2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析10.8.3圓錐曲線的范圍問題文含解析北師大版

1、圓錐曲線的范圍問題核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一幾何法求范圍1.已知直線l1:mx-y+m=0與直線l2:x+my-1=0的交點(diǎn)為q,橢圓x24+y2=1的焦點(diǎn)為f1,f2,則|qf1|+|qf2|的取值范圍是()a.2,+)b.23,+)c.2,4d.23,42.已知橢圓e:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)為 f,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為m,直線l:3x-4y=0交橢圓e于 a,b兩點(diǎn).若|af|+|bf|=4,點(diǎn)m到直線l的距離不小于45,則橢圓e的離心率的取值范圍是() a. 0,32b.0,34c. 32,1d.34,13.過雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線,

2、與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn),則此雙曲線離心率的取值范圍為_.【解析】1.選d.橢圓x24+y2=1的焦點(diǎn)為:f1(-3,0),f2(3,0),由l1與l2方程可知l1l2,直線l1:mx-y+m=0與直線l2:x+my-1=0的交點(diǎn)為q,且兩條直線分別經(jīng)過定點(diǎn)(-1,0),(1,0),所以它們的交點(diǎn)q滿足:x2+y2=1(x-1),當(dāng)q與(1,0)重合時(shí),|qf1|+|qf2|取最小值為|f1f2|=23,當(dāng)q與短軸端點(diǎn)重合時(shí),|qf1|+|qf2|取最大值為2a=4,所以|qf1|+|qf2|的取值范圍是23,4.2.選a.不妨設(shè)m(0,b),點(diǎn)m到直線l的距離d=|-4b|32+42=4b5

3、45,即b1,所以e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a21-14=34,所以0e32,即e的取值范圍是0,32.【一題多解】選a.記橢圓的左焦點(diǎn)為f1,m為上頂點(diǎn),連接af1,bf1,過m作l的垂線,垂足為n,由已知4a=|af1|+|bf1|+|af|+|bf|=4+4=8,所以a=2,直線l的斜率k=tanaof=34,所以cos aof=45 ,又omn=aof,所以cosomn=|mn|om|=|mn|b=45,|mn|=45b45,所以b1,e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a21-14=34,所以00,b0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線,與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn),可得ba2

4、.所以e=ca=a2+b2a21,所以1eb0),左右焦點(diǎn)分別為f1,f2,r為短軸的一個(gè)端點(diǎn),且rf1f2的面積為3.設(shè)過原點(diǎn)的直線l與橢圓c交于a,b兩點(diǎn),p為橢圓c上異于a,b的一點(diǎn),且直線pa,pb的斜率都存在,kpakpb=-34.(1)求a,b的值.(2)設(shè)q為橢圓c上位于x軸上方的一點(diǎn),且qf1x軸,m,n為橢圓c上不同于q的兩點(diǎn),且mqf1=nqf1,設(shè)直線mn與y軸交于點(diǎn)d(0,d),求d的取值范圍.【解題導(dǎo)思】序號題目拆解(1)求參數(shù)a,b點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化kpakpb=-34,結(jié)合rf1f2的面積列出方程組求解(2)設(shè)直線qm的方程將兩角相等轉(zhuǎn)化為兩直線qm,qn斜率之間的關(guān)系求

5、直線mn的斜率將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,分別求出m、n點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線mn的斜率.求d所滿足的不等式將直線mn的方程與橢圓方程聯(lián)立,由位置關(guān)系列出不等關(guān)系解不等式求范圍解所得不等式即可求得d的取值范圍【解析】(1)設(shè)a(x1,y1),p(x2,y2),則b(-x1,-y1),進(jìn)一步得,x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,兩個(gè)等式相減得,x12-x22a2+y12-y22b2=0,所以y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-b2a2,所以kpakpb=-b2a2,因?yàn)閗pakpb=-34,所以-b2a2=-34,即ba=32,設(shè)b=3t,a=2t(t0)

6、,因?yàn)閍2=b2+c2,所以c=t,由rf1f2的面積為3得,2cb2=3,即bc=3,即3t2=3,t=1,所以a=2,b=3.(2)設(shè)直線qm的斜率為k,因?yàn)閙qf1=nqf1,所以qm,qn關(guān)于直線qf1對稱,所以直線qn的斜率為-k,算得f1(-1,0),q-1,32,所以直線qm的方程是y-32=k(x+1),設(shè)m(x3,y3),n(x4,y4)由y-32=k(x+1),x24+y23=1 消去y得,(3+4k2)x2+(12+8k)kx+(4k2+12k-3)=0,所以-1x3=4k2+12k-33+4k2,所以x3=-4k2-12k+33+4k2,將上式中的k換成-k得,x4=-

7、4k2+12k+33+4k2,所以kmn=y3-y4x3-x4=k(x3+x4)+2x3-x4 =k-8k2+63+4k2+2-24k3+4k2=-12,所以直線mn的方程是y=-12x+d,代入橢圓方程x24+y23=1得,x2-dx+d2-3=0,所以=(-d)2-4(d2-3)0,所以-2d-12(-1)+d,所以-2db0)的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),若ef與圓x2+y2=43相切于點(diǎn)t,且點(diǎn)t是線段ef靠近點(diǎn)e的三等分點(diǎn).(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線l:y=kx+m與橢圓c只有一個(gè)公共點(diǎn)p,且點(diǎn)p在第二象限,過坐標(biāo)原點(diǎn)o且與l垂直的直線l與圓x2+y2=8相交于a,b兩點(diǎn),求pab面積

8、的取值范圍.【解題導(dǎo)思】序號題目拆解(1)求參數(shù)a,b根據(jù)已知分別求出a,b的值.(2)建立k,m的關(guān)系式直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用方程只有一解即可建立兩者的關(guān)系式求p到直線l的距離求p點(diǎn)坐標(biāo),代入距離公式求解表示pab面積利用三角形面積公式建立目標(biāo)函數(shù)求取值范圍根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,利用基本不等式求解最值,從而確定其取值范圍【解析】(1) ot2=ettf=13a23a=43,a2=6,b2=oe2=ot2+et2=2,橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1.(2)由y=kx+mx26+y22=1得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2-6=0,因?yàn)橹本€l:y=kx+m與橢圓c相切于點(diǎn)p,

9、 所以=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-6)=12(6k2+2-m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=-3km3k2+1,y=m3k2+1,即點(diǎn)p的坐標(biāo)為-3km3k2+1,m3k2+1,因?yàn)辄c(diǎn)p在第二象限,所以k0,m0,所以m=6k2+2,所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為-32k3k2+1,23k2+1,設(shè)直線l與l垂直交于點(diǎn)q,則|pq|是點(diǎn)p到直線l的距離,設(shè)直線l的方程為y=-1kx,則|pq|=1k-32k3k2+1+23k2+11k2+1=22k3k4+4k2+1=223k2+4+1k2,所以spab=1242|pq|=83k2+4+1k284+23=83+1=43-4,當(dāng)且僅當(dāng)3k2

10、=1k2,即k2=33時(shí),取得最大值43-4,所以pab面積的取值范圍為(0,43-4.1.已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距為23,且c與y軸交于a(0,-1),b(0,1)兩點(diǎn).(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)p點(diǎn)是橢圓c上的一個(gè)動點(diǎn)且在y軸的右側(cè),直線pa,pb與直線x=3交于m,n兩點(diǎn).若以mn為直徑的圓與x軸交于e,f兩點(diǎn),求p點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【解析】(1)由題意可得,b=1,c=3,所以a=2, 橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.(2)方法一:設(shè)p(x0,y0)(00,又00),與橢圓x2+4y2=4聯(lián)立得:(1+4k12)x2-8k1x=0,xp=8k11

11、+4k12,同理設(shè)直線bp的方程為y=k2x+1,可得xp=-8k21+4k22,由8k11+4k12=-8k21+4k22,可得4k1k2=-1,所以m(3,3k1-1),n(3,3k2+1),mn的中點(diǎn)為3,3(k1+k2)2,所以以mn為直徑的圓為(x-3)2+y-3(k1+k2)22=3(k1-k2)-222.當(dāng)y=0時(shí),(x-3)2+3(k1+k2)22=3(k1-k2)-222,所以(x-3)2=(6k1-2)(-6k2-2)4,因?yàn)閙n為直徑的圓與x軸交于e,f兩點(diǎn),所以(6k1-2)(-6k2-2)40,代入4k1k2=-1得:(3k1-1)(4k1-3)4k10,所以13k1

12、0,整理得m24k2+3.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=-8mk3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.設(shè)點(diǎn)e的坐標(biāo)為(x0,y0),則x0=-4mk3+4k2,所以y0=kx0+m=-4mk23+4k2+m=3m3+4k2,所以點(diǎn)e的坐標(biāo)為-4mk3+4k2,3m3+4k2.所以直線l2的斜率為k=3m3+4k2-4mk3+4k2-18=24m-32mk-3-4k2.又直線l1和直線l2垂直,則24m-32mk-3-4k2k=-1,所以m=-3+4k28k.將m=-3+4k28k代入式,可得3+4k28k2510或kb0)的離心率為32,短軸長為2.(1)求橢圓c

13、的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓c交于m,n兩點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),若komkon=54,求原點(diǎn)o到直線l的距離的取值范圍.【解析】(1)由題知e=ca=32,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.(2)設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),聯(lián)立方程y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,依題意,=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,化簡得m24k2+1,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1

14、+x2)+m2.若komkon=54,則y1y2x1x2=54,即4y1y2=5x1x2,所以(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0,所以(4k2-5)4(m2-1)4k2+1+4km-8km4k2+1+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化簡得m2+k2=54,由得0m265,120k254.因?yàn)樵c(diǎn)o到直線l的距離d=|m|1+k2,所以d2=m21+k2=54-k21+k2=-1+94(1+k2),又120k254,所以0d2b0的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,p為橢圓c上一點(diǎn),且pf2垂直于x軸,連接pf1并延長交橢圓于另一點(diǎn)q

15、,設(shè)pq=f1q.(1)若點(diǎn)p的坐標(biāo)為2,3,求橢圓c的方程及的值.(2)若45,求橢圓c的離心率的取值范圍.【解題指南】(1)把p的坐標(biāo)代入方程得到4a2+9b2=1,結(jié)合a2-b2=4解出a,b后可得標(biāo)準(zhǔn)方程.求出直線pf1的方程,聯(lián)立橢圓方程和直線方程后可求q的坐標(biāo),故可得的值.(2)因?yàn)閜c,b2a,故可用a,b,c,表示q的坐標(biāo),利用它在橢圓上可得與a,b,c的關(guān)系,化簡后可得與離心率e的關(guān)系,由的范圍可得e的范圍.【解析】(1)因?yàn)閜f2垂直于x軸,且點(diǎn)p的坐標(biāo)為2,3,所以a2-b2=c2=4,4a2+9b2=1,解得a2=16,b2=12,所以橢圓c的方程為x216+y212=1.所以f1-2,0,直線pf1的方程為y=34x+2,將y=34x+2代入橢圓c的方程,解得xq=-267,所以=pqf1q=xp-xqxf1-xq=2+267-2+267=103.(2)因?yàn)閜f2x軸,不妨設(shè)p在x軸上方,pc,y0,y00,設(shè)q