klein的理論和Riemann幾何融合，又引進了外微分，發(fā)展了Cartan-Kanler理論。因此，使局部微分幾何大大地推進了一步。（2）由于拓撲學和代數(shù)幾何的蓬勃發(fā)展，de Rham，Hodge，Kodaira，Hopf，Lefschetz，Whitney，Weil，陳省身等人將它們和微分幾何建立起密切的關系，從而發(fā)展

13、了整體微分幾何。（3）由于古典幾何學的影響，凸曲面幾何學，綜合幾何學，幾分幾何學在Alexandroff，Cohn-Vossen，Pogorelov，Busemann，Rauch，Santalo等人的領導下，有了很大的進展。（4）由于微分方程理論的逐漸成熟，幾何學家開始應用分析方法來解決幾何問題。反過來，微分幾何理論有提供了大量有意義的微分方程，而研究這些方程，往往要提出新的觀念和方法，所以分析學家也密切注意著幾何學的發(fā)展。值得一提的是，我國微分幾何大師陳省身先生給出了高維流形上的高斯博內公式以及極為重要的“陳示性類”，對于整體微分幾何做出了杰出的貢獻，并對數(shù)學整體產生了深刻的影響。1.1.2

14、 微分幾何的應用及影響近代由于對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何和拓撲學。變分學、李群理論等有了密切的關系，這些數(shù)學領域和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學的中心課題之一。微分幾何在力學和一些工程技術問題方面有廣泛的應用，比如，在彈性薄殼結構方面，在機械的齒輪嚙合理論應用方面，都充分應用了微分幾何學的理論。同時它在數(shù)學其他分支以及力學，物理學，工程學等研究領域中的應用非常廣泛。如：為球面上的幾何與非歐幾何有密切關系；測地線和力學、變分學、拓撲學等有著深刻的聯(lián)系?？傊?，微分幾何在物理數(shù)學的研究領域中的作用愈來愈顯示出其重要意義，這是一個值得注意的動向，它勢必會進一步推動微

15、分幾何的長遠發(fā)展。1.2非歐幾何的產生 在古代，歐幾里得（Euclid）的幾何原本在西方數(shù)學中有著至高無上的地位，他不僅提供了一個具體的公理法，成為了人們表達科學理論的一種重要范式，而且提出了對數(shù)學理論的種種要求，如對證明的要求等等，時數(shù)學證明成為重要的數(shù)學以至科學方法。因此，直到1800年左右，所有的數(shù)學家都認為幾何原本所提供的幾何是物質空間和此空間內圖形性質的正確理想化。并且由于歐幾里得幾何的出發(fā)點和結論都符合人們的直觀，人們進而認為幾何學從數(shù)學具有必然的真理性。因此兩千多年來，歐幾里得空間一直被認為是反映現(xiàn)實世界唯一正確的幾何空間，是對通常的空間形式的反映。但是，另一方面，由幾何原本產生

16、的另一個信念是數(shù)學的公理應該是“白明”的，即是不用證明而直接符合人類的直觀的，這是數(shù)學證明和數(shù)學真理性的重要依據?？蓭缀卧局辛硗饩艂€公理推導出來，使之成為一個定理。但這些努力均以失敗而告終。正是這種懷疑和力圖改進的思想，導致了非歐幾何的產生。十九世紀二，三十年代非歐幾何的誕生使人們從這一思想中解放了出來，而且人們認識到幾何學不必受到物理學界的限制。十九世紀初，最先猜測平行公設具有獨特性的是德國的高斯（C.F.Gauss），匈牙利的雅諾什鮑耶（Janos Bolyai）和俄國的羅巴切夫斯基（Lobatchvsky）。關于平行公設，他們考慮三種不同的可能，獨立的探討此課題。三種可能指的是：過已知

17、直線外的一個已知點能做正好一條，不能作，或能作多于一條的直線平行于已知直線，這三種情況分別與直角假定，鈍角假定和銳角假定等價。假定直線的無限性，第二種可能易于否定，但第三種可能找不到矛盾，使得三位數(shù)學家每一位都猜測：在那個假定下的幾何也許是相容的。雖然高斯（C.F.Gauss）和匈牙利的雅諾什鮑耶（Janos Bolyai）被承認是最料想到非歐幾何的人，但是，俄國的羅巴切夫斯基（Lobatchvsky）實際上是發(fā)表此課題的有系統(tǒng)的著作的第一人，并在1929年正式發(fā)表了關于非歐幾何的第一篇論文幾何學原理。因此他發(fā)展的幾何現(xiàn)今稱作羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。之后，經過貝爾特拉米（E.Beltr

18、ami），克萊因（F.Kline）等人的努力，發(fā)展了羅巴切夫斯基的思想，在歐氏空間中建立了一個新幾何的模型，使得銳角假定的抽象發(fā)展在歐氏空間的一部分上得到表示。于是證明了非歐幾何相對于歐氏幾何是一致的，打破了“只有一種幾何學”的傳統(tǒng)觀念，引進了全新的空間概念，在現(xiàn)代物理學中獲得廣泛的應用。非歐幾何的產生是數(shù)學思想離開感性直觀進行抽象的，亦即獨立于人類的實踐而發(fā)展的一個里程碑。1.3本文的主要內容和研究意義在微分幾何中，非歐幾何學已經成為了一個新的重要的數(shù)學分支。其中，三維Minkowski空間是我們研究的最廣泛的一類偽歐氏空間。由于它只有一個負指標，并且具有較好的對稱性，與三維歐氏空間具有很多

19、相似之處，從而三維歐氏空間中的一些簡單結論就可以推廣到三維Minkowski空間中。本文的研究內容是：對現(xiàn)有的三維Minkowski空間中的曲線理論進行系統(tǒng)的整理和歸納。系統(tǒng)的歸納整理三維Minkowski空間中最基本的類空曲線、類光曲線、類時曲線。以及常見的曲率撓率為常數(shù)的曲線，一般螺線，Bertrand曲線，Mannheim曲線，Mannheim侶線。研究曲率，撓率對曲線形狀的影響。本文的研究意義在于：一方面通過對現(xiàn)有的三維Minkowski空間中的曲線理論進行系統(tǒng)的整理和歸納，使我們對這個微分幾何中全新的領域在以往的基礎上有更加系統(tǒng)的了解。另一方面，通過對三維Minkowski空間中的一

20、些特殊曲線的研究使我們對此空間中的曲線理論有更加深入的了解。同時提高我們分析問題，解決問題的綜合能力，為我們今后的學習和工作提供幫助。第2章 基本理論2.1 三維歐氏空間2.1.1三維歐氏空間的基本概念設(V,)為n維歐氏向量空間，則以V為伴隨向量空間的仿射空間稱為n維歐式空間。記為En。歐式空間En中任意兩點P,Q之間的距離定義為：當n=3時，歐氏空間成為三維歐氏空間2.1.2三維歐氏空間中曲線的基本概念在三維歐氏空間中，引入笛卡爾坐標系，在直線段上引入坐標，則直線可以寫成下面的解析表達式：(2.1)是的連續(xù)可微函數(shù)，設這些函數(shù)的定義域是中的一個區(qū)間，式(2.1)給出了從到中的一個連續(xù)可微映

21、射在這個映射下，被映射到點，的象集就構成了中的一條連續(xù)可微曲線，簡稱曲線.其中，為曲線的參數(shù)式(2.1)就是曲線的參數(shù)方程，且常把式子(2.1)寫成向量形式若曲線的參數(shù)表示式中的函數(shù)是階連續(xù)可微的函數(shù)，則把這曲線稱為類曲線1以曲線的弧長為參數(shù)的曲線方程稱為曲線的自然參數(shù)方程 2.1.3三維歐式空間中曲線的曲率曲線在某一點的曲率反應的是在該點的曲線的彎曲程度.曲線在點的曲率是由空間曲線在點處的切向量對弧長的旋轉速度來決定的.空間曲線（C）在P點處的曲率為，其中為點及其臨近點間的弧長，為曲線在點和的切向量的夾角.其幾何意義是曲線的切向量對于弧長的旋轉速度.當曲線在一點的彎曲程度越大，切向量對于弧長

22、的旋轉速度就越大，因此曲率刻畫了曲線的彎曲程度.一般參數(shù)條件下：，其曲率的表示式是2.1.4三維歐式空間中曲線的撓率在曲線上不同的點，曲線扭轉程度（離開密切平面）是不一樣的.而撓率就是曲線扭轉程度的量.當曲線扭轉時，副法向量的位置也隨著改變，所以用副法向量的旋轉速度來刻畫曲線的扭轉程度.設曲線（C）上的一點P的自然參數(shù)為s，另一臨近點的自然參數(shù)為，在、兩點各作曲線（C）的副法向量和，它們的夾角是，可以得到它的幾何意義是它的數(shù)值為曲線的副法向量對于弧長的旋轉速度.當曲線在一點的扭轉程度越大，副法向量對于弧長的旋轉速度就越大.因此用它來刻畫曲線的扭轉程度.再定義如下：定義曲線（C）在P點的撓率為（

23、當和異向時取+，當和同向時?。┮话銋?shù)條件下：，其撓率的表示式是2.2 三維歐氏空間中的常見曲線2.2.1 一般螺線切線和固定方向作固定角的曲線稱為一般螺線。曲率和撓率所表現(xiàn)出的一般螺線的特征是（其中為常數(shù)），即一條曲線成為一般螺線的充要條件是存在常數(shù)使得成立。等式成為一般螺線的特征等式。2.2.2 Bertrand曲線 若兩條曲線和的點之阿金建立這樣的一一對應，使得在對應點的主法線重合，則這兩條曲線和都稱為曲線，而每一條曲線稱為另一條的侶線曲率和撓率所表現(xiàn)出的曲線的特征是存在常數(shù)和非零常數(shù)使得等式成立，即一條曲線成為曲線的充要條件是存在常數(shù)和非零常數(shù)使得等式成立，等式稱為曲線的特征等式。當特

24、征等式中的時，這樣的曲線稱為曲線2.2.3 Mannheim曲線 若兩條曲線和的點之間建立這樣的一一對應，使得在對應點，的主法線與的副法線重合，則曲線稱為曲線，稱為對應曲線，曲率和撓率所表現(xiàn)出的曲線的特征是存在非零常數(shù)使得等式成立，等式稱為曲線的特征等式。2.3三維Minkowski空間2.3.1三維Minkowski空間的定義定理2.3.1.1 設是三維實向量空間，對R中的兩個向量，定義a和b的偽數(shù)量積（內積）為： 則稱（）是三維偽歐氏空間或三維Minkowski空間。簡記為R定理2.3.1.2 對R中的兩個向量，定義a和b的偽數(shù)量積（外積）為： 定理2.3.1.3 對R中的三個向量，定義三

25、個向量的混合積為： 若,則稱向量按此順序構成右手系。2.3.2三維Minkowski空間中的向量定理2.3.2.1 任取R中非零向量，則有：若，則稱為類空向量。若，則稱為類光向量。若，則稱為類時向量。定理2.3.2.2 向量的范數(shù)定義為。如果，則稱向量為單位向量，當是類空向量時，；當是類光向量時，；當是類時向量時，2.3.3三維Minkowski空間的標架由于Minkowski空間中向量的特殊性，所以在Minkowski空間中有兩種常用標架，正交標架和偽正交標架。定義2.3.3 取正交標架，取偽正交標架，第3章 三維Minkowski空間中的曲線理論三維Minkowski空間中的曲線是其重要的

26、組成部分，其中包括：曲率和撓率是常數(shù)的曲線，一般螺線，Mannheim曲線，Bertrand曲線等。本章我們介紹了此空間中曲線的概念和性質，并介紹這幾種曲線的概念和性質。3.1三維Minkowski空間中的曲線3.1.1三維Minkowski空間中曲線的基本概念定義3.1.1 設 ,是一條曲線，如果,都有，則稱是一條正規(guī)曲線。若對，都有、或，稱是一條類空曲線、類光曲線或類時曲線。3.1.2三維Minkowski空間中曲線的分類定義3.1.2.1： 設曲線是R中的一條參數(shù)曲線，若的切向量滿足：，則稱為類空的曲線。，則稱為類時的曲線。，則稱為類光的曲線。定義3.1.2.2： 設是R中的一條曲線，分

27、別是曲線的切向量、主法向量、副法向量。當為類空向量；為類空向量；為類時向量時，稱該曲線為第一類類空曲線。當為類空向量；為類時向量；為類空向量時，稱該曲線為第二類類空曲線。當為類時向量；為類空向量；為類空向量時，稱該曲線為類時曲線。3.1.3三維Minkowski空間中曲線的公垂線定義3.1.3.1 給定R中不在同一個平面的任意兩條曲線，與既相交又R-正交的直線成為的公垂線。引理3.1.3.1 R中不在同一個平面的任意兩條非類光的直線公垂線是存在的。3.1.4三維Minkowski空間中曲線的曲率和饒率我們以R中的弧長為參數(shù)的非類光的曲線為研究對象。定義3.1.3.1 設曲線是R中的一條曲線，則

28、定義在s處的曲率為：則定義的單位主法向量為： ，定義3.1.3.2 對曲線，點s處的副法向量為，主法向量為，存在一個實數(shù)，使得，則稱是曲線在點s處的撓率。在一般參數(shù)下為：3.1.5 三維Minkowski空間中曲線的Frenet公式當曲線為第一類類空曲線時：當曲線為第二類類空曲線時：當曲線為類時曲線時：3.2 曲率和撓率是常數(shù)的曲線3.2.1 曲率為常數(shù)的曲線定理3.2.1.1 中的曲線為直線的充要條件是定理3.2.1.1 如果是常向量，若中的類空曲線方程可表示為：，則恒為常數(shù)：特別地，若，則是類光向量，是和垂直的單位類空向量。 證明：由于曲線的向量函數(shù)，顯然。又因為是常向量。則。那么，當時，

29、所以是類光向量。因為: ，又因為: （3.1）對（3.1）兩邊與做內積得： （3.2）當時，有，將其帶入（3.2）得出，所以和相互垂直。，又是單位向量，所以當時，是單位類空向量。證畢3.2.2 曲率和撓率均為常數(shù)的曲線定理3.2.2 若曲線是第一類空曲線，曲線的曲率和撓率,（A,B都是常數(shù)），則有以下結論：當時，曲線方程為:(其中都是待定常數(shù))當時，曲線方程為:(其中都是待定常數(shù))當時，曲線方程為：，（其中是常向量）證明：由于此曲線為第一類類空曲線，那么此時的Frenet公式為：對第二個方程兩邊關于求微商得： （3.3）這是一個有關的二階微分方程，令，代入上式有： （3.4）下面，對三種情況下

30、的此微分方程的解進行討論。當時將第一個方程變形為：。它的特征方程為：特征方程的根是兩個不等實根：,。則此方程的通解為： ,其中都是常數(shù)。同理可得：，其中都是常數(shù)。則有：為保證是第一類類空曲線的單位主法向量，上式還須滿足條件： 可得：又因為： 整理可得：其中是常數(shù)，并且上式滿足將上式積分可得： (3.5)(其中都是待定常數(shù))這些常數(shù)滿足：，那么，當曲率和撓率都為常數(shù)，并且時，第一類類空曲線具有(3.5)的結構。得證 當時微分方程組的第一個方程的特征方程為：此特征方程的兩個共軛虛根為：,通解為：,其中都是常數(shù)同理可得：其中都是常數(shù)將方程（3.4）的解代入，得：又因為：那么有: ,即：將上式積分可得

31、： （3.6）其中都是待定常數(shù)，并且這些常數(shù)滿足：，所以曲率和撓率都為常數(shù)，并且時，第一類類空曲線具有(3.6)的結構。 得證 當時此情況下，將（3.3）變?yōu)椋簩ι鲜椒e分可得：，其中是常向量。再次積分可得：，其中是常向量。又因為：對上式積分可得：再次積分可得：所以當當時，第一類類空曲線方程為：，其中是常向量。綜上所述，定理得證。 3.3 一般螺線定義3.3.1 定義曲線為一正規(guī)空間曲線，其中，如果切向量與一常向量的數(shù)量積(A為常數(shù))，則稱為Minkowski一般螺線。命題3.3.1 是一條非光型曲線，那么下列命題等價： 曲線是Minkowski一般螺線。 主法線與固定方向垂直，即，其中是曲線的

32、單位主法向量，是一固定向量。 副法向量與常向量的維數(shù)量積等于常數(shù)，即(為常數(shù))，其中是曲線的單位副法向量。 (為常數(shù))證明：:由Minkowski一般螺線的定義，存在一常向量，使得（為常數(shù)）那么可得：那么有：可得：又因為：所以：:因為那么有(為常數(shù))，等價于，:由得，從而根據三維Minkowski空間中的Frenet公式，可得：那么有：所以: (為常數(shù)) 設那么有：由Frenet公式和，可得：，即是一常向量。那么：（為常數(shù)）3.4 Bertrand曲線3.4.1 Bertrand曲線的定義定義3.4.1 如果在三維Minkowski空間中有兩條曲線和建立了一種一一對應，使曲線的主法線和曲線的主

33、法線在對應點重合，那么就稱曲線和都是曲線，每一條都是另外一條的侶線。3.4.2 曲線為Bertrand曲線的充要條件定理3.4.2.1 中的第一類類空曲線或類時曲線為曲線的充要條件是該曲線是平面曲線，即撓率滿足條件：定理3.4.2.2 對中的曲線為曲線的充要條件是該曲線的曲率和撓率滿足條件：或，其中都是常數(shù)，且，定理3.4.2.3 對中的第二類類空曲線為曲線的充要條件是該曲線的曲率和撓率滿足條件：，其中且都是常數(shù)。下面,我們以定理3.4.2.1中第一類類空曲線為例,證明的曲線為曲線的充要條件.證明： 設有兩條第一類類空曲線，和曲線（1） 證明必要性由于的主法線與的主法線重合，所以可以設：，其中

34、是非零常數(shù)。上式兩邊關于s求微商有：由于兩條曲線在對應點，所以處在與和所處的平面上，所以可以令：，規(guī)定上式兩邊與自身作內積得：由于曲線與是第一類類空曲線，所以有：可以得出：，即，所有從而有：對兩邊與作內積得：由于是非零常數(shù)，所以只有，必要性得證。（2） 證明充分性對第一類類空曲線滿足條件：設曲線為：求微商得：進一步求微商得： 對以上兩式兩邊做外積,整理可得：即：再變形得：可得：對兩邊與做內積，得：所以得出：推出：那么，可得：且所以有：因此曲線與在對應點的主法線重合，它們都是曲線，命題得證。3.4.3 Bertrand曲線的性質性質1 Bertrand曲線對中，兩條曲線的對應點之間的距離為定值，

35、且切線之間成定角。性質2 具有常曲率的曲線是Bertrand曲線，此時Bertrand曲線的侶線的曲率中心軌跡，且Bertrand曲線的侶線的曲率，撓率。性質3 若已知和它的侶線的主法向量，則有：（1）的曲率與撓率滿足：，（2）和的曲率和撓率滿足:,（3）和的撓率滿足:, (其中為常數(shù))性質4 設兩條曲線之間的一一對應，使對應點的切線互相平行，且其中一條曲線的曲率與另一條曲線的撓率都為常數(shù)則按定比分割對應點的分點（內分或外分）的軌跡是一條Bertrand曲線性質5 除圓柱螺線以外的Bertrand曲線只有一條侶線，而圓柱螺線有無窮多條侶線。性質6 若已知Bertrand曲線和它的的侶線的主法向

36、量，則有： ， 其中為對應點之間的距離。3.5 Mannheim曲線3.5.1 Mannheim曲線的定義定義3.5.1 如果在三維Minkowski空間中有兩條曲線和建立了一種一一對應，使曲線的主法線和曲線的副法線在對應點重合，那么就稱為Mannheim曲線，稱曲線是的Mannheim侶線，叫做Mannheim曲線對。3.5.2 曲線為Mannheim曲線的充要條件定理3.5.2.1 對中的第一類類空曲線為Mannheim曲線的充要條件是該曲線的曲率和撓率滿足條件：，其中是一個非零的常數(shù)。定理3.5.2.2 第二類類空曲線為Mannheim曲線的充要條件是該曲線的曲率和撓率滿足條件：，其中是

37、一個非零的常數(shù)。定理3.5.2.3 若曲線是類時曲線（切向量是類時向量，是類空向量，而是類空向量），則這條類時曲線成為Mannheim曲線的充要條件是：，其中是一個非零的常數(shù)。3.5.3 Mannheim曲線的性質定理3.5.3.1 一條Mannheim曲線是第一類類空曲線，則其Mannheim侶線必不能為第一類類空曲線；若一條Mannheim曲線是第二類類空曲線，則其Mannheim侶線必為第一類類空曲線；若一條Mannheim曲線是類時曲線，則其Mannheim侶線必不能為第一類類空曲線。定理3.5.3.2 已知曲線是一條第一類類空曲線的Mannheim曲線，它的Mannheim侶線為是第

38、二類類空曲線，則Mannheim侶線的曲率和撓率滿足：，其中是一個非零常數(shù)定理3.5.3.3 已知曲線是一條Mannheim曲線，它的Mannheim侶線為是一條類時曲線，則Mannheim侶線的曲率和撓率滿足：，其中是一個非零常數(shù)定理3.5.3.4 已知曲線是一條Mannheim曲線，它的Mannheim侶線為是一條第一類類空曲線，則Mannheim侶線的曲率和撓率滿足：，其中是一個非零常數(shù)第4章 總結本文用微分幾何的方法討論了三維Minkowski空間中曲線的基本理論，并在此基礎上，進一步研究了幾種特殊曲線：曲率和撓率為常數(shù)的曲線，一般螺線，Bertrand曲線，Mannheim曲線。設計

39、結構如下：第一章，介紹了微分幾何的產生與發(fā)展，并對本文的研究內容和意義做了詳細的闡述。第二章，基礎理論給出了三維歐氏空間和三維Minkowski空間的基本概念和定理。第三章，給出了三維Minkowski空間中曲線的定義，曲率，撓率等基礎理論。并研究了以曲率和撓率為常數(shù)的曲線，一般螺線，Bertrand曲線，Mannheim曲線為例的幾種特殊曲線的性質。在三維Minkowski空間中，設 ,是一條曲線，如果,都有，則稱是一條正規(guī)曲線。并且對，當、或時，曲線分別有與之對應的名稱，稱是類空曲線、類光曲線或類時曲線。因此，在三維Minkowski空間曲線定義的基礎上，我們分別得到了曲線的曲率，撓率，和

40、Frenet公式。隨后我們研究了曲率和撓率為常數(shù)的曲線，即：當曲率為常數(shù)時，曲線為直線的充要條件為；當曲率和撓率均為常數(shù)時，根據和的平方值對比，分別得到與之對應的曲線方程結構。與三維歐氏空間相似，三維Minkowski空間也包含一般螺線，Bertrand曲線，Mannheim曲線等。我們得到了一般螺線的的定義，并論證了在曲線是一條非光型曲線時，延伸出的四個命題等價：（1）曲線是Minkowski一般螺線；（2）主法線與固定方向垂直，即，其中是曲線的單位主法向量，是一固定向量；（3）副法向量與常向量的維數(shù)量積等于常數(shù)，即(為常數(shù))，其中是曲線的單位副法向量；（4）(為常數(shù))。隨后，我們得到了Be

41、rtrand曲線的定義和性質，曲線為Bertrand曲線的充要條件,并以第一類類空曲線為例，證明了曲線為Bertrand曲線的充要條件。最后，我們得到了Mannheim曲線的定義，曲線為Mannheim曲線的充要條件。通過以上的研究，我們得到了三維Minkowski空間中的曲線理論，得到了預期的結果。并在此過程中對三維Minkowski空間有了更深一步的了解。但對于Minkowski空間整體而言，我們需要學習的知識還有很多，希望在今后不斷學習并提高。參考文獻1，梅向明、黃敬之編著.微分幾何（第三版）.高等教育出版社，2003.2，陳維桓編著.微分幾何（第二版）.北京大學出版社，2006. 3，

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