2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)與解三角形第5節(jié)函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版

1、第五節(jié)函數(shù)yasin(x)的圖象及應(yīng)用一、教材概念結(jié)論性質(zhì)重現(xiàn)1函數(shù)yasin(x)的有關(guān)概念yasin(x)(a0，0)振幅周期頻率相位初相atf x2.用“五點法”畫函數(shù)yasin(x)一個周期內(nèi)的簡圖用“五點法”畫函數(shù)yasin(x)(a0，0)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示：x02xyasin(x)0a0a0用“五點法”作圖時，相鄰兩個關(guān)鍵點的橫坐標(biāo)之間的距離都是周期的.3由函數(shù)ysin x的圖象通過變換得到y(tǒng)asin(x)(a0，0)的圖象的兩種方法先平移變換(左右平移)再周期變換(伸縮變換)，左右平移的量是|個單位長度，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換(左右平移)

2、，左右平移的量是個單位長度4明確以下兩個關(guān)系(1)函數(shù)的周期與圖象的對稱性之間的關(guān)系正弦曲線或余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是周期(2)對稱軸(對稱中心)與函數(shù)值的關(guān)系在判斷對稱軸或?qū)ΨQ中心時，用以下結(jié)論可快速解題：設(shè)yf (x)asin(x)，g(x)acos(x)，xx0是對稱軸方程f (x0)a，g(x0)a；(x0,0)是對稱中心f (x0)0，g(x0)0.二、基本技能思想活動體驗1判斷下列說法的正誤，對的打“”，錯的打“”(1)將ysin 2x的圖象向右平移個單位長度，得到y(tǒng)sin的圖象(

3、)(2)函數(shù)f (x)asin(x)(a0)的最大值為a，最小值為a()(3)若函數(shù)yasin(x)為偶函數(shù)，則k(kz)()(4)函數(shù)yacos(x)的最小正周期為t，那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為.()2已知函數(shù)f (x)2sin的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該函數(shù)的最小正周期t和初相分別為()a6，b6，c6，d6，a解析：由已知得2sin 1，所以sin .又|，故.因此f (x)2sin，且t6.3為了得到y(tǒng)3cos的圖象，只要把y3cos的圖象上所有點的()a縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變b橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變c縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變d橫坐標(biāo)縮短到

4、原來的，縱坐標(biāo)不變d解析：y3cos圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)3cos的圖象4函數(shù)yasin(x)(a，為常數(shù)，a0，0)在閉區(qū)間，0上的圖象如圖所示，則_.3解析：觀察函數(shù)圖象可得周期t，故t，所以3.考點1由圖象確定yasin(x)的解析式基礎(chǔ)性1函數(shù)yasin(x)b在一個周期內(nèi)的圖象如圖，則函數(shù)的解析式為()ay2sin1 by2sin1cy2sin1 dy2sin1d解析：結(jié)合函數(shù)yasin(x)b在一個周期內(nèi)的圖象，可得a2，b1，所以2.再根據(jù)五點法作圖可得20，解得，故函數(shù)的解析式為y2sin1.故選d2已知函數(shù)f (x)atan(x)，yf (x

5、)的部分圖象如圖，則f ()a2b cd2b解析：由圖象可知，t2，所以2，所以f (x)atan(2x)因為函數(shù)過點，所以0atan.又|，所以.又f (0)1，所以atan 1，解得a1，所以f (x)tan，所以f tantan .3函數(shù)f (x)cos(x)的部分圖象如圖所示，則f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()a，kz b，kzc，kz d，kzd解析：由圖象知，周期t22，所以2，所以.由2k，得2k，kz.不妨取，所以f (x)cos.由2kx2k，kz，得2kx2k，kz，所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kz.故選d由圖象確定函數(shù)yasin(x)b(a0，0)的解析式的步驟(1)求

6、a，b，確定函數(shù)的最大值m和最小值m，則a，b.(2)求，確定函數(shù)的周期t，則.(3)求，常用方法有：代入法：把圖象上的一個已知點的坐標(biāo)代入(此時要注意該點在遞增區(qū)間上還是在遞減區(qū)間上)或把圖象的最高點(最低點)的坐標(biāo)代入五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口考點2函數(shù)yasin(x)的圖象變換綜合性將函數(shù)f (x)2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為()ay2sinby2sincy2sindy2sind解析：由函數(shù)f (x)2sin得周期t.將函數(shù)f (x)2sin的圖象向右平移個周期，即為函數(shù)f (x)的圖象向右平移個單位長度，得yf 2sin2s

7、in.本例條件不變，將函數(shù)f (x)的圖象平移后所得圖象再向右平移(0)個單位長度，可得函數(shù)g(x)的圖象若yg(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值為_解析：由y2sin得g(x)2sin.又yg(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則2k，kz，所以.又0，所以k，即當(dāng)k1時，min.三角函數(shù)圖象平移變換問題的關(guān)鍵及解題策略(1)確定函數(shù)ysin x經(jīng)過平移變換后圖象對應(yīng)的解析式，關(guān)鍵是明確左右平移的方向，即按“左加右減”的原則進行(2)已知兩個函數(shù)解析式判斷其圖象間的平移關(guān)系時，首先要將解析式化為同名三角函數(shù)形式，然后再確定平移方向和單位1(2020威海一模)已知函數(shù)f (x)sin(x)(0，|)的

8、最小正周期為，且其圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，則()abcdd解析：因為f (x)sin(x)的最小正周期為，所以，2.將f (x)的圖象向右平移個單位長度，得到g(x)sinsincos 2x的圖象，所以2k，kz，即2k，kz.因為0)若該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只有3個時刻水深為3米，則該港口該天水最深的時刻不可能為()a16時b17時c18時d19時d解析：由題意知，x0時，y0.5sin 3.243.49.由五點法作圖知，如果當(dāng)x16時，函數(shù)取得最小值，則16，得，此時函數(shù)y0.5sin3.24，函數(shù)的周期為t14.該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只

9、有3個時刻水深為3米如果當(dāng)x19時，函數(shù)取得最小值，則19，得.此時函數(shù)y0.5sin3.24，函數(shù)的周期為t，x24時，y0.5sin3.243，如圖：該港口在該天0時至24時內(nèi)，有且只有2個時刻的水深為3米故選d三角函數(shù)模型在實際應(yīng)用中的兩種類型及其解題策略(1)已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系(2)把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是建模1據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7 000元的基礎(chǔ)上，按月呈f (x)asin(x)b的模型波動(x為月份)已知3月份達(dá)到

10、最高價9 000元，9月份價格最低為5 000元，則7月份的出廠價格為_元6 000解析：作出函數(shù)簡圖由題意知，a2 000，b7 000，t2(93)12，所以.將(3,9 000)看成函數(shù)圖象的第二個特殊點，則有3，所以0，故f (x)2 000sin x7 000(1x12，xn*)所以f (7)2 000sin 7 0006 000.故7月份的出廠價格為6 000元2某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)yaacos(x1,2,3，12)來表示已知6月份的平均氣溫最高，為28 ，12月份的平均氣溫最低，為18 ，則10月份的平均氣溫為_.205解析：依題意知，a2

11、3，a5，所以y235cos.當(dāng)x10時，y235cos20.5.3(2021海淀高三期中)唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)如圖，某槳輪船的輪子的半徑為3 m，它以1 rad/s的角速度逆時針旋轉(zhuǎn)輪子外邊沿有一點p，點p到船底的距離是h(單位：m)，輪子旋轉(zhuǎn)時間為t(單位：s)當(dāng)t0時，點p在輪子的最高點處. (1)當(dāng)點p第一次入水時，t_；(2)當(dāng)tt0時，函數(shù)h(t)的瞬時變化率取得最大值，則t0的最小值是_解析：(1)當(dāng)t0時，點p在輪子最高點處由圖可知，輪子距離船底1 m，半徑3 m，則hrcos t1r3cos t4，t0.當(dāng)點p第一次入水時

12、，水面高2.5 m，即h2.5.代入h3cos t4得，cos t.第一次入水，即在滿足cos t的情況下滿足條件t0后可取的最小值，t.(2)瞬時變化率取得最大值，即|h(t)|最大，h(t)3sin t當(dāng)3sin t3時，瞬時變化率取得最大值此時，t0的最小值為.考點4三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題綜合性已知函數(shù)f (x)2sin(x)的部分圖象如圖所示若f (0)，且8，b，c分別為最高點與最低點(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若將f (x)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解：(1)由f (0)，得2sin ，即sin .

13、又因為|0)向左平移個單位長度得到函數(shù)f (x)，已知f (x)在0,2上有且只有5個零點，則下列結(jié)論正確的是()af (x)的圖象關(guān)于直線x對稱bf (x)在(0,2)上只有3個極大值點，f (x)在(0,2)上只有2個極小值點cf (x)在(0,2)上單調(diào)遞增d的取值范圍是d解析：函數(shù)g(x)sin x(0)向左平移個單位長度得到函數(shù)f (x)sin的圖象已知f (x)在0,2上有且只有5個零點，當(dāng)x0,2時，x，所以25，6)，所以，故d正確因此只有滿足x，的x是f (x)在(0,2)上的極大值點，共3個；只有滿足x，的x是f (x)在(0,2)上的極小值點，但當(dāng)接近時，x0)個單位長度

14、后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是()a b c d四字程序讀想算思求m的最小值1.解析式如何變形？2.平移變換的規(guī)則是什么？3.圖象關(guān)于y軸對稱說明了什么？1.三角恒等變換；2.圖象的對稱軸方程轉(zhuǎn)化與化歸向左平移，圖象關(guān)于y軸對稱1.輔助角公式；2.左加右減；3.在x0處取得最值y2sin或y2cos1.平移變換前后，解析式之間的關(guān)系；2.正弦(或余弦)型函數(shù)圖象的對稱性思路參考：構(gòu)造正弦型函數(shù)的解析式b解析：ycos xsin x2sin，函數(shù)的圖象向左平移m(m0)個單位長度，得y2sin.由xmk(kz)，得函數(shù)y2sin的圖象的對稱軸為xmk(kz)因為所得的圖象關(guān)于y軸對

15、稱，所以mk0(kz)，即mk(kz)，則m的最小值為.思路參考：構(gòu)造余弦型函數(shù)的解析式b解析：ycos xsin x2cos，向左平移m(m0)個單位長度得到y(tǒng)2cos.因為此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，所以y2cos為偶函數(shù)，易知m的最小值為.思路參考：根據(jù)圖象對稱軸與函數(shù)最值的關(guān)系b解析：由解法1，得y2sin.因為所得的圖象關(guān)于y軸對稱，可得f (0)2，進而sin1，易知m的最小值為.思路參考：利用函數(shù)圖象b解析：ycos xsin x2sin，可得此函數(shù)圖象的對稱軸為xk(kz)，可知離y軸最近的對稱軸為x和x.由圖象向左平移m(m0)個單位長度后關(guān)于y軸對稱，易知m的最小值為.1本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本解題方法是依據(jù)在對稱軸處函數(shù)值或函數(shù)的奇偶性列方程或利用圖象重在對基礎(chǔ)知識的考查，淡化特殊技巧，強調(diào)通解通法2基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要提升運算求解能力、邏輯推理能力，體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)3