矩陣基本性質(zhì)

1、矩陣根本性質(zhì)矩陣的根本性質(zhì)矩陣？?勺第?第 ?列的元素為A?我們？ ？?或(?表？ ？x?的單位矩陣。1. 矩陣的加減法(1) ?= ?± ?對(duì)應(yīng)元素相加減(2) 矩陣加減法滿足的運(yùn)算法那么a. 交換律：？?+?=?+?b. 結(jié)合律：(?+ ? + ?= ?+ ( ?+ ?c. ?+ ?= ?d. ?. ?= ?2. 矩陣的數(shù)乘(1) ?= ?各元素均乘以常數(shù)(2) 矩陣數(shù)乘滿足的運(yùn)算法那么a. 數(shù)對(duì)矩陣的分配律： ？?+ ? = ? ?b. 矩陣對(duì)數(shù)的分配律：(？卞?= ? ?c. 結(jié)合律：(？?= ?(?)d. ?= ?3. 矩陣的乘法(1) ?= ? X? X ,左行右列對(duì)應(yīng)元

2、素相乘后求和為C的第?行第？列的元素(2) 矩陣乘法滿足的運(yùn)算法那么a. 對(duì)于一般矩陣不滿足交換律，只有兩個(gè)方正滿足且有? ? ?b. 分配律：？?+ ? = ?+ ?c. 結(jié)合律：(？?= ?(?)d. 數(shù)乘結(jié)合律：？?)?= ?(?)4. 矩陣的轉(zhuǎn)置？?？(?？?力A?(1) 矩陣的冪：？ = ? ? = ?, ?+1 = ?(?)(2) 矩陣乘法滿足的運(yùn)算法那么a. (?的?= ?b. (?+ ?= ?尹+ ?c. (?冬？?(為 d (?)?= ?勺？5. 對(duì)稱矩陣：？"?= ?項(xiàng)卩 a? a?反對(duì)稱矩陣：？*?= -?即a? -a ?(1) 設(shè)？,?為(反)對(duì)稱矩陣，貝V

3、?± ?仍是(反)對(duì)稱矩陣。(2) 設(shè)？,?為對(duì)稱矩陣，貝V ?或？?仍是對(duì)稱矩陣的充要條件 ?=?<?(3) 設(shè)？為(反)對(duì)稱矩陣，貝V ?徨?也是(反)對(duì)稱矩陣。(4) 對(duì)任意矩陣？那么？三1(?+ ?窗,？&2(?+ ?窗分別是對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣且?= ?+ ?(5) (?= ?6. Hermite 矩陣：？?= ?即a? ?報(bào)?反 Hermite 矩陣，？?= -?即a? -a?a. ?=(A)?b. (?+ ?= ?f?+ ?尹矩陣根本性質(zhì)c. (?巧=?3d. (?)? = ?f?f?e. (?= ?f. (?7?)-? =(?)?(當(dāng)？巨陣可逆時(shí))7.

4、正交矩陣：假設(shè)?= ?= ?那么?(?) ?尹x是正交矩陣(1) ? = ? ? x ?(2) det ?= ±1(3) ? ? ? x ?8. 酉矩陣：假設(shè)？?= ?= ?那么?(?) ?尹x是酉矩陣(1) ? = ? ? x ?(2) |det?= 1(3) ? ? ? x ?(4) ? ?尹 x ?9. 正規(guī)矩陣：假設(shè)? ?,那么？是正規(guī)矩陣；假設(shè)？?？?= ?那么？是實(shí)正規(guī)矩陣10. 矩陣的跡和行列式(1) ? = E?=?刃 £?=?為矩陣？?勺跡；|?或det (?為行列式(2) ?= ?;注：矩陣乘法不滿足交換律(3) ? ?= ?(4) ?= ? ?為酉矩陣

5、，那么？?？ = ?(5) |?+ ? = |?+ ?f?|(6) |?+ ? = |?+ ?| |? = |?(8) |? ?(9) |?= |?(10) det (?+ ?= det (?+ ?)(11)i?= n?=?(12) ?= Iogdet(?+ ?, ?= £?,貝 V ?=弓?=Jog(1 + £?其中?為？?奇異分解值的特征值11. 矩陣的伴隨矩陣?(1) 設(shè)?= ?材由行列式|?的代數(shù)余子式？?所構(gòu)成的矩陣(2) ?= ?f?= |?12. 矩陣的逆(逆矩陣是唯一的)(1) A 的逆矩陣記作？?，？?= ?= ?(2) |?工0 (?為非奇矩陣)時(shí),(3

6、) |?工 0且?工 0,那么(?？=丄？?(4) 由？?？?？= ?得(?？ = ?(5) (?-?= (?)?(6) 假設(shè) |?工 0, |?| =孟(7) 假設(shè)？是非奇上(下)三角矩陣，那么？?也上(下)三角矩陣(8) ?= (?)?矩陣根本性質(zhì)(9) (?+ ?)? = ?紹？?+ ?)?丿 / /(10) (? ?= ?(? ?(11) Woodbury恒等式：(?+ ?)? = ? ?(? ?)?(12) ?= ?/-1 ?12.對(duì)角矩陣，矩陣？為對(duì)稱矩陣，？正交矩陣，那么？?？?： ？?為對(duì)角矩 陣或？?？?： ?/?/= ? ,?禺=A,那么？?= ?A?/?=? =?13. 矩陣的導(dǎo)數(shù)(1)? ? ?(?= ?+ ?(2