高考數(shù)學(xué)第四編平面向量

1、第四編 平面向量§4.1 平面向量的概念及線性運(yùn)算一、填空題(本大題共9小題，每小題6分，共54分)1(2010·蘇州模擬)如圖所示，在平行四邊形abcd中，下列結(jié)論中正確的是_=0解析 顯然正確；由平行四邊形法則知正確；故不正確；中0答案2.（2010·徐州模擬）設(shè)四邊形abcd中，有且則這個(gè)四邊形是 .解析 由知四邊形abcd是梯形，又所以四邊形abcd是等腰梯形.答案 等腰梯形3.（2008·全國(guó)理）在abc中，c，b，若點(diǎn)d滿足2，則_(用b，c表示)解析如圖所示，在abc中，=.又c(bc)bc.答案bc4.（2010·泰州模擬）如圖

2、所示，平面內(nèi)的兩條相交直線op1和op2將該平面分割成四個(gè)部分、（不包括邊界）.若且點(diǎn)p落在第部分，則實(shí)數(shù)a，b滿足a_0，b_0(用“>”，“<”或“”填空)解析 由于點(diǎn)p落在第部分，且則根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法則知a>0，b<0.答案><5.（2009·江蘇南京二模）設(shè)xy，且a、b、c三點(diǎn)共線(該直線不過端點(diǎn)o)，則xy_.解析a、b、c三點(diǎn)共線，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，=，即()(1).又xxy，xy(1)1.答案16.（2009·廣東茂名一模）在abc中，已知d是ab邊上的一點(diǎn)，若則_.解析 由圖知且20.×2得3

3、2，.答案7(2009·浙江改編)設(shè)向量a，b滿足：|a|3，|b|4，a·b0，以a，b，ab的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為_解析由|a|=3，|b|=4及a·b=0知ab，故a，b，a-b構(gòu)成直角三角形，且|a-b|=5.又其內(nèi)切圓半徑為如圖所示將內(nèi)切圓向上或向下平移可知該圓與該直角三角形最多有4個(gè)交點(diǎn)答案48(2009·北京改編)設(shè)d是正p1p2p3及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)p0是p1p2p3的中心若集合sp|pd，|pp0|ppi|，i1,2,3，則集合s表示的平面區(qū)域是_解析如圖所示，ab、cd、ef分別為p0p

4、1、p0p2、p0p3的垂直平分線，且ab、cd、ef分別交p1p2、p2p3、p3p1于點(diǎn)a、c、d、e、f、b.若|pp0|=|pp1|，則點(diǎn)p在線段ab上，若|pp0|pp1|，則點(diǎn)p在梯形abp3p2中同理，若|pp0|pp2|，則點(diǎn)p在梯形cdp3p1中若|pp0|pp3|，則點(diǎn)p在梯形efp1p2中綜上可知，若|pp0|ppi|，i=1,2,3，則點(diǎn)p在六邊形abfedc中答案六邊形區(qū)域9.（2009·山東改編）設(shè)p是abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，+2，則_.解析 因?yàn)?，所以點(diǎn)p為線段ac的中點(diǎn)，即0.答案0二、解答題(本大題共3小題，共46分)10.（14分）（2010&#

5、183;南京調(diào)研）在oab中，延長(zhǎng)ba到c，使在ob上取點(diǎn)d，使.dc與oa交于e，設(shè)a，b，用a，b表示向量，.解 因?yàn)閍是bc的中點(diǎn)，所以()，即22ab；2abb2ab.11.（16分）（2010·江蘇蘇州調(diào)研）已知：任意四邊形abcd中，e、f分別是ad、bc的中點(diǎn)，求證：證明方法一如圖，e、f分別是ad、bc的中點(diǎn)，0，0，又0，= 同理=+由得，2=+()()=+.方法二 連結(jié)則12.（16分）（2009·上海寶山模擬）已知點(diǎn)g為abc的重心，過點(diǎn)g作直線與ab、ac兩邊分別交于m、n兩點(diǎn)，且求的值解根據(jù)題意g為三角形的重心，()，=()x由于與共線，根據(jù)共線向

6、量基本定理知，存在實(shí)數(shù)，使得即 即，因此即xy3xy0兩邊同除以xy整理得3.§4.2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、填空題(本大題共9小題，每小題6分，共54分)1(2009·天津漢沽一中模擬)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab_.解析ab(1,1)(1，1)(1,2)答案(1,2)2(2010·湖南衡陽四校聯(lián)考)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則_.解析manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)由于manb與a2b共線，則有，n2m12m8n，.答案3(2009·寧

7、夏、海南改編)已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab與a2b垂直，則實(shí)數(shù)的值為_解析a(3,2)，b(1,0)，ab(31,2)，a2b(3,2)2(1,0)(1,2)由(ab)(a2b)知4310.答案4(2009·湖北理改編)已知pa|a(1,0)m(0,1)，mr，qb|b(1,1)n(1,1)，nr是兩個(gè)向量集合，則pq_.解析pa|a(1,0)m(0,1)，mra|a(1，m)，qb|b(1n,1n)，nr，由得ab(1,1)，pq(1,1)答案(1,1)5(2009·山東濰坊一模)已知向量a，b(x,1)，其中x>0，若(a2b)(2ab)，則x的值為_

8、解析a2b(82x，x2),2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，顯然2ab0，故有(82x，x2)(16x，x1)即，解得x4(x>0)答案46(2010·泰州模擬)已知向量a(2,4)，b(1,1)，若向量b(ab)，則實(shí)數(shù)的值是_解析ab(2,4)(1,1)(2，4)b(ab)，b·(ab)0，即(1,1)·(2，4)24620，3.答案37.（2008·遼寧文）已知四邊形abcd的頂點(diǎn)a（0，2）、b（-1，-2）、c（3，1），且則頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為_解析a(0,2)，b(1，2)，c(3,1)，(3,1)(1，2)(4,3)設(shè)

9、d(x，y)，(x，y2)，2，(4,3)(2x,2y4)x2，y.答案8(2009·遼寧改編)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形abcd的邊abdc，adbc.已知a(2,0)，b(6,8)，c(8,6)，則d點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析 設(shè)d點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,由題意知=，即(2，2)(x2，y)，所以x0，y2，d(0，2)答案(0，2)9(2009·浙江改編)已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c滿足(ca)b，c(ab)，則c_.解析設(shè)c(x，y)，則ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)·(3，1)3xy0.解得x，

10、y.答案二、解答題(本大題共3小題，共46分)10.（14分）（2009·江蘇金陵中學(xué)三模）已知a（-2，4）、b（3，-1）、c（-3，-4）且3，2，求點(diǎn)m、n及的坐標(biāo).解a(2,4)、b(3，1)、c(3，4)， 設(shè)m（x，y），則有=（x+3，y+4），m點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,20)同理可求得n點(diǎn)坐標(biāo)為(9,2)，因此=（9，-18），故所求點(diǎn)m、n的坐標(biāo)分別為(0,20)、(9,2)，的坐標(biāo)為(9，18)11.（16分）（2010·江蘇丹陽高級(jí)中學(xué)一模）已知a（-2，4），b（3，-1），c（-3，-4）.設(shè)= a，= b，= c，且3 c,2b.(1)求3ab3c；(

11、2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n.解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得.12.（16分）（2010·山東濟(jì)寧模擬）在abcd中，a（1，1），=（6，0），點(diǎn)m是線段ab的中點(diǎn)，線段cm與bd交于點(diǎn)p. (1)若(3,5)，求點(diǎn)c的坐標(biāo)；(2)當(dāng)|=|時(shí)，求點(diǎn)p的軌跡解(1)設(shè)點(diǎn)c的坐標(biāo)為(x0，y0)，又(3,5)(6,0)(9,5)，即(x01，y01)(9,5)，x010，y06，即點(diǎn)c(10,6)(2)由三角形相似,不準(zhǔn)得出設(shè)p(x，y)

12、，則(x1，y1)(6,0)(x7，y1)， abcd為菱形， acbd. 即（x-7，y-1）·（3x-9，3y-3）=0.即（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，x2+y2-10x-2y+22=0（y1）.（x-5）2+（y-1）2=4（y1）.故點(diǎn)p的軌跡是以（5，1）為圓心，2為半徑的圓去掉與直線y=1的兩個(gè)交點(diǎn).§4.3 平面向量的數(shù)量積一、填空題(本大題共9小題，每小題6分，共54分)1(2010·常州模擬)向量a(cos 15°，sin 15°)，b(sin 15°，cos 15°)，則|ab|的

13、值是_解析由題設(shè)，|a|1，|b|1，a·bsin(15°15°).|ab|2a2b22a·b112×3.|ab|.答案2.（2009·浙江溫州十校聯(lián)考）在邊長(zhǎng)為1的正三角形abc中，設(shè)a，c，b，則a·bb·cc·a_.解析如圖所示，a+c=b，a·b+b·c+c·a=b·(a+c)+a·c=b2+a·c=1+|a|·|c|cosa，c=1+cos 120°=答案3(2010·廣東韶關(guān)一中模擬)若向量a，b滿足|a

14、|1，|b|2，a與b的夾角為60°，則a·bb·b的值為_解析a·bb·b|a|·|b|·cos 60°|b|21×2×45.答案54(2009·重慶改編)已知|a|1，|b|6，a·(ba)2，則向量a與b的夾角是_解析a·(ba)a·ba22，a·b2a23cosa，b，a與b的夾角為.答案5(2009·福建福州期末)若a與bc都是非零向量，則“a·ba·c”是“a(bc)”的_條件解析若a(bc)，則a

15、83;(bc)0a·ba·c0a·ba·c.答案充要6.（2010·天津六校聯(lián)考）點(diǎn)o是三角形abc所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足···，則點(diǎn)o是abc的_心解析 ··，得··0，即·()0，·0，.同理可得，.o是三角形三條高線的交點(diǎn)答案垂7.（2008·江西理，13）直角坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)a（1，2）、b（3，-2）、c（9，7），若e、f為線段bc的三等分點(diǎn)，則 .解析 又答案228(2009·遼寧改編)平面向量a與b的夾角為60°

16、，a(2,0)，|b|1，則|a2b|_.解析a(2,0)，故|a|2，|a2b|.a·b|a|·|b|·cos 60°1，|a2b|2.答案29.（2009·陜西改編）在abc中，m是bc的中點(diǎn)，am=1，點(diǎn)p在am上且滿足=22，則·(·()_.解析m是bc的中點(diǎn)，則 答案二、解答題(本大題共3小題，共46分)10(14分)(2010·山東臨沂一模)向量a(cos 23°，cos 67°)，向量b(cos 68°，cos 22°)(1)求a·b；(2)若向量b與

17、向量m共線，uam，求u的模的最小值解(1)a·bcos 23°·cos 68°cos 67°·cos 22°cos 23°·sin 22°sin 23°·cos 22°sin 45°.(2)由向量b與向量m共線，得mb (r)，uamab(cos 23°cos 68°，cos 67°cos 22°)(cos 23°sin 22°，sin 23°cos 22°)，|u|2(co

18、s 23°sin 22°)2(sin 23°cos 22°)2212，當(dāng)時(shí)，|u|有最小值為.11(16分)(2010·浙江臺(tái)州月考)已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°.(1)求證：(ab)c；(2)若|kabc|>1 (kr)，求k的取值范圍(1)證明(ab)·ca·cb·c|a|·|c|·cos 120°|b|·|c|·cos 120°0，(ab)c.(2)解|kabc|>1|kabc|2>

19、;1，k2a2b2c22ka·b2ka·c2b·c>1.|a|b|c|1，且a、b、c相互之間的夾角均為120°，a2b2c21，a·bb·ca·c，k212k>1，即k22k>0，k>2或k<0.12(16分)(2009·廣東廣州二模)已知向量a，b，x.若函數(shù)f(x)a·b|ab|的最小值為，求實(shí)數(shù)的值解|a|1，|b|1，x，cos x0,1a·bcoscossinsincos 2x，|ab|2|cos x|2cos x.f(x)cos 2xcos x2cos

20、2xcos x1221，當(dāng)<0時(shí)，取cos x0，此時(shí)f(x)取得最小值，并且f(x)min1，不合題意當(dāng)04時(shí)，取cos x，此時(shí)f(x)取得最小值，并且f(x)min1，解得2.當(dāng)>4時(shí)，取cos x1，此時(shí)f(x)取得最小值，并且f(x)min1，解得，不符合>4舍去，2.§4.4 平面向量的應(yīng)用一、填空題(本大題共9小題，每小題6分，共54分)1.（2009·泰州實(shí)驗(yàn)一模）已知o是四邊形abcd所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且|，,則四邊形abcd的形狀是_解析 由條件知又ab綊cd，四邊形為平行四邊形答案平行四邊形2(2010·日照模擬)給出下列命

21、題：向量a與b平行，則a與b的方向相反或者相同；abc中，必有四邊形abcd是平行四邊形的充要條件是若非零向量a與b方向相同或相反，則ab與a、b之一方向相同其中正確的命題為_解析中未注意零向量所以錯(cuò)誤，在中ab有可能為零向量，只有正確答案3.（2010·徐州模擬）已知向量=（1，-3），=（2，-1），=（m+1，m-2），若點(diǎn)a、b、c能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是 .解析若點(diǎn)a、b、c不能構(gòu)成三角形，則只能共線(2，1)(1，3)(1,2)，(m1，m2)(1，3)(m，m1)假設(shè)a、b、c三點(diǎn)共線，則1×(m1)2m0，即m1.若a、b、c三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則

22、m1.答案m14(2009·江蘇南通模擬)已知向量m(a2，2)，n(2，b2)，mn (a>0，b>0)，則ab的最小值是_解析由已知mn可得(a2)(b2)40，即2(ab)ab0，4ab0，解得4或0(舍去)，ab16.ab的最小值為16.答案165(2010·無錫模擬)若向量a，b滿足|a|，|b|1，a·(ab)1，則向量a，b的夾角的大小為_解析設(shè)a，b的夾角為.a·(ab)1，a2a·b1.又|a|，a2a·b1，a·b1.cos .又0，.答案6(2010·江蘇栟茶中學(xué)模擬)已知向量a(

23、1，sin )，b(1，cos )，則|ab|的最大值為_解析ab(0，sin cos )，|ab|sin cos |.|ab|的最大值為.答案7.（2009·安徽理）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)c在以o為圓心的圓弧 上變動(dòng)，若xy，其中x，yr，則xy的最大值是_解析建立如圖所示的坐標(biāo)系，則a(1,0)，b(cos 120°，sin 120°)，即設(shè)aoc=,則(cos ，sin )xxy(x,0)(cos ，sin )xysin cos 2sin(30°)0°120°，30°

24、30°150°.xy有最大值2，當(dāng)60°時(shí)取最大值答案28(2009·安徽文)在平行四邊行abcd中，e和f分別是邊cd和bc的中點(diǎn)，若設(shè)aoc=,其中、r，則_.解析 設(shè)那么ab，=ab，又ab，即，.答案9(2009·湖南文)如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若則x_，y_.解析又又設(shè)則由題意知又bed=60°,顯然與的夾角為45°.由得×1×cos 45°(x1)×12.x1. 同理,在兩邊與數(shù)量積可得y.答案1二、解答題(本大題共3小題，共46分)10.（14分）（2009·沈陽二中二模）已知點(diǎn)a(2,3),b(5,4),c(7,10),若(r).試當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)