復變函數(shù)與積分變換全集15北工大學習教案

1、會計學1復變函數(shù)與積分變換全集復變函數(shù)與積分變換全集15北工大北工大第一頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第1頁/共40頁第二頁，編輯于星期一：十點 五十五分。, 2, 1, 0,)62keezikz第2頁/共40頁第三頁，編輯于星期一：十點 五十五分。證明性質(zhì)證明性質(zhì)4）)exp(expexp2121zzzz 證明：證明： , , 222111iyxziyxz 設設21expexpzz 左端左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121

2、yyiyyexx .)exp(21右端右端 zz第3頁/共40頁第四頁，編輯于星期一：十點 五十五分。 , exp ,的周期性的周期性可以推出可以推出根據(jù)加法定理根據(jù)加法定理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(為任何整數(shù)為任何整數(shù)其中其中k . 所沒有的所沒有的該性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)該性質(zhì)是實變指數(shù)函數(shù)xe例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設設解：解：)sin(cos yiyeeexiyxz 因為因為 .cos)Re( , yeeeexzxz 實部實部所以其模所以其模第4頁/共40頁第五頁，編輯于星期一：十點

3、五十五分。zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 第5頁/共40頁第六頁，編輯于星期一：十點 五十五分。例例2 的周期的周期求函數(shù)求函數(shù). )( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函數(shù)故函數(shù).10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 第6頁/共40頁第七頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第7頁/共40頁第八頁，編輯

4、于星期一：十點 五十五分。第8頁/共40頁第九頁，編輯于星期一：十點 五十五分。.sin)(cos,cos)(sinzzzz第9頁/共40頁第十頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第10頁/共40頁第十一頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第11頁/共40頁第十二頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第12頁/共40頁第十三頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第13頁/共40頁第十四頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第14頁/共40頁第十五頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第15頁/共40頁第十六頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第16頁/共40頁第十七頁，編輯于星期一：十點 五十五分。例例2 2解解

5、, iyxz 設設 . 1sinhsin iz 解方程解方程)sin(sinyixz yxiyxsinhcoscoshsin , 1sinhi 0,coshsin yx故有故有1sinsinhcos yx, 0cosh y因為因為, 0sin x所以所以, kx 代入代入將將 kx 1sinsinhcos yx, 1sinh)1(sinhky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz 即即第17頁/共40頁第十八頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第18頁/共40頁第十九頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第19頁/共40頁第二十頁，編輯于星期

6、一：十點 五十五分。例例1 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應的主值以及與它們相應的主值求求 ,22ln2Ln ik 因為因為 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因為因為 )()12(為整數(shù)為整數(shù)kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以 注意注意: 在實變函數(shù)中在實變函數(shù)中, 負數(shù)無對數(shù)負數(shù)無對數(shù), 而復變數(shù)對數(shù)函而復變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.第20頁/共40頁第二十一頁，編輯于星期一：十點 五十五分。例例2解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因為因為)31(Ln iz 所

7、以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k第21頁/共40頁第二十二頁，編輯于星期一：十點 五十五分。例例3解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k第22頁/共40頁第二十三頁，編輯于星期一：十點 五十五分。.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki23

8、3arctan32ln第23頁/共40頁第二十四頁，編輯于星期一：十點 五十五分。其它其它性質(zhì)：性質(zhì)：,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處可導處處可導和其它各分支處處連續(xù)和其它各分支處處連續(xù)主值支主值支的復平面內(nèi)的復平面內(nèi)包括原點包括原點在除去負實軸在除去負實軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 第24頁/共40頁第二十五頁，編輯于星期一：十點 五十五分。證證 (3) , iyxz 設設,0時時當當 x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,處處連續(xù)處處連續(xù)在復平面內(nèi)其它點在復平面內(nèi)其它點除原點與負實

9、軸除原點與負實軸所以所以z , ln arg是單值的是單值的內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域zwzezw wezzwdd1dlnd 證畢證畢.1z 第25頁/共40頁第二十六頁，編輯于星期一：十點 五十五分。ba1） 乘冪的定義乘冪的定義 , , , Lnabbeaba定義為定義為乘冪乘冪復數(shù)復數(shù)為任意一個為任意一個為不等于零的一個復數(shù)為不等于零的一個復數(shù)設設 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa , )1(為整數(shù)時為整數(shù)時當當b Lnabbea )2arg(ln kaiabe 第26頁/共40頁

10、第二十七頁，編輯于星期一：十點 五十五分。ikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具有單一的值具有單一的值ba ,0) ,( )2(時時為互質(zhì)的整數(shù)為互質(zhì)的整數(shù)與與當當 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea )2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 個值個值具有具有qab .)1( , 2 , 1 , 0 時相應的值時相應的值即取即取 qk第27頁/共40頁第二十八頁，編輯于星期一：十點 五十五分。特殊情況特殊情況: ,)( )1時時正整數(shù)正整數(shù)當當nb Lnannea LnLnLnaaae ) (項

11、項指數(shù)指數(shù) n LnLnLnaaaeee ) (個個因子因子n. aaa ) (個個因子因子n ,)( 1 )2時時分數(shù)分數(shù)當當nb Ln11annea nkainkaean2argsin2argcos ln1第28頁/共40頁第二十九頁，編輯于星期一：十點 五十五分。 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的冪函數(shù)就得到一般的冪函數(shù)為一復變數(shù)為一復變數(shù)如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函數(shù)的反函數(shù)及及數(shù)數(shù)就分別得到通常的冪函就分別得到通常的冪函時時與與當當?shù)?9頁/共40頁

12、第三十頁，編輯于星期一：十點 五十五分。例例1 1 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案課堂練習課堂練習.3)( 5 計算計算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik第30頁/共40頁第三十一頁，編輯于星期一：十點 五十五分。例例2 2 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(A

13、rg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii 第31頁/共40頁第三十二頁，編輯于星期一：十點 五十五分。2).冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 , )1(的的在復平面內(nèi)是單值解析在復平面內(nèi)是單值解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz .)(1 nnnzz . , )2(1個分支個分支具有具有是多值函數(shù)是多值函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)nzn它的它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn第32頁/共40頁第三十三頁，編輯于星期一

14、：十點 五十五分。它的它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的解析的, ,) 1 ( (3)也是一個多值函數(shù)也是一個多值函數(shù)兩種情況外兩種情況外與與除去除去冪函數(shù)冪函數(shù)nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是無窮多值的是無窮多值的為無理數(shù)或負數(shù)時為無理數(shù)或負數(shù)時當當b第33頁/共40頁第三十四頁，編輯于星期一：十點 五十五分。次方的區(qū)別。的與討論指數(shù)函數(shù)zeez).2exp()21 (exp)lnexp(zkiekizezzez次方的. 1)2exp() 1zkiz是整數(shù)時，例7解:. 1, 2 , 1 , 0).2exp()2mkmnkie

15、mnemnzmn次方的時，.0mnemnek次方的時，只有第34頁/共40頁第三十五頁，編輯于星期一：十點 五十五分。.0.)2exp()3zezekzkiz次方的時，只有有無窮多值是無理數(shù)時，.0.)2exp(0)42ibbkeibekeibkiabibz次方的時，只有）時，（是純虛數(shù).0).2exp()(2exp0)52ibabkeibekakieibakiabibaz次方的時，只有）時，（第35頁/共40頁第三十六頁，編輯于星期一：十點 五十五分。作業(yè):P55: 241); 3), 261); 3), 271); 3), 第36頁/共40頁第三十七頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第一章第一章 復習提綱復習提綱1. 熟悉復數(shù)的定義熟悉復數(shù)的定義,模模,幅角幅角, 復數(shù)的指數(shù)表示復數(shù)的指數(shù)表示 和三角表示和三角表示.2. 掌握復數(shù)的運算: 四則運算, 乘方和開方.3. 熟悉實變和復變復值函數(shù)的極限, 連續(xù), 可導等概念及性質(zhì)和運算法則.第37頁/共40頁第三十八頁，編輯于星期一：十點 五十五分。第一章第一章 復習提綱復習提綱4. 掌握函數(shù)在一點解析的定義掌握函數(shù)在一點解析的定義,熟悉函數(shù)在一熟悉函數(shù)在一點解析與可導的區(qū)別點解析與可導的區(qū)別.5. 掌握函數(shù)在一點可導的充要條件掌握函數(shù)在一點可導的充要條件.掌握