理解教材感悟數(shù)學

1、理解教材 感悟數(shù)學 宋朝著名理學家朱熹說：“觀書，先須熟讀，使其言皆出自于吾之口；繼而精思，使其意出于吾之心；然后有所得耳?！惫P者仔細品味這段話，認為作為一名數(shù)學教師，要想理解教材，首先要熟讀教材，先“入”教材，然后領(lǐng)悟教材，再“出”教材，只有教師真正理解了教材內(nèi)容的編寫意圖及數(shù)學本質(zhì)，才能做到深入淺出地教學，將教材教“透”，將數(shù)學教“活”，為此要求教師在教學時決不能停留在教材的形式化的表面處理上，而是要返璞歸真，深入鉆研教材，理解教材，力求把數(shù)學的形式化邏輯鏈條恢復為當初數(shù)學家發(fā)明創(chuàng)新時的火熱思考，將數(shù)學知識的教育學形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于理解的教育形態(tài)，進而讓學生學到真正的數(shù)學，感受到數(shù)學的真諦

2、。一、感悟“本源” 由于數(shù)學知識大都是人類在長期的社會實踐中發(fā)展而來的，故其中的數(shù)學概念、思想方法的起源與創(chuàng)立都是自然的。如果你感到某個概念生硬不自然，是強加于人的，那么只要細想一下它的背景、它的形成過程，就會發(fā)現(xiàn)它實際上上渾然天成的產(chǎn)物，它不僅合情合理，而且很有人情味，因此數(shù)學內(nèi)在的自然和諧是實現(xiàn)自然的教學過程的源泉，對此我們教師必須有一個清醒的認識，當然，不少數(shù)學概念產(chǎn)生的背景可以在數(shù)學史中查到，而有些根本查不到，此時，教師不能以此為借口，避開不講，而應(yīng)該開動自己的腦筋進行思考一番，找出產(chǎn)生的必要性和合理性，甚至就連教材中一些數(shù)學概念的叫法也就不一般，也值得考究，說不定能悟出數(shù)學的本質(zhì)所在

3、。 例如，在復數(shù)教學中，關(guān)于命題“若、，且，則”是否正確？在教學中發(fā)現(xiàn)，學生往往認為是正確的，因為根據(jù)不等式的性質(zhì)即知，然而這一命題卻是錯誤的，對此學生不解，只好等待教師課堂上解釋了，可不少教師卻以“虛數(shù)不提大小，故兩個復數(shù)不能比較大小”為由，說明其不正確，對此學生依然提出質(zhì)疑，因為像與這樣的復數(shù)不能比較大小，可以理解，而此命題是特殊情況，不等式兩邊同時加上一個數(shù)，不等式仍然成立，怎么不對呢？對此，不少教師也是沒有認識透徹，故也解釋不清，就擱置起來，最后也就不了了之，令學生糾結(jié)不已，這樣教師專業(yè)發(fā)展就無從談起。 但是如果筆者進行了一番思考，則就能發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。筆者認為不等式兩邊同時加上一個正

4、數(shù)（或負數(shù)），原不等式的兩邊都相應(yīng)地增加了（或減少了）同一個數(shù)，不等式顯然成立，而虛數(shù)單位既不是正數(shù)也不是負數(shù)（注：這一點首先向?qū)W生講清楚），故此時雖有，則實數(shù)加上之后得到的數(shù)并不能說明比大，還是比小，同理故也是如此，因而也無法比較與的大小，因而是錯誤的。不過筆者講到此，仍然不少學生呼聲不斷，他們提出利用“作差比較法”可以比較出與的大小，即，故，乍一看，理由十足，此時教師如果缺乏科研意識，則很難發(fā)現(xiàn)破綻的，說不定根據(jù)學生的這一思路就得出“”的錯誤結(jié)論，從而造成以訛傳訛的現(xiàn)象發(fā)生。不過筆者比較冷靜，勤于明察秋毫，善于研究，很快就看出了玄機所在，于是就追問學生“將不等式一邊的數(shù)移到另一邊的依據(jù)是什

5、么？”學生一聽到這個問題，幾乎是啞口無言，心想：“移項不就是移過來變號碼，還有什么依據(jù)？”由此看出學生對初中學過的知識點認識模糊，是導致錯誤解法的根源所在，其實“將不等式一邊的數(shù)移到另一邊變號”的依據(jù)仍然是不等式的性質(zhì)-不等式兩邊同時加上一個數(shù)，不等式仍然成立?！苯?jīng)過這樣一解釋，學生口服心服，心情自然爽極了，真正起到解惑的作用。 其實解釋這個問題也不難，就是需要教師善于從數(shù)學知識的理解中抽絲剝繭，引導學生思辨解惑，激發(fā)學生思維，弄清問題的本質(zhì)，必然能起到訓練學生思維深刻性的作用。2、 感悟“美感” 數(shù)學教師培養(yǎng)學生對數(shù)學的感情，在很大程度上是向?qū)W生展示數(shù)學美。既然審美追求是一種普遍存在的心理，

6、學生從根本上說也就是希望看到數(shù)學美的，這就靠教師引導學生從教材的字里行間中發(fā)現(xiàn)美，讓學生感受到美。著名數(shù)學家龐家萊斷言：“數(shù)學的優(yōu)美感不過就是問題解決適合我們心靈需要而產(chǎn)生的一種滿足?！庇捎诮滩氖芷南拗萍皩W生認知的狀況，編者不可能把數(shù)學家創(chuàng)造學生的過程都一一地展示出來，故數(shù)學教材中的數(shù)學知識大多是形式地擺在那里的，準確的定義、嚴密的推理，一個字一個字地印在紙上，這種以形式化為主而呈現(xiàn)出來的數(shù)學內(nèi)容，看上去確實冷冰冰。但其實它又確實很美，然而如果教師不認真剖析教材，弄清所以然，則是很難發(fā)現(xiàn)數(shù)學美的，從而導致學生也感受不到數(shù)學知識那冰冷的美感。其實，只要我們教師悉心揣摩，用心體會，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學

7、教材中處處充滿美，一旦學生感受到學生如此之美，將能大大激發(fā)學生對數(shù)學科學的熱愛。OO例如，在直線參數(shù)方程的學習時，我們知道，對于過定點、傾斜角為的直線的參數(shù)方程是為參數(shù)）（），在此參數(shù)方程的教學時，教師通常是先介紹“有向線段的數(shù)量”這一概念，然后再推導出參數(shù)方程（），并告訴學生參數(shù)的幾何意義是直線上定點到動點的有向線段的數(shù)量，這樣直接告訴式的教學，學生雖然也能接受，但就覺得“有向線段的數(shù)量”這一概念比較別扭，不知道為什么要突然引入此概念，故難以接受，自然學生就對它親近不起來，產(chǎn)生不了認同感。究其原因，就是教師照本宣科的結(jié)果，沒有領(lǐng)會教材編者意圖，從而領(lǐng)悟不到教材介紹“有向線段的數(shù)量”這一概念的

8、必要性與合理性，從而更感受不到數(shù)學的統(tǒng)一和諧美。筆者在教學這個問題時，并沒有直接拋出“有向線段的數(shù)量”這一概念，而是這樣導入的：設(shè)是直線上一動點，如果選取為參數(shù)，則當點在定點的上方時（如圖1），過點及分別作軸、軸的平行線，交于點，在中，因為,則易知（）;當點在定點的下方時（如圖2），過點及分別作軸、軸的平行線，交于點，在中，因為,則易知（）,由此看出，無論參數(shù)方程（）中，還是參數(shù)方程（）中，動點的坐標都與有關(guān)，但兩個參數(shù)方程就有一點不同，那就是當動點在定點的上方時，前面是“”號，當動點在定點的下方時，前面是“”號，由于二者差別就在與此，那么我們能否根據(jù)動點與定點的上、下關(guān)系及前面的正負號情況，

9、將參數(shù)方程（）與參數(shù)方程（）統(tǒng)一起來，此時學生不難想到對于參數(shù)方程（），若令，則得到為參數(shù)）；而對于參數(shù)方程（），若令，則就得到為參數(shù)），接著筆者就追問學生，參數(shù)是一定正數(shù)嗎？可能為負數(shù)與零嗎？學生不難得出，當動點在定點的上方時，為正；當動點在定點的下方時，為負；當動點與定點重合時，為零，為了便于表達與應(yīng)用，不妨將即起個名，于是“有向線段的數(shù)量”的概念就呼之欲出，學生聽后感到自然親切，深深地認識到引入“有向線段的數(shù)量”這一概念的重要意義，真正領(lǐng)悟到數(shù)學的和諧美，大大增加了教學的吸引力. 由此看出，教師在教學設(shè)計時，要反復錘煉教材內(nèi)容，在尊重教材的同時，也需要根據(jù)學情進行恰當?shù)脑賱?chuàng)造，多問幾個為

10、什么，挖掘出教材引入此知識點的意義所在，學生也就能感受到數(shù)學概念的真正價值，教學過程也就富有感染力，能極大地激起學生學習數(shù)學的熱情。三、感悟“本質(zhì)”課程標準強調(diào)高中數(shù)學教學要發(fā)展好學生的理性思維，為此培養(yǎng)學生的推理論證能力是高中數(shù)學教學的必然要求，而推理論證的依據(jù)首先要保證必須是準確的、簡潔的表述，為此高中數(shù)學教材中的概念、公式、定理等重要知識點大都用符號語言進行呈現(xiàn)出來的，故形式化表達較多，然而由于數(shù)學符號的抽象性，致使學生感到高中數(shù)學抽象難懂，但數(shù)學不是機械的法則、僵死的符號，而是有著較強的現(xiàn)實意義和鮮活的生命的。這就要求教師有較強的感悟能力，要善于揭示數(shù)學的本質(zhì)，那么究竟如何清楚地揭示數(shù)

11、學的本質(zhì)呢？一般來說，數(shù)學本質(zhì)都是隱藏在數(shù)學符號語言之中，比較抽象，學生很難發(fā)現(xiàn)，這就要求教師在備課時，對教材內(nèi)容要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，然后力爭用通俗易懂的文字語言給學生講解清楚，做到深入淺出，準確把握數(shù)學本質(zhì)，易于理解與掌握，使學生達到忘其形而不忘其神的學習境界。在周期函數(shù)的概念教學時，面對“函數(shù)是以為周期的函數(shù)，則的周期是多少”這個問題，不少學生往往將它錯誤地認為的周期還是，且不知道錯在何處？筆者認為之所以出現(xiàn)這樣的錯誤，根本原因就是只注重了周期函數(shù)的形式化的定義，而不清楚周期函數(shù)的本質(zhì)所致。所以教師在教學中力求揭示出周期函數(shù)的本質(zhì)：“周期函數(shù)的對應(yīng)法則的功能是：定義域內(nèi)所有自變量加上同一個非

12、零常數(shù)后，經(jīng)過對應(yīng)法則加工，它們的函數(shù)值相等?！比绻麑W生弄清楚了周期函數(shù)的真正意義，則學生就不難由函數(shù)的周期為得出，即，從而的周期卻是，而不是。由此可以看出，在概念教學中教師若能把形式化數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化了學生易于接受的教育形態(tài)，去揭示數(shù)學知識的本質(zhì)，則可大大提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。四、感悟思想教材中表面上似乎看不到多少數(shù)學思想方法，但不是說教材中就沒有思想方法，其實教材中的數(shù)學知識中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，只不過數(shù)學思想方法是依附于表層數(shù)學知識的深層知識，比較隱蔽，需要我們教師去進一步發(fā)現(xiàn)。然而，受惰性使然，不少教師往往知重視數(shù)學知識的理解，而忽視了對數(shù)學思想方法的領(lǐng)悟，甚至很多教師將數(shù)學思想

13、與數(shù)學方法混為一談，認識上也是稀里糊涂的，即使教材中也明確給出某些數(shù)學思想方法，但一些教師理解得不深刻，往往只知應(yīng)用，而不加理解，教學中運用處理問題時，學生就認為數(shù)學思想方法很“虛”，很“玄”，其實數(shù)學思想方法雖然不是具體的數(shù)學知識，但它也是可以感受的。 例如，在運用“序軸標根法”解高次不等式時，筆者發(fā)現(xiàn)不少教師在備課時，只關(guān)注此法使用的三個前提條件：（1）最高次冪項的系數(shù)為正；（2）從右上角開始“穿線”；（3）奇過偶不過。而不思考此法是怎么想出來的，為什么要這樣？為什么要穿針引線來處理？雖然教學中按照“序軸標根法”的適用前提條件也能順利解決高次不等式，但因?qū)Υ朔ㄈ鄙倮斫?，故只是機械套用方法，

14、故顯得毫無數(shù)學味，體現(xiàn)不出數(shù)學教學是思維活動的教學。筆者認為，利用“序軸標根法”解高次不等式是數(shù)形結(jié)合思想的有力體現(xiàn)，在理解時要看到這一點，然后還要說搞清楚“序軸標根法”為什么可以用來解高次不等式？其理論依據(jù)是什么？對此，不少教師卻蒙在鼓里，認為這是人為規(guī)定的，沒有什么可理解的，事實并非如此，完全可以理解，這就要求教師在理解教材上下功夫，仔細想想，確實能找到這種方法解決問題的合理性，那就是用“序軸標根法”畫出的曲線就是函數(shù)的圖像，教師一旦戳穿這一真相，學生就能清楚地認識到利用“序軸標根法”穿線的過程就是畫相應(yīng)函數(shù)圖像的過程，學生對“序軸標根法”也就有了好感，不再冰冷，學生聽后在利用“序軸標根法

15、”解高次不等式時，能從畫函數(shù)圖像的角度去思辨解答得正確與否，而不是僅靠死記硬背標準去操作解答。五、感悟“策略” 在例題教學時，引導學生注重對解題的策略分析尤為重要，因為它是例題教學的核心所在，只有牢牢抓住了這一點，解題教學才能點燃學生思考的熱情，從而才能真正實現(xiàn)例題教學是思維活動的教學。由于教材中的例題往往只給解答過程，而缺少“想法”的分析，對于為什么要這樣解？為什么不那樣解？學生卻不得而知，所以教師在理解教材中例題的解答，不應(yīng)只關(guān)注”解答的步驟及結(jié)果上，而應(yīng)把精力放在“為什么這樣去思考”上。例如，在證明“面面平行的判定定理”時，教師分析此題時，應(yīng)重點解決為什么想到使用“反證法”解決？而不是眼

16、光盯著如何用“反證法”去證明。筆者的做法是，先回憶一下到目前為止，我們已經(jīng)學習了哪些證明“面面平行”的方法？經(jīng)過一番思考之后，發(fā)現(xiàn)只有利用“面面平行平行的定義”這一種方法，接著，思考根據(jù)題設(shè)條件用“面面平行平行的定義”處理此題行得通嗎？又陷入了沉思，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不行，至此已知道了此題從正面不能解答，哪該怎么辦呢？此時自然想到從反面入手處理，這樣“反證法”就呼之而出，這種解題的切入點能夠自然流淌是緣于教師注重解題策略的分析的結(jié)果。六、感悟“聯(lián)系”教師在鉆研教材時，要從宏觀上把握各章節(jié)內(nèi)容之間的聯(lián)系，特別是本節(jié)與前面知識和后續(xù)知識的連貫性，絕不能孤立地看待某章或某節(jié)的內(nèi)容，頭痛治頭，腳痛治腳，否則學生

17、對數(shù)學知識的理解支離破碎，只見樹木，不見森林，這將不利于學生思維能力的培養(yǎng)；因此教學時教師既要學會站在數(shù)學學科整體高度上去看待每一節(jié)內(nèi)容，不僅要立足高學段，而且還又要俯視低學段的內(nèi)容，這樣的教學才能使學生感受到數(shù)學味，才能做到融會貫通。如在學習了“乘法原理”之后，教材又安排了“排列與組合”知識，不少老師只知道一節(jié)節(jié)備各種類型的解題思想方法、技巧，而卻不考慮“排列與組合”與“乘法原理”的關(guān)系，筆者在理解教材時認為，學習排列與組合知識的主要目的是減少做事程序，提高解題效率，同時一般而言，能用“排列與組合”處理的問題，都能用“乘法原理”進行求解，因為“排列數(shù)公式與組合數(shù)公式”都是根據(jù)“乘法原理”推導

18、出來的，而用“乘法原理”能解決的問題，用“排列與組合”知識不一定解決出來，因為用“乘法原理”解決的問題具有一般性，不一定是“排列與組合”問題。教師如果能認識這個層面上進行教學，則教學時很容易激起學生的思考，學生就想方設(shè)法怎么去提高解題效率？例如從100個中抽取10人參加10項不同的活動，問有多少種方法？若按照乘法原理進行操作，則需要10步才能完成，即種方法；若按照先選后排的方法操作，則需要兩步即可，即；而若按照連選帶排的方法，只需一步操作，即種方法，顯然通過對比發(fā)現(xiàn)，學了排列與組合知識可大大簡化辦事程序，從而使我們深深感受到學習排列與組合的重要性和必要性。七、感悟“意圖”能否領(lǐng)會教材的編寫意圖，是衡量教師理解教材深淺的一個重要標志。對編寫意圖領(lǐng)會得越深，越能充分發(fā)揮教材在教學中的作用。事實上，不少教師在深鉆教材，領(lǐng)會