高二數(shù)學必修4平面向量的坐標運算1

1、平面向量的坐標運算 1、平面向量基本定理、平面向量基本定理 如果如果 是同一平面內(nèi)的兩個不共線是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量向量, 那么對這一平面內(nèi)的任一向量那么對這一平面內(nèi)的任一向量 , 有有且只有一對實數(shù)且只有一對實數(shù) ，使，使2211eea21,21,ee1、平面向量基本定理、平面向量基本定理a 不共線的向量不共線的向量 叫做這一平面內(nèi)叫做這一平面內(nèi) 所有向量的一組基底所有向量的一組基底. 21,ee31a ad db bc cm mn n 不共線的向量不共線的向量 叫做這一平面內(nèi)叫做這一平面內(nèi) 所有向量的一組基底所有向量的一組基底. 21,ee1e2e1e2e思考？ 我們知道，在平面直角

2、坐標系中，每一個點都 可用一對有序實數(shù)（即它的坐標）表示。對直角坐標平面內(nèi)的每一個向量，能否用坐標表示？ (2)實數(shù)對實數(shù)對: 任作一個向量任作一個向量a，由平面向量基本定理，有且只由平面向量基本定理，有且只有一對實數(shù)有一對實數(shù)x、y，使得，使得a=xi+yj.我們把我們把(x,y)叫做向量叫做向量a的坐標，的坐標，記作記作)y, x(a 其中其中x叫做叫做a在在x軸上的軸上的坐標坐標，y叫做叫做a在在y軸上的軸上的坐標坐標. 在直角坐標系內(nèi)，我們分別在直角坐標系內(nèi)，我們分別 (1)取基底取基底: 與與x軸方向軸方向,y軸方向相軸方向相同的兩個單位向量同的兩個單位向量i、j作為基底作為基底.x

3、yojiaaij0ao oyxij11221212( ,),(,)ax ybxyabxxyy如如果果, ,那那么么, ,且且因此在平面直角坐標系內(nèi)每個向量都可以由一對實數(shù)因此在平面直角坐標系內(nèi)每個向量都可以由一對實數(shù)唯一表示唯一表示概念理解概念理解a2點點a的坐標與向量的坐標與向量 的坐的坐 標？標？1以原點以原點o為起點作為起點作 ，點，點a的位置由誰確定的位置由誰確定?oaa 兩者相同兩者相同由由 唯一確定唯一確定aoxyijaa1a2a( , )x ya1a例1:如圖,用基底 分別表示向量 ji,dcba,并求出它們的坐標。-5y1 1b b0c1ad 2aa2 2b bax4-4-3-

4、2-1325ijbcbef-1-2-3-44232e1ed求向量的方法： aaxyai ja 一、是把正交分解，看在軸， 軸上的分向量的大小，把向量用 、 表示出來，進而得到向量的坐標。正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量。 aaa 二、把向量移到坐標原點，則向量終點的坐標就是向量的坐標。二、平面向量的坐標運算二、平面向量的坐標運算引入：利用向量坐標的定義解答下列各題引入：利用向量坐標的定義解答下列各題：1122(,),(,),( , )ax ybxyab abax ya ( (1 1) )已已知知, ,求求的的坐坐標標; ;( (2 2) )已已知知和和實實數(shù)數(shù) , ,求求的的坐坐標

5、標。結論：結論：(1)平面向量和與差的坐標：平面向量和與差的坐標：（2）實數(shù)與向量的積的坐標：）實數(shù)與向量的積的坐標：12121212(,)(,)abxxyyabxxyy(,)axy結論： 一個向量的坐標等于表示此向量一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的的有向線段的終點終點的坐標減去的坐標減去始點始點的的坐標。坐標。yxob(x2,y2)a(x1,y1)如圖，已知a(x1,y1),b(x2,y2),根據(jù)上面的結論，有 ab= ob - oa = (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)bababa43 2 (2,1),( 3,4),34abab abab 例已知求

6、的坐標。例3、已知 abcd的三個頂點a、b、c的坐標分別為（-2，1）（-1，3）（3，4），求點d的坐標。abcd法一解：設d點的坐標為（x,y） ab=（-1-（-2），3-1）=（1，2） dc=（3-x，4-y） 又 ab=dc （1，2）=（3-x，4-y） 即 1=3-x 解得：x=2 2=4-y y=2 故點d的坐標為（2，2）-5xy1 2 3 4 5-1-11234-2-2-550析：考慮ab=dc，通過兩個向量的坐標相等求解例例4.如圖，已知如圖，已知 的三個頂點的三個頂點a、b、c的坐標分別是的坐標分別是 （-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），試求頂點），

7、試求頂點d的坐標。的坐標。abcdabcdxyo解法解法2：由平行四邊形法則可得：由平行四邊形法則可得( 2( 1),1 3)(3( 1),43)(3, 1) bdbabc 而而( 1,3)(3, 1)(2,2) odobbd 所以頂點所以頂點d的坐標為（的坐標為（2，2）ab=(3,4)、ba=(- 3,- 4)ab=(5,0)、ba=(- 5,0)ab=( 9,- 1)、ba=(-9,1)ab=(0,2)、ba=(0,- 2)b(4,1)b(1,0) （1）a(3,5) b(6,9) (2) a(-3,4) b(6,3) (3) a(0,3) b(0,5) (4) a(3,0) b(8,0) 練習： 、已知a，b兩點的坐標，求ab，ba的坐標：2、已知a=ab,起點坐標a，求b點坐標：(1)a=(5,- 7), a(- 1,8)(2)a=(- 2,4), a(3,- 4)3、向量a,b,c,d為相等向量，它們的坐標為a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3),d=(x4,y4)，則有（ ） a.、 x1=- x2 ，y1= y2 b、 x3= x4 ，y3=y4 c、 x2= x4， y1= - y4 d、 x1 =x2= x3 =x4 ，y1= y2= y3= y4d調(diào)用幾何畫板2(3,34)123 2.ax