第一章_離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

1、第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)信號(hào)與信息 信號(hào)是信息的表現(xiàn)形式信息則是信號(hào)的具體內(nèi)容交通燈信號(hào)傳遞的信息：紅燈停而綠燈行。信號(hào)是傳遞信息的函數(shù)信號(hào)的表示數(shù)學(xué)上表示成一個(gè)或多個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)一維變量：時(shí)間或其它參量語音信號(hào)表示為一個(gè)時(shí)間變量的函數(shù)靜止圖像信號(hào)表示為兩個(gè)空間變量的亮度函數(shù)信號(hào)的分類連續(xù)時(shí)間信號(hào)：連續(xù)時(shí)間域內(nèi)的信號(hào)，幅度可以是連續(xù)數(shù)值，或是離散數(shù)值離散時(shí)間信號(hào)：離散時(shí)間點(diǎn)上的信號(hào)，幅度同樣可以是連續(xù)數(shù)值，或是離散數(shù)值特殊形式：模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)模擬信號(hào)：時(shí)間和幅度都是連續(xù)數(shù)值的信號(hào)，實(shí)際中與連續(xù)時(shí)間信號(hào)常常通用。數(shù)字信號(hào)：時(shí)間和幅度都離散化的信號(hào)。1.1 離散時(shí)間信號(hào)序列序列的定義及

2、表示序列的定義數(shù)字序列：離散時(shí)間信號(hào)一般只在均勻間隔的離散時(shí)間nT上給出數(shù)值序列的表示x = x(n)， -n+ (1.1)圖1.1 圖形表示用單位脈沖序列表示x = x(n)， -n+n 代表nT；T 指間隔的離散時(shí)間；nT 指均勻間隔的離散時(shí)間；n 為非整數(shù)時(shí)沒有定義，不能認(rèn)為此時(shí)x(n)的值是零1.1.2 序列的基本運(yùn)算和、積、移位、標(biāo)乘、翻轉(zhuǎn)累加、差分、時(shí)間尺度變換、序列的能量、卷積和基本運(yùn)算1序列的和：設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)= x(n)+ y(n) (1.2) 表示兩個(gè)序列的和，定義為同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加。例1.1 設(shè)序列計(jì)算序列的和x(n)+ y(n)。解

3、： 基本運(yùn)算2序列的積：設(shè)序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)= x(n) y(n) (1.3) 表示兩個(gè)序列的積，定義為同序號(hào)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。例1.1 計(jì)算序列的和x(n) y(n)。解： 基本運(yùn)算3序列的移位：設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)= x(n-m) (1.4)表示將序列x(n)進(jìn)行移位。m為正時(shí)x(n -m)：x(n)逐項(xiàng)依次延時(shí)(右移)m位x(n+m)：x(n)逐項(xiàng)依次超前(左移)m位 m為負(fù)時(shí)，則相反。例1.1 計(jì)算序列的和x(n+1)。解： 基本運(yùn)算4序列的標(biāo)乘：設(shè)序列為x(n)，a為常數(shù)(a 0)，則序列y(n)= ax(n) (1.5) 表示將序列x(n)的標(biāo)

4、乘，定義為各序列值均乘以a，使新序列的幅度為原序列的a倍。例1.1 計(jì)算序列的和4x(n)。解： 基本運(yùn)算5序列的翻轉(zhuǎn)（翻褶）：設(shè)序列為x(n)，則序列y(n)= x(-n) (1.6) 表示以n= 0的縱軸為對(duì)稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。例1.1 計(jì)算序列的翻轉(zhuǎn)x(-n)解： 基本運(yùn)算6序列的累加：設(shè)序列為x(n)，則序列 (1.7) 定義為對(duì)x(n)的累加，表示將n 以前的所有x(n)值求和?；具\(yùn)算7序列的差分：前向差分：將序列先進(jìn)行左移，再相減 后向差分：將序列先進(jìn)行右移，再相減x(n) = x(n+1)- x(n) (1.8) x(n) = x(n)- x(n-1) (1.9)由此，

5、容易得出 x(n) = x(n-1)二階前向差分二階后向差分 單位延遲算子D，有 Dy(n)= y(n-1) y(n)= y(n)- y(n-1)= y(n)- Dy(n)= (1- D)y(n)= 1-D 二階后向差分k 階后向差分(按二項(xiàng)式定理展開)基本運(yùn)算8時(shí)間尺度(比例)變換：設(shè)序列為x(n)，m為正整數(shù)，則序列 抽取序列y(n)= x(mn) (1.10)插值序列 (1.11)x(mn) 和x(n/m)定義為對(duì)x(n)的時(shí)間尺度變換。抽取序列x(nm)：對(duì)x(n)進(jìn)行抽取運(yùn)算 不是簡單在時(shí)間軸上按比例增加到m倍 以1/m倍的取樣頻率每隔m-1個(gè)點(diǎn)抽取1點(diǎn)。 保留 x(0) 插值序列x

6、(n/m) ：對(duì)x(n)進(jìn)行插值運(yùn)算表示在原序列x(n)相鄰兩點(diǎn)之間插入m-1個(gè)零值點(diǎn)保留 x(0)基本運(yùn)算9序列的能量設(shè)序列為x(n)，則序列 (1.12) 定義為序列的能量，表示序列各取樣值的平方之和； 若為復(fù)序列，取模值后再求平方和?；具\(yùn)算10序列的卷積和設(shè)序列為x(n)和z(n)，則序列 (1.13) 定義為x(n)和z(n)的卷積和。卷積和又稱為離散卷積或線性卷積，是很重要的公式。卷積和計(jì)算的四個(gè)步驟翻轉(zhuǎn)：x(m) ，z(m) z(-m)移位：z(-m) z(n-m) n為正數(shù)時(shí)，右移n位R4(n)0123n01mh( m)23h(n)0123nmx(m)0123mh(1 m)21

7、11110123mh(2 m)11023ny(n)1112344567 n為負(fù)數(shù)時(shí)，左移n位 相乘：z(n-m) x(m) （m值相同） 相加：y(n) =z(n-m) x(m)例1.2：x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：當(dāng)當(dāng)n+1 0n3 y(n)= 7-n 4n6 0 其它例1.3：設(shè)序列求y(n)= x(n)*z(n) 。解： n0時(shí)，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)=0。0n4時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘！4n6時(shí)， 4n6時(shí)， n10時(shí)，x(m)與z(n-m)沒有重疊，得y(n)= 0。 卷積和又稱為序列的線性卷積。設(shè)兩序列的長度

8、分別是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)。線性卷積性質(zhì)：性質(zhì)1：交換律、結(jié)合律和分配律。 x(n)*h(n)=h(n)*x(n) x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)性質(zhì)2：序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身。 推 論：1.2 幾種常用序列單位脈沖序列、單位階躍序列、矩形序列、實(shí)指數(shù)序列 、正弦序列 、復(fù)指數(shù)序列 單位脈沖序列（單位抽樣）：(n)只在n =0時(shí)取確定值1，其它均為零 (n)類似于(t)(n-m)只有在n= m時(shí)取確定值1，而其余點(diǎn)取值均為零 單位階躍

9、序列u(n)類似于u(t)u(t)在t= 0時(shí)常不定義，u(n)在n= 0時(shí)為u(0)= 1 (n)和u(n)的關(guān)系：(n) = u(n)-u(n-1) 單位矩形序列N 為矩形序列的長度 和u(n)、(n)的關(guān)系 ：實(shí)指數(shù)序列 a為實(shí)數(shù)當(dāng)|a|1時(shí)序列收斂 當(dāng)|a|1時(shí)序列發(fā)散 正弦序列 x(n)= Asin(n+) A為幅度、為數(shù)字域角頻率、為起始相位 x(n)由x(t)= sint 取樣得到歸一化: =T =/fs (與線性關(guān)系 )復(fù)指數(shù)序列 為數(shù)字域角頻率用實(shí)部與虛部表示 用極坐標(biāo)表示 =0時(shí)，序列具有以2為周期的周期性 1.3 序列的周期性 對(duì)于序列x(n)，如果對(duì)所有n 存在一個(gè)最小

10、的正整數(shù)N，滿足x(n)= x(n+N)則序列x(n)是周期序列 ，最小周期為N 。以正弦序列 為例討論周期性 設(shè) x(n)= Asin(n+) 則有 x(n+N) =Asin(n+N)+ =Asin(N+n+) 若滿足條件N= 2k，則x(n+N)= Asin(n+N)+ = Asin(n+) = x(n)N、k 為整數(shù)，k 的取值滿足條件，且保證N 最小正整數(shù)。其周期為 2/為整數(shù)時(shí)，取k = 1，保證為最小正整數(shù)。此時(shí)為周期序列，周期為2/。 例1.4 序列 ，因?yàn)?/= 8，所以是一個(gè)周期序列，其周期N= 8。 2/為有理數(shù)而非整數(shù)時(shí)，仍然是周期序列，周期大于2/。例1.5 序列 ，2/=