2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第六節(jié)拋物線(xiàn)教師文檔教案文北師大版

1、第六節(jié)第六節(jié)拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 164 頁(yè)基礎(chǔ)梳理1拋物線(xiàn)的定義滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)：(1)在平面內(nèi)(2)與一個(gè)定點(diǎn) f 和一條定直線(xiàn) l 距離相等(3)l 不經(jīng)過(guò)點(diǎn) f.2拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)p 的幾何意義：焦點(diǎn) f 到準(zhǔn)線(xiàn) l 的距離圖形頂點(diǎn)o(0，0)對(duì)稱(chēng)軸y0(x 軸)x0(y 軸)焦點(diǎn)fp2，0fp2，0f0，p2f0，p2離心率e1準(zhǔn)線(xiàn)方程xp2xp2yp2yp2范圍x0，yr rx0，yr ry0，xr ry0，xr r焦半徑(其中p(x0，y0)|pf|x0

2、p2|pf|x0p2|pf|y0p2|pf|y0p2焦點(diǎn)弦性質(zhì)設(shè) ab 是過(guò)拋物線(xiàn) y22px(p0)焦點(diǎn) f 的弦，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)x1x2p24，y1y2p2.(2)弦長(zhǎng)|ab|x1x2p2psin2(為弦 ab 的傾斜角)(3)1|af|1|bf|2p.(4)以弦 ab 為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切(5)以 af 或 bf 為直徑的圓與 y 軸相切(6)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦，長(zhǎng)等于 2p.四基自測(cè)1(基礎(chǔ)點(diǎn)：拋物線(xiàn)定義)若拋物線(xiàn) y4x2上的一點(diǎn) m 到焦點(diǎn)的距離為 1，則點(diǎn) m 的縱坐標(biāo)是()a.1716b1516c.78d0答案：b2(基礎(chǔ)點(diǎn)：求拋物線(xiàn)

3、標(biāo)準(zhǔn)方程)以 x 軸為對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)上的一點(diǎn) p(1，m)到焦點(diǎn)的距離為 3，則其方程是()ay4x2by8x2cy24xd.y28x答案：d3(基礎(chǔ)點(diǎn)：拋物線(xiàn)的定義)拋物線(xiàn) y28x 上到其焦點(diǎn) f 距離為 5 的點(diǎn) p 有()a0 個(gè)b1 個(gè)c2 個(gè)d.4 個(gè)答案：c4(易錯(cuò)點(diǎn)：拋物線(xiàn)的性質(zhì))已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(2，4)，則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案：y28x 或 x2y授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 165 頁(yè)考點(diǎn)一拋物線(xiàn)的定義及應(yīng)用挖掘拋物線(xiàn)上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離/ 自主練透例(1)(2020河北三市聯(lián)考)過(guò)點(diǎn) p(2，0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn) c：y24

4、x 相交于 a、b 兩點(diǎn)，且|pa|12|ab|，則點(diǎn) a 到拋物線(xiàn) c 的焦點(diǎn)的距離為()a.53b75c.97d.2解析設(shè) a(x1，y1)、b(x2，y2)，分別過(guò)點(diǎn) a、b 作直線(xiàn) x2 的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn) d、e(圖略)|pa|12|ab|，3（x12）x223y1y2，又y214x1y224x2，得 x123，則點(diǎn) a 到拋物線(xiàn) c 的焦點(diǎn)的距離為 12353.答案a(2)已知 p 為拋物線(xiàn) y24x 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，q 為圓 x2(y4)21 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn) p 到點(diǎn) q的距離與點(diǎn) p 到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)距離之和的最小值是()a2 51b2 52c. 171d. 172解析由題意得

5、圓 x2(y4)21 的圓心 a(0，4)，半徑 r1，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) f(1，0)由拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得：點(diǎn) p 到點(diǎn) q 的距離與點(diǎn) p 到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)距離之和的最小值是|af|r 1161 171.選 c.答案c(3)過(guò)拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 a，b 兩點(diǎn)，若|ab|10，則 ab 的中點(diǎn)到 y 軸的距離等于()a1b2c3d.4解析ab 的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為|ab|25，所以 ab 的中點(diǎn)到 y 軸的距離為 514.答案d破題技法利用拋物線(xiàn)的定義可解決的常見(jiàn)問(wèn)題(1)軌跡問(wèn)題：用拋物線(xiàn)的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線(xiàn)距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線(xiàn)(2)距離問(wèn)題：涉及拋

6、物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線(xiàn)的距離問(wèn)題時(shí)，可以利用定義進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化考點(diǎn)二拋物線(xiàn)的方程及性質(zhì)挖掘拋物線(xiàn)方程與性質(zhì)的關(guān)系/ 自主練透例(1)(2019高考全國(guó)卷)若拋物線(xiàn) y22px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓x23py2p1 的一個(gè)焦點(diǎn)， 則 p()a2b3c4d.8解析拋物線(xiàn) y22px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2，0，橢圓x23py2p1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 2p，0)由題意得p2 2p，解得 p0(舍去)或 p8.故選 d.答案d(2)已知拋物線(xiàn) c：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線(xiàn)為 l，點(diǎn) m，n 分別在拋物線(xiàn) c 上，且mf3nf0，直線(xiàn) mn 交 l 于點(diǎn) p，nnl，垂足為 n.若mnp

7、的面積為 24 3，則 f 到 l 的距離為()a4b6c8d12解析作出圖形如圖，作 mml，垂足為 m，設(shè)|nf|m(m0)，則|nn|m.由mf3nf0，得|mf|3m，則|mm|3m，過(guò)點(diǎn) n 作 ngmm，垂足為 g，則|mg|m，|mg|2m，所以nmg60，所以|mp|6m，|np|2m，|np| 3m，smnp12|mm|np|123m 3m24 3，所以 m4.易知 f 為線(xiàn)段 mp 的中點(diǎn)，所以 f 到 l 的距離為 p3m26.答案b(3)(2020江西萍鄉(xiāng)一模)已知拋物線(xiàn) c：y22 px(p0)的焦點(diǎn)為 f，準(zhǔn)線(xiàn) l：x1，點(diǎn) m 在拋物線(xiàn) c 上，點(diǎn) m 在直線(xiàn) l

8、：x1 上的射影為 a，且直線(xiàn) af 的斜率為 3，則maf 的面積為()a. 3b2 3c4 3d.8 3解析如圖所示，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn) l 與 x 軸交于點(diǎn) n.則|fn|2.直線(xiàn) af 的斜率為 3，afn60.maf60，|af|4.由拋物線(xiàn)的定義可得|ma|mf|，amf 是邊長(zhǎng)為 4 的等邊三角形samf34424 3.故選 c.答案c破題技法1.求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及注意點(diǎn)(1)方法求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法是定義法和待定系數(shù)法若題目已給出拋物線(xiàn)的方程(含有未知數(shù) p)，那么只需求出 p 即可；若題目未給出拋物線(xiàn)的方程，對(duì)于焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一設(shè)為 y2ax(a0)

9、，a 的正負(fù)由題設(shè)來(lái)定；焦點(diǎn)在 y 軸上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為 x2ay(a0)，這樣就減少了不必要的討論(2)注意點(diǎn)當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線(xiàn)方程屬于四種類(lèi)型中的哪一種；要掌握拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；要注意參數(shù) p 的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用它的幾何意義來(lái)解決問(wèn)題2拋物線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線(xiàn)方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線(xiàn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算考點(diǎn)三直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題挖掘 1直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題/ 自主練透例 1(2018高考全國(guó)卷)設(shè)拋物線(xiàn) c：y24x 的焦點(diǎn)為 f，

10、過(guò)點(diǎn)(2，0)且斜率為23的直線(xiàn)與 c 交于 m，n 兩點(diǎn)，則fmfn()a5b6c7d.8解析由題意知直線(xiàn) mn 的方程為 y23(x2)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，得y23（x2） ，y24x，解得x1，y2或x4，y4.不妨設(shè) m 為(1，2)，n 為(4，4)又拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為 f(1，0)，fm(0，2)，fn(3，4)，fmfn03248.故選 d.答案d破題技法直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)問(wèn)題的解題思路(1)求交點(diǎn)問(wèn)題，通常解直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程組成的方程組(2)與交點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決挖掘 2拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦問(wèn)題/ 互動(dòng)探究例 2(1)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn) c 的焦點(diǎn) f 作直線(xiàn)

11、 l 與拋物線(xiàn) c 交于 a、b 兩點(diǎn)，如果 a、b 在拋物線(xiàn)c 的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為 a1、b1，那么a1fb1等于()a.6b4c.2d.23解析由拋物線(xiàn)定義可知|bf|bb1|，|af|aa1|，故bfb1bb1f，afa1aa1f.又ofb1bb1f，ofa1aa1f，故bfb1ofb1，afa1ofa1，所以ofa1ofb1122，即a1fb12.答案c(2)(2018高考全國(guó)卷)設(shè)拋物線(xiàn) c：y24x 的焦點(diǎn)為 f，過(guò) f 且斜率為 k(k0)的直線(xiàn) l 與 c交于 a，b 兩點(diǎn)，|ab|8.求 l 的方程；求過(guò)點(diǎn) a，b 且與 c 的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程解析由題意得 f(1，0)，

12、l 的方程為 yk(x1)(k0)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，由yk（x1） ，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|ab|af|bf|(x11)(x21)4k24k2.由題設(shè)知4k24k28，解得 k1(舍去)或 k1.因此 l 的方程為 yx1.由得 ab 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以 ab 的垂直平分線(xiàn)方程為 y2(x3)，即 yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216，解得x03，y02或x011，y06.因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6

13、)2144.破題技法解決拋物線(xiàn)的弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題的常用方法(1)有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式(2)涉及拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)、 中點(diǎn)、 距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)， 一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解挖掘 3拋物線(xiàn)與其他曲線(xiàn)的綜合/ 互動(dòng)探究例 3(2019高考全國(guó)卷)已知點(diǎn) a，b 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) o 對(duì)稱(chēng)，|ab|4，m 過(guò)點(diǎn) a，b 且與直線(xiàn) x20 相切(1)若 a 在直線(xiàn) xy0 上，求m 的半徑；(2)是否存在定點(diǎn) p，使得當(dāng) a 運(yùn)動(dòng)時(shí)，|ma|mp|為定值？并說(shuō)明理由解析(1)因?yàn)閙 過(guò)點(diǎn) a，b，所以圓心 m 在 ab 的垂直平分線(xiàn)上由已知 a 在直線(xiàn) xy0 上，且 a，b 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) o 對(duì)稱(chēng)，所以 m 在直線(xiàn) yx 上，故可設(shè) m(a，a)因?yàn)閙 與直線(xiàn) x20 相切，所以m 的半徑為 r|a2|.由已知得|ao|2.又 moao，故可得 2a24(a2)2，解得