復(fù)數(shù)的幾何表示學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示(biosh)第一頁(yè)，共26頁(yè)。1.1.用復(fù)平面上的點(diǎn)表示用復(fù)平面上的點(diǎn)表示(biosh)(biosh)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ( , ). zxiyx y復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)與與有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng).故故用用直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)可可以以用用來(lái)來(lái)表表示示復(fù)復(fù)數(shù)數(shù), . xy復(fù)復(fù)平平面面實(shí)實(shí)把把該該直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)面面稱稱為為軸軸叫叫軸軸虛虛軸軸叫叫軸軸(2,2)z =2+2i(虛軸虛軸)(實(shí)軸實(shí)軸)第1頁(yè)/共25頁(yè)第二頁(yè)，共26頁(yè)。zxiyxyoiyxz P注意：注意： 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z z，點(diǎn)，點(diǎn) z z，向量，向量(xingling) z (xingl

2、ing) z 可視可視為同一個(gè)概念。為同一個(gè)概念。2.2.用復(fù)平面上的向量表示用復(fù)平面上的向量表示(biosh)(biosh)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z向量向量 與復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)(fsh) (fsh) 一一對(duì)應(yīng)，故用它表示復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，故用它表示復(fù)數(shù)(fsh).(fsh).OP y i yxz xOxyr zxy i z 與與 z 在復(fù)平面上關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱在復(fù)平面上關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱. .第2頁(yè)/共25頁(yè)第三頁(yè)，共26頁(yè)。22 .zrxy容易容易(rngy)(rngy)看出，看出，,xz,yz,zxy22,z zzz二、復(fù)數(shù)的模和幅角二、復(fù)數(shù)的模和幅角 zzxyoiyxz P記作記作zxiy復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(fsh)z (fsh

3、)z 的模：向量的模：向量 的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度，OP ryx第3頁(yè)/共25頁(yè)第四頁(yè)，共26頁(yè)。注意注意(zh (zh y):y):02.zk2) 任2) 任意意復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的輻輻角角有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)，相相差差向量向量(xingling) (xingling) 的方向角的方向角 . .OP y i yxz xOxy 2) 02) 0的模為零，的模為零，0 0的輻角不確定的輻角不確定(qudng).(qudng).) tan().yArgzx1記作記作滿足滿足 的那個(gè)幅角的那個(gè)幅角. . 記作記作arg.z復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z 的輻角：的輻角：Arg . z3)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z z的幅角主值的幅角主值: :于是幅角

4、與幅角主值的關(guān)系于是幅角與幅角主值的關(guān)系A(chǔ)rgarg2,zzk0,1,2,.k 第4頁(yè)/共25頁(yè)第五頁(yè)，共26頁(yè)。arctan(,)2 2yx 其中.argz0,0,xy0,0.xyarctan,yx,2arctan,yx0,或y Oxy幅角主值的計(jì)算幅角主值的計(jì)算(j sun):(j sun):若若z z在第一在第一(dy)(dy)、四象限；、四象限；若若z z在第二在第二(d r)(d r)、三象限；、三象限；若若若若z x iy arg(, z 注意.zx iy 第5頁(yè)/共25頁(yè)第六頁(yè)，共26頁(yè)。zxy例例1 1 求求 的模和幅角：的模和幅角：z22| |2 .zxyArgarg2zzk

5、32,4k0,1,2,.k 由于由于z z 位于位于(wiy)(wiy)第二象限，第二象限，arctan( 1)解解 (1) 1;zi (2) .zi(2) 1,z arg,2zArgarg2zzk22kzargz,4arctanyx ( (1)1)模為模為第6頁(yè)/共25頁(yè)第七頁(yè)，共26頁(yè)。1argarctan()3z22(1)1iizii解解3. i 22| |( 3)( 1)10,z 1arctan3.xy3 1 由于由于z z 位于位于(wiy)(wiy)第三象限，第三象限，arctanyxarctanyxarctanyx arctanyx 第7頁(yè)/共25頁(yè)第八頁(yè)，共26頁(yè)。xyo1z2

6、z21zz 兩復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算兩復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算(yn sun)(yn sun)滿足向量的平行四邊滿足向量的平行四邊形法則，形法則，例例2 2 證明證明(zhngmng)(zhngmng)復(fù)平面上的三角不等式復(fù)平面上的三角不等式證證1212 , zzzz且且表表示示點(diǎn)點(diǎn)和和之之間間的的距距離離 故故成成立立不不等等式式. .1z2z21zz 1z1212(2).zzzz1212(1);zzzz第8頁(yè)/共25頁(yè)第九頁(yè)，共26頁(yè)。例例3 3求下列在復(fù)平面求下列在復(fù)平面(pngmin)(pngmin)上所表示的曲上所表示的曲線線: :. 4)Im()3(;22)2(; 2)1( ziziziz解解.2

7、2 )1(的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡為為距離距離表示所有與點(diǎn)表示所有與點(diǎn)方程方程iiz .2 ,的圓的圓半徑為半徑為即表示中心為即表示中心為i , iyxz 設(shè)設(shè), 2)1( iyx, 2)1(22 yx. 4)1( 22 yx圓方程圓方程xyo-i第9頁(yè)/共25頁(yè)第十頁(yè)，共26頁(yè)。22)2( ziz表表示示所所有有與與點(diǎn)點(diǎn)和和距距離離相相等等的的垂垂直直平平分分線線. .22i , iyxz 設(shè)設(shè),22 yixiyix化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 設(shè)設(shè),)1(iyxzi , 41)Im( yzi. 3 y所求曲線方程為所求曲線方程為2i 2第10頁(yè)/共25頁(yè)第十一頁(yè)

8、，共26頁(yè)。利用直角坐標(biāo)利用直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)與與極坐標(biāo)的關(guān)系極坐標(biāo)的關(guān)系cos ,sin ,xryr則則z z也可以也可以(ky)(ky)表示成表示成(cossin )zxiyri再利用再利用(lyng)(lyng)歐拉公式歐拉公式cossin ,ieiizxiyrei yxz Oxyr 則則z也可以表示成也可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的三角表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式第11頁(yè)/共25頁(yè)第十二頁(yè)，共26頁(yè)。| |1244,z 解解2argarctan()12z xy212 1arctan3 6 .65 554(cossin).66

9、zi復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的三角表示式為的三角表示式為z564.ize復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 的指數(shù)表示式為的指數(shù)表示式為z習(xí)慣習(xí)慣(xgun)(xgun)上取主輻角上取主輻角例例4 4 第12頁(yè)/共25頁(yè)第十三頁(yè)，共26頁(yè)。例例5 5 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示將下列復(fù)數(shù)化為三角表示(biosh)(biosh)式與指式與指數(shù)表示數(shù)表示(biosh)(biosh)式式: :sincos;55zi解解1,rzsincos5253cos,10cossin5253sin,10故三角故三角(snjio)(snjio)表示式表示式為為33cossin,1010zi指數(shù)指數(shù)(zhsh)(zhsh)表示表示式為式為310.ize第13頁(yè)

10、/共25頁(yè)第十四頁(yè)，共26頁(yè)。1.1.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(fsh)(fsh)的模、輻角、幅角主值的模、輻角、幅角主值; ;2.2.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(fsh)(fsh)的各種表示法的各種表示法. . 內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)各種表示法可相互各種表示法可相互(xingh)(xingh)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化, ,第14頁(yè)/共25頁(yè)第十五頁(yè)，共26頁(yè)。1.1.是否是否(sh fu)(sh fu)任意復(fù)數(shù)任意復(fù)數(shù)都有輻角都有輻角? ?思考題思考題它的模為零而輻角不確定它的模為零而輻角不確定(qudng).(qudng).第15頁(yè)/共25頁(yè)第十六頁(yè)，共26頁(yè)。作業(yè)作業(yè)(zuy)(zuy)習(xí)題習(xí)題(xt)(xt)一一: 1(2)(

11、4): 1(2)(4)、2 2、4(1)(6)4(1)(6)7,8(3)(4)(5)7,8(3)(4)(5)第16頁(yè)/共25頁(yè)第十七頁(yè)，共26頁(yè)。例例4 4. 222111表表示示線線用用復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)形形式式的的方方程程來(lái)來(lái)的的直直與與將將通通過(guò)過(guò)兩兩點(diǎn)點(diǎn)iyxziyxz 解解 ),( ),( 2211的直線的方程的直線的方程與與通過(guò)兩點(diǎn)通過(guò)兩點(diǎn)yxyx )()( 121121 yytyyxxtxx),( t參數(shù)參數(shù)所以它的復(fù)數(shù)所以它的復(fù)數(shù)(fsh)形式的參數(shù)方程為形式的參數(shù)方程為(復(fù)方程復(fù)方程)(121zztzz ),( t參數(shù)參數(shù)第17頁(yè)/共25頁(yè)第十八頁(yè)，共26頁(yè)。 ,21的直線段的參數(shù)方程

12、為的直線段的參數(shù)方程為到到由由故故zz 10)(121 tzztzz ,21 t若取若取 21的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為得線段得線段zz.221zzz 第18頁(yè)/共25頁(yè)第十九頁(yè)，共26頁(yè)。1 12 2i3i3 (1)1 1(2)例例5 5求下列復(fù)方程求下列復(fù)方程(fngchng)(fngchng)所表示所表示的曲線的曲線: :2(1)114;(2)Re()1.zzz , iyxz 設(shè)設(shè)代入復(fù)方程代入復(fù)方程(fngchng)得得 22143xy第19頁(yè)/共25頁(yè)第二十頁(yè)，共26頁(yè)。1.1.南極南極(nnj)(nnj)、北極的、北極的定義定義 , 0 的球面的球面點(diǎn)點(diǎn)取一個(gè)與復(fù)平面切于原取一個(gè)與復(fù)

13、平面切于原 z , 與原點(diǎn)重合與原點(diǎn)重合球面上一點(diǎn)球面上一點(diǎn) S , NS點(diǎn)點(diǎn)直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過(guò)通過(guò) . , 為為南南極極為為北北極極我我們們稱稱SNxyPNOS第20頁(yè)/共25頁(yè)第二十一頁(yè)，共26頁(yè)。球面球面(qimin)(qimin)上的點(diǎn)，除去北極上的點(diǎn)，除去北極 N N 外，與復(fù)平外，與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. . 我們可以我們可以用球面用球面(qimin)(qimin)上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù). .規(guī)定：復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的規(guī)定：復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大無(wú)窮大”與復(fù)平面與復(fù)

14、平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), , 記作記作. . 因而球面上的北因而球面上的北極極(bij) N (bij) N 就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大的幾何表示的幾何表示. .球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一(wi y)(wi y)的復(fù)數(shù)與的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)之對(duì)應(yīng), , 這樣的球面稱為復(fù)球面這樣的球面稱為復(fù)球面. .2.2.復(fù)球面的定義復(fù)球面的定義第21頁(yè)/共25頁(yè)第二十二頁(yè)，共26頁(yè)。3.3.擴(kuò)充復(fù)平面擴(kuò)充復(fù)平面(pngmin)(pngmin)的定義的定義包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為(chn wi)(chn wi)擴(kuò)擴(kuò)充復(fù)平面充復(fù)平面. .不包括

15、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為(chn wi)(chn wi)有限復(fù)平面有限復(fù)平面, , 或簡(jiǎn)稱復(fù)平面或簡(jiǎn)稱復(fù)平面. .對(duì)于復(fù)數(shù)對(duì)于復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō)，實(shí)部、虛部、輻角等概念均來(lái)說(shuō)，實(shí)部、虛部、輻角等概念均無(wú)意義，它的無(wú)意義，它的模模規(guī)定為規(guī)定為正無(wú)窮大正無(wú)窮大. .復(fù)球面的復(fù)球面的優(yōu)越處優(yōu)越處: :能將擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái)能將擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái). .第22頁(yè)/共25頁(yè)第二十三頁(yè)，共26頁(yè)。 : 的四則運(yùn)算規(guī)定如下的四則運(yùn)算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )1( 加法加法)(, : )2( 減法減法)0(, : )3( 乘法乘法)0( ,0),( , 0 : )4( 除法除法第23頁(yè)/共25頁(yè)第二十四頁(yè)，共26頁(yè)。A為了用球面上