數(shù)學(xué)建模灰色預(yù)測(cè)方法

1、灰色預(yù)測(cè)法1灰色預(yù)測(cè)理論2 gm(1,1)模型3gm(1,1)模型的改進(jìn) 4灰色預(yù)測(cè)實(shí)例1灰色預(yù)測(cè)理論一、灰色預(yù)測(cè)的概念(1) 灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)白色系統(tǒng)是指一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的即系統(tǒng)的信息是完全充分的。黑色系統(tǒng)是指一個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部信息對(duì)外界 來(lái)說(shuō)是一無(wú)所知的，只能通過它與外界的 聯(lián)系來(lái)加以觀測(cè)研究?；疑到y(tǒng)內(nèi)的一部分信息是已知的，另 部分信息是未知的，系統(tǒng)內(nèi)各因素間有不 確定的關(guān)系。(2) 灰色預(yù)測(cè)方法灰色預(yù)測(cè)法是一種對(duì)含有不確定因素的系 統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法?；疑A(yù)測(cè)是對(duì)既含有已知信息又含有不確定 信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)則，就是對(duì)在一定范圍內(nèi) 變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過程進(jìn)彳亍預(yù)測(cè)

2、?；疑A(yù)測(cè)法用等時(shí)距觀測(cè)到的反映預(yù)測(cè)對(duì) 象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型, 預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一 特征量的時(shí)間。(3) 灰色預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn):1) 序列性：原始數(shù)據(jù)以時(shí)間序列的形式岀現(xiàn)。少數(shù)據(jù)性：原始數(shù)據(jù)序列可以少到只有4個(gè) 數(shù)據(jù)。(4) 灰色預(yù)測(cè)的四種常見類型灰色時(shí)間序列預(yù)測(cè)即用觀察到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的時(shí) 間序列來(lái)構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)某 一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí) 間。災(zāi)變預(yù)測(cè)即通過灰色模型預(yù)測(cè)異常值岀現(xiàn)的時(shí) 亥u，預(yù)測(cè)異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū) 內(nèi)。系統(tǒng)預(yù)測(cè)通過對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互 關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)系統(tǒng)中眾多變 量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變

3、化。拓?fù)漕A(yù)測(cè)（波形預(yù)測(cè)）將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋 找該定值發(fā)生的所有時(shí)點(diǎn)，并以該定值為 框架構(gòu)成時(shí)點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測(cè)該 定值所發(fā)生的時(shí)點(diǎn)。對(duì)灰數(shù)的處理主要是利用數(shù)據(jù)處理方法去尋求數(shù)據(jù)間 的內(nèi)在規(guī)律，通過對(duì)已知數(shù)據(jù)列中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理而產(chǎn)生 新的數(shù)據(jù)列，以此來(lái)研究尋找數(shù)據(jù)的規(guī)律性，這種方法稱 為數(shù)據(jù)的生成。數(shù)據(jù)的生成方式有多種，常用的方法有累加生成、累 減生成和加權(quán)累加生成等。(1)累加生成設(shè)原始數(shù)列為易,令則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列x(0)則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列則稱x為數(shù)列(&#

4、176;)的1-次累加生成，數(shù)列兀(°)的八次累加生成。記的1 次累加生成數(shù)列。類似地有稱之為則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列則稱x為數(shù)列(°)的1-次累加生成，數(shù)列兀(°)的心次累加生成數(shù)列。累加的規(guī)則:將原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)作為生成列的第一 個(gè)數(shù)據(jù)，將原始序列的第二個(gè)數(shù)據(jù)加到原始序列 的第一個(gè)數(shù)據(jù)上，其和作為生成列的第二個(gè)數(shù)據(jù), 將原始序列的第三個(gè)數(shù)據(jù)加到生成列的第二個(gè)數(shù) 據(jù)上，其和作為生成列的第三個(gè)數(shù)據(jù)，按此規(guī)則 進(jìn)行下去，便可得到生成列。對(duì)非負(fù)數(shù)據(jù)，累加次數(shù)越多則隨機(jī)性弱化越多，累加次數(shù)足夠大后，可認(rèn)為時(shí)間序列已由隨機(jī)序列變?yōu)榉请S機(jī)序列。

5、 一般隨機(jī)序列的多次累加序列，大多可用 指數(shù)曲線逼近。累加舉例：設(shè)原始時(shí)間序列為0)= 1,2,1.5,3一次累加生成列為x(1) =1,3,45,7.5x(°)的曲線是擺動(dòng)的，起伏變化幅度較大, 而x已呈現(xiàn)明顯的增長(zhǎng)規(guī)律性。(2)累減生成將原始序列前后兩個(gè)數(shù)據(jù)相減得到累減生成 序列累減是累加的逆運(yùn)算，累減可將累加生成列還原為非生成列，在建模中獲得增量信息。一次累減的公式為:如果數(shù)據(jù)列為x(0)(a:)二兀(kx仇一1)，k = 2,3,，死則稱x(0)(k)為數(shù)列 x(1)的1-次累減生成。一般地，對(duì)于廠次累加生成數(shù)列則稱的累減生成數(shù)列。為數(shù)列（3）均值生成設(shè)原始數(shù)列?；?1）圜則

6、稱x(0)g)eaoi十°）翻區(qū)兀（°）伙_1）為后鄰值，?；铮榍班徶?a e 0,1則稱兀的鄰值在生成系數(shù)（權(quán)）對(duì)于常數(shù)為由數(shù)列 的鄰值生成數(shù)（或生成值）。特別地，當(dāng)生成系數(shù)(x = 0.5時(shí)，則稱為緊鄰均值生成數(shù)，即等權(quán)鄰值生成數(shù)。類似地，可以定義非緊鄰值生成數(shù)而得的數(shù)列稱為緊鄰均值生成數(shù)列。2 gm （仁1）模型灰色模型是利用離散隨機(jī)數(shù)經(jīng)過生成變?yōu)殡S機(jī)性被顯 著削弱而且較有規(guī)律的生成數(shù)，建立起的微分方程形式 的模型，這樣便于對(duì)其變化過程進(jìn)行研究和描述。灰色預(yù)測(cè)模型稱為gm模型，g為grey的第一個(gè)字母, m為model的第一個(gè)字母。gm (1, 1)表示一階的，一個(gè)

7、變量的微分方程型預(yù)測(cè) 模型。gm (1, 1)是一階單序列的線性動(dòng)態(tài)模型，主 要用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)。gm (1, 1)模型概述設(shè)有數(shù)列x(0)共有"個(gè)觀察值x(o)(l), x(0)(2), x(0)(m)對(duì)x(°)作累加生成，得到新的數(shù)列 xw其元素kxw(k) = yx(o)(/n) k = 2,nm=l有：x(1)(1) = x(o)(1) x(1)(2) = x(o)(l) + x(o)(2)=無(wú)+ x(o)(2)兀(3) = x(o)(l) +兀+ x= x(1)(2) + x(o)(3)x(1)(n) = x(1)(w-l) + x(o)(w)令z為x的均值序列z

8、=(z(2)，/»() 其中:z (k) = 0.5(兀(k)+xw (k -1)則gm(1,1)的灰微分方程模型為：x(l(a:)+az(1)(a:)=灰導(dǎo)數(shù)發(fā)展系數(shù)灰作用量式中：a.b 為待估計(jì)參數(shù)。分別稱為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生 控制灰數(shù)。gm(1,1)的白化型：xw(k)為灰導(dǎo)數(shù)，對(duì)應(yīng)于笛一atz仇)為白化背景值,對(duì)應(yīng)于兀(f)則灰微分方程對(duì)應(yīng)的白化方程為:dxwdt+ axw(t) = b灰方程也可改寫為：tz(k)+b= x(0) (k)設(shè)a為待估計(jì)參數(shù)向量，則a = m按最小二乘法求解，有：a = (btb 尸 bty式中：j (2)(0)(2)'b =-z (3)1y

9、 =嚴(yán)3) 嚴(yán)5）1j_x（0）（ai）_將$代入 心口，并解微分方程，有g(shù)m（1j） 預(yù)測(cè)模型白化響應(yīng)式（解）為：x（1）a+i）=fx（0）（i）-a/+-弭=i,2, ka） ax（o）a+i）=x（i）a+i）-x（i）a）= （l-ea） x（o）（l）- w"汀=1，2, 'aj注意：gm（1,1）白化型不是從定義推導(dǎo)出來(lái)的，是一種“借用”或“白化默認(rèn)”，所以，一切從白化推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果，只在不與定義型有矛盾時(shí)才成立，否則無(wú)效。也可由gm（1,1）模型推導(dǎo)岀另一表達(dá)式內(nèi)涵型表達(dá)式:1 - 0.5a y21 + 05a丿bax(o)(l)l+05a灰色預(yù)測(cè)的事前檢驗(yàn)給

10、定序列x®能否建立較高精度的gm(1,1)模型，一般用序列x(°)的光滑比p(r)對(duì)x")作準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)； 用累加序列x的級(jí)比b仇)對(duì)x作準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律 性檢驗(yàn)來(lái)判斷滿足建模條件x(0)(k)光滑比定義：pw = (1 ; 7x (k-1)(1) 若光滑比滿足且e (0, 0.5) k>3則稱x(0)為準(zhǔn)光滑序列。級(jí)比定義：b仇)=(2)若級(jí)比滿足：xw(k)x(q)(k-l)b仏)b) ba = 3<0.5則認(rèn)為x具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。當(dāng)(1) (2)都滿足時(shí)可對(duì)x®建gm(1,1)模型。若原始數(shù)據(jù)不適合建立gm(1,1)模型，則進(jìn)行予處理。注：gm

11、(1, 1)模型中發(fā)展系數(shù)a的取值范圍(-2 2、ae匕+ 1， + 1丿列劉"（1）*（2）,.）,其中卅麗 少 仕二1,2,./）?-1（2）對(duì)對(duì)與護(hù)分別進(jìn)行推光滑性處）二嚴(yán)（1）/卅優(yōu)-1）與準(zhǔn)扌讖規(guī)律性 （叫滬x優(yōu)）心優(yōu)一1）檢瑟 卩tx®.（3）確定麴啟盼-z(1* (3) 1,二嚴(yán)(3)- 2(月)1 "求參數(shù)列m建立生翩據(jù)iwj模型 + 2嚴(yán)分 d dt及時(shí)間響應(yīng)式剣 + 1）二（?0）0）-）嚴(yán)+你aa（6）建立原始btiwiim-充*q糾_壬（_ 1）二（兀（1）_苛（1 一護(hù)）丄 1三、模型檢驗(yàn)灰色預(yù)測(cè)檢驗(yàn)一般有殘差、關(guān)聯(lián)度和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。(1)

12、殘差檢驗(yàn)按預(yù)測(cè)模型計(jì)算0)(i),并將0)(i)累減生成")(,) 然后計(jì)算原始序列x(°與he)的絕對(duì)誤差序列及相 對(duì)誤差序列。殘差：£(i) =-i 1,2,., n殘差序列=(£(1)，£(2)昇£何)一般要求 4 <20%,最好是 4 <10%平均相對(duì)精度：p°=(l-a)xl00%平均相對(duì)誤差：a=-l-yia/i一般要求p° > 80% ,最好是 p° > 90%而對(duì)于給定的a,當(dāng)a < a且亠< a成立時(shí)，(為n點(diǎn)的模擬相對(duì)誤差)稱為殘差合格模型。(2)關(guān)

13、聯(lián)度檢驗(yàn)第一步計(jì)算原始數(shù)列x(0)的模型計(jì)算值x 第二步計(jì)算x(0)與x的絕對(duì)誤差aa(i) =1 x(o)(i) -x(o)(o i (i =1,2,兀)代入 x(o)(i).x(o)(i)數(shù)據(jù)得：a(o=lx(o)(i)-x(o)(oi第三步計(jì)算最小差與最大差最小差為：mina(i) 最人差為: moxa(j) 第四步計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)臾)郭)=式中：g(i) 第i個(gè)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)系數(shù);p分辨系數(shù)，一般取0.5第五步計(jì)算關(guān)聯(lián)度§式中：g 數(shù)列x(0)對(duì)x的關(guān)聯(lián)度。n樣本個(gè)數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)p=0.5時(shí)，關(guān)聯(lián)度大于0.6便滿意了。 此外，也可計(jì)算與x的絕對(duì)關(guān)聯(lián)度e 11，若對(duì) 于給定的

14、3;0>0，有£>£0 ，則稱為關(guān)聯(lián)度合格模型。(3)后驗(yàn)差檢驗(yàn)a. 計(jì)算原始數(shù)列的均值元(o)=-jx(o)(i)n 1=1b. 計(jì)算原始數(shù)列的方差-元(°)2n 1=1c.計(jì)算殘差序列£(°)的均值止求殘差的方差g郭s艸c.計(jì)算均方差比弋注：對(duì)給定的cn>o,當(dāng)cvc°稱模型為均方差比 合格模型。f.計(jì)算小誤差概率p = p2 (i) glvo6745sj注：對(duì)給定的po>o,當(dāng)p>po稱模型為小誤差概 率合格模型。g.檢驗(yàn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)給定a.ecp°的一組取值，就確定 了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ湍M精度的

15、等級(jí)劃分如下表。通過以上檢驗(yàn)，如果相對(duì)誤差、關(guān)聯(lián)度、均方差比值、 小誤差概率都在允許范圍之內(nèi)時(shí)，則可用所建模進(jìn)行預(yù) 測(cè)，否則應(yīng)進(jìn)行殘差修正。表預(yù)測(cè)精度等級(jí)劃分指標(biāo)臨界值相對(duì)誤差關(guān)聯(lián)度均方差比值小誤差概率ac。p0精度等級(jí)一級(jí)0.010.900.350.95二級(jí)0.050.800.500.80三級(jí)0.100.700.650.70四級(jí)0.200.600.800.60gm(1,1)模型經(jīng)以上檢驗(yàn)合格后可用于預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)公式為:x(0)(o = x(1)(o-x(1)(i-l)式中： x(o)(t) i時(shí)期預(yù)測(cè)值。£,x(1)(z-l)生成數(shù)列預(yù)測(cè)值，按丘g+1)計(jì)算。對(duì)于數(shù)列預(yù)測(cè)，要建立多

16、個(gè)預(yù)測(cè)模型，得到多組預(yù)測(cè)值， 然后進(jìn)行分析，從中確定出一個(gè)合適的預(yù)測(cè)模型，以取定 一組合適的預(yù)測(cè)值。對(duì)于一組數(shù)列，要建立多個(gè)預(yù)測(cè)模型，是通過對(duì)原始數(shù) 列進(jìn)行不同的取舍，形成新的數(shù)列，即對(duì)數(shù)列中的數(shù)據(jù)用 不同的組合方式和取舍方式派生出新的數(shù)列，對(duì)原始數(shù)列 和派生出來(lái)的新數(shù)據(jù)都建立預(yù)測(cè)模型，這樣就對(duì)一個(gè)數(shù)列 建立了多個(gè)預(yù)測(cè)模型。例如有下述原始數(shù)列：兀(0)=(兀(0),*0)(2), x(0) (3),x(0) (8)對(duì)x(0)中的數(shù)據(jù)可用如下取舍:x：o)=(兀(。),兀(。),兀(。),卅)，兀) £°)=(卅)(2)用°)(3)卅)(4),卅)(5),卅) xy

17、)= (x(0) (3), x(0) (4), x(0) (5), x(0) (6), x(0) (7) xj = (h)(4),*°)(5),h)(6),h)(7),h)(8)這樣就形成了四個(gè)新數(shù)列：,再加上原始數(shù)列，就可建立五個(gè)gm (1, 1)模型。3模型的改進(jìn)一、用殘差模型進(jìn)行修正若用原始時(shí)間序列 0)建立的gm(1,1)模型 檢驗(yàn)不合格或精度不理想時(shí)，則可用gm (1, 1) 殘差模型進(jìn)行修正以提高原gm (1, 1)模型的預(yù) 測(cè)精度，從而達(dá)到改進(jìn)目的。如有原始數(shù)列由該gm (1,(1) gm (1, 1)殘差模型x(0),并已建立gm (1, 1)模型x(1)(i +1)

18、 = f x(o)(l) - -le-01 + -i a) a1)模型可得生成數(shù)列x的模擬值x(1)01)=(至/,，丘s)記生成數(shù)列x與其模擬值 亡(1)之差為r叫則有占（力=兀（力仝（力式中：j開始進(jìn)行殘差修正的原始數(shù)列x（°）的數(shù)據(jù)序號(hào)；（o）（j）第j個(gè)生成數(shù)據(jù)與其模擬值的偏差。如果取j =他,&）+1,則可建模的殘差尾段為£（0） = （*（0）（硼,#（0）（他 +l）|,.,|f（o）（w）|）注意：八）必須滿足（o）（j）9j >0符號(hào)一致；n-0 >4將上述的殘差尾段仍記為艸=（£（°）（他）,艸（心 +1）,

19、63;%）（0）的的一次累加生成數(shù)列為。rd =（占）（心）,£（】）（心 +1）,£仃）（m）對(duì)占 建立gm （1, 1）模型有：公（氐+1）=9°）（心）一）+ ?, & n 心、a ja對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)得殘差尾段£（°）的模擬序列鉀=（評(píng)（他）,鉀（他+1）,胛（"）其中丹）（&+ 1） = （-«'）八）（心）一丄 e-a'kk k>kqi a丿用公修正累加序列x的模擬序列x(1)則得則得x 的殘差修正gm (1, 1)模型，'心/八b、< a) (x(o)(l)- e

20、 ia)k <k0a皿 +®±£(0)仇 +1)2心 a式中的正負(fù)號(hào)應(yīng)與殘差尾段£(°)的符號(hào)保持一致。二、對(duì)gm(1,1)模型的其它改進(jìn)方法(1) 新信息gm (1, 1)模型不斷地補(bǔ)充新出現(xiàn)的信息, 即在預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的值時(shí)，將最新的信息加入。此模型 隨著時(shí)間推移，序列長(zhǎng)度會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)；(2) 新陳代謝gm (1, 1)模型即新信息出現(xiàn)后，將老 信息去掉，加入新信息，保持序列長(zhǎng)度不變；(3) gm (1, 1)模型群法用原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)建立 多個(gè)gm (1, 1)模型，給出預(yù)測(cè)值的區(qū)間；4灰色預(yù)測(cè)實(shí)例預(yù)測(cè)實(shí)仮原始數(shù)據(jù)x(0) = (x(0

21、)，x(0) (2)，x(0) (3)，x(0) (4)=(27260,29547,32411，35388)(1)求原始序列的一屆累加生成x=(兀，兀(2)，兀(3)，兀)=(27260,56806,89218,124606)p(k) =x(o)(k)對(duì)無(wú)作準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律性檢驗(yàn)兀(氐)x(o)(k-l)(4)作x的緊鄰均值生成序列z并且確定b，yz仏)=05(兀仏)+兀仏一1)-z(1)(2) 1-42033.5 1'(0)(2f_29547_b =-z (3) 1-73012.5 1y =兀32411-z (4) 1-106612 1x(o)(4)35388= (btb)1bty =25

22、790.2按最小二乘法確定a，b的估計(jì)值(6)確定模型百-0.089995兀=25790.2其時(shí)間響應(yīng)式(x(1k + 1) = 313834,39995* _ 286574x(0)(a; + 1) = xa)(k + 1) x(1)(zr)并得衛(wèi)的模擬值x(0) = (x(o)(l),x(o)(2),x(o)(3),x(o)(4)=(27260,29553,32337,35381)(7)檢驗(yàn)誤差相對(duì)誤差檢驗(yàn)殘差序列£(。)=(0),£(0)(2),嚴(yán)(3),£(°)=(0, “,74,7)相對(duì)誤差序列a = (apa2,a3a4) = (0,0.000

23、2,0.00228,0.0002)_ 1 4平均相對(duì)誤差：a = ylaz 1 = 0.067% <0.01模擬誤差：a4=0.02%<0.01,精度為一級(jí)。關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)：997>090,關(guān)聯(lián)度為一級(jí)。均方差比檢驗(yàn)：元=3115.5, s = 6103.48, e = 18.75, s2 = 64 46 c =雖=0.01 v 035,均方差比值為級(jí)。si小誤差概率:0.6745s =4116. &p = p 曲）-刃< 0.6745 s j = 1 > 095, 小誤差概率為級(jí)。(8)預(yù)測(cè)應(yīng)用|x(1) (k + l) = 313834/剛995" _ 286574 tx(0)(a： + l) = x(1)(zr + l)-x(1)(a;)可得x的兩個(gè)預(yù)測(cè)值如下:x(0) = (x(0) (5), x(0) (6)=(38714,42359)、火乂歡伙！jz/達(dá)指序列中有異常值，是異常值可能