4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換

1、 通過上一章的學(xué)習(xí)我們知道，時(shí)域的周期信號(hào)可以由成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)來線性表示。時(shí)域的波形與頻域的頻譜是一一對應(yīng)的。從而lti系統(tǒng)對周期信號(hào)的響應(yīng)變得極其簡便。在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期信號(hào)，對非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解，如何建立是非周期信號(hào)的頻譜表示，就是這一章要解決的問題。 在時(shí)域可以看到，如果一個(gè)周期信號(hào)的周期趨于無窮，則周期信號(hào)將演變成一個(gè)非周期信號(hào)；反過來，任何非周期信號(hào)如果進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個(gè)周期信號(hào)。我們把非周期信號(hào)看成是周期信號(hào)在周期趨于無窮時(shí)的極限，從而考查連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)在t趨于無窮時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號(hào)的頻域表示方法.這正是我們開展

2、對非周期信號(hào)進(jìn)行頻域分析的基本出發(fā)點(diǎn)。第四章 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換4.1 非周期信號(hào)的表示非周期信號(hào)的表示連續(xù)時(shí)間傅里葉變換連續(xù)時(shí)間傅里葉變換一、從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換首先讓我們考察一下周期矩形脈沖信號(hào)，其時(shí)域與頻域波形如這里動(dòng)畫4-1所示 。當(dāng) 增大的時(shí)候，頻譜的幅度隨 的增大而下降；譜線間隔隨 增大而減小；而頻譜的包絡(luò)不變。當(dāng) 時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為非周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)。 當(dāng) 時(shí)， ， 由于 也隨 增大而減小并最終趨于0。 考查 的變化，它在 時(shí)應(yīng)該是有限的。 于是，我們推斷出：當(dāng) 時(shí)，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。 由 如果令 ，則有 與周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)相比較有： ；

3、這表明：周期信號(hào)的頻譜就是與它相對應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本。 根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)表示： 當(dāng) 時(shí) ， ， ， ， 于是有： 此式表明，非周期信號(hào)可以分解成無數(shù)多個(gè)頻率連續(xù)分布的振幅為 的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。 由于 具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱 為頻譜密度函數(shù)。 與 就構(gòu)成了一對傅里葉變換式。 二、從物理意義來討論ft 是一個(gè)密度函數(shù)的概念； 是一個(gè)連續(xù)譜； 包含了f(t)的所有頻率分量； 傅里葉變換一般為復(fù)數(shù)。 三、傅里葉變換的收斂 既然傅里葉變換的引出是從周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示，討論周期趨于無窮時(shí)的極限得來的，傅里葉變換的收斂問題就應(yīng)該和傅里葉級(jí)數(shù)的收斂相一致。也有相應(yīng)的兩組條件： 若 ，則

4、 存在 這表明所有能量有限的信號(hào)其傅里葉變換一定存在。 第二組條件即為滿足狄利赫里條件。 四、常用信號(hào)的傅里葉變換： 1、 ， 2、 ， 我們看到：實(shí)偶信號(hào)的傅里葉變換是實(shí)偶函數(shù)，此時(shí)可以用一幅圖表示信號(hào)的頻譜。對此例 3、這表明 中包括了所有的頻率成分，所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此單位沖激響應(yīng) 才能完全描述一個(gè)lti系統(tǒng)的特性， 才在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。 4、(具有此頻率特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器) 同時(shí)可以看到，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系，即信號(hào)在時(shí)域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。 6、若 ，則有 ， 因?yàn)椋?所以：五、信號(hào)的帶寬 信號(hào)的主要能量

5、集中于低頻分量, 傳輸信號(hào)的系統(tǒng)具有自己的頻率特性。工程中在傳輸信號(hào)時(shí)，也沒有必要一定要把信號(hào)的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號(hào)能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。因此，需要對信號(hào)定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法： 下降到最大值的 時(shí)對應(yīng)的頻率范圍，此時(shí)帶內(nèi)信號(hào)分量占有信號(hào)總能量的 。4.2 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換到此為止，周期信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)表示，非周期信號(hào)用傅里葉變換表示。在涉及周期信號(hào)通過lti系統(tǒng)時(shí)，會(huì)給分析帶來不便。由于周期信號(hào)不滿足dirichlet 條件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅里葉變換表示。 考查 所對應(yīng)的信號(hào) 這表明周期性復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻

6、譜是一個(gè)沖激。 若 ，則 于是，當(dāng)周期信號(hào)表示為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí) ，就有 這表明，周期信號(hào)的傅里葉變換由一系列沖激組成，每一個(gè)沖激分別位于信號(hào)各次諧波的頻率處，其強(qiáng)度正比于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 。 例：例、注意：周期信號(hào)不滿足絕對可積條件；引入沖激信號(hào)后，周期信號(hào)的傅立葉變換是存在的；周期信號(hào)的頻譜是離散的，其頻譜密度， 即傅立葉變換是一系列沖激。 4.3 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì) 討論連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)，旨在通過這些性質(zhì)揭示信號(hào)時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時(shí)掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)可以簡化傅里葉變換對的求取。1、線性: 若 則 2、時(shí)移:若 ：則 ：這表明：信號(hào)的時(shí)移只影響它的相頻特性,其相頻特性

7、會(huì)增加一個(gè)線性相移。3、共軛對稱性 若 則 由 所以 , 即 若 是實(shí)信號(hào),則 。于是有： 4. 時(shí)域微分與積分 若 則 (可將運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算) (時(shí)域積分特性)由時(shí)域積分特性從 也可得到： 5. 時(shí)域和頻域的尺度變換若 ，則 當(dāng) 時(shí)，有 尺度變換特性表明：信號(hào)如果在時(shí)域擴(kuò)展a倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮a倍，反之亦然。從理論上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號(hào)的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。 如動(dòng)畫所示。6. 對偶性 若 則 證明： 利用對偶性可以方便地將時(shí)域的某些特性對偶到頻域。 例如： 由 ，有對偶關(guān)系 利用時(shí)移特性有 再次對偶有 根據(jù) 得 ，這就是移頻特性頻域微分特性：由 ，得所以 該特

8、性也可由對偶性從時(shí)域微分特性得出:對 利用時(shí)域微分特性有 再次對偶得 由 ，有 及頻域微分特性 由時(shí)域積分特性,可對偶出頻域積分特性再次對偶 由 ，有頻域積分特性7. parseval定理若 ，則這表明：信號(hào)的能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。由于 表示了信號(hào)能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度”函數(shù)。4.4 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)一、 若 則 由于卷積特性的存在，使對lti系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積特性成立正是因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是lti系統(tǒng)的特征函數(shù)。由將 分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個(gè) 通過lti系統(tǒng)時(shí)都要受到系統(tǒng)頻響 的加權(quán)，其中 即是系統(tǒng)與 對應(yīng)的特征值，故有所以：由于 的傅氏變換 就是頻率為 的復(fù)指數(shù)信號(hào) 通過lti系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)對輸入信號(hào)在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。鑒于 與 是一一對應(yīng)的，因而lti系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的 都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時(shí)，一般都限于對穩(wěn)定系統(tǒng)。二、系統(tǒng)互聯(lián)時(shí)的頻率響應(yīng)： 級(jí)聯(lián)并聯(lián)三、lti系統(tǒng)的頻域分析法：根據(jù)卷積特性，可以對lti系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析，其過程為：1、 ；2、根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出 ；3、4、4.5 相乘性質(zhì)：（調(diào)制性質(zhì)）相乘性質(zhì)：（調(diào)制性質(zhì)） 若 則 利用對偶性可以從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)。兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成