2020年甘肅省高三第二次診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題-含答案

1、2020 年甘肅省高三第二次診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、選擇題(每小題 5 分，共 60 分下列每小題所給選項(xiàng)只有一項(xiàng)符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上)1集合 A2 xxx20，B0 ，則 AU B= ().A. x x 1B.x1C. x x 2D.2純虛數(shù) z 滿足2 4i ，則 z 的共軛復(fù)數(shù)為(A. 2iB.2iC. 4iD.4i3各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a12，數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和為 Sn,S3 2 3 2 .則 a7A8 2 B 7 2 15 2 144在A.uuuur uuurABC中， CM 2MB ， uuuurMNC.2uuur2AB31 uuur1 AC6B

2、.uuuurMN2uuur2 AB37 uuur7 AC61 uuur2uuuruuuur7 uuur2uuur1 AC2 ABD.MN7 AC2 AB63630，則()x ，則函數(shù) f(x)稱作取整函數(shù)，xuuurANuuurCNuuuurMN5把不超過實(shí)數(shù) x 的最大整數(shù)記為又叫高斯函數(shù)， 在 1,4上任取 x ，則 x 2x 的概率為A 14B. 13C.D. 236函數(shù) y lg7設(shè)向量 a 3,3,b1, 1 ，若 a，則實(shí)數(shù)A3B 1C1D 3a8已知實(shí)數(shù)， b 滿足 1b1b1，則（）2211A. B.log2 alog2bC. a bD. sina sinbab19已知 cos

3、，則 sin 2 （ ）6 3 6A.B. 8C. 7D.2210已知雙曲線 x2 y2a2 b2 *1的左、右焦點(diǎn)分別為F1F2 ，過右焦點(diǎn) F2 作垂直于 x軸的弦 MN，交雙曲線于 M、N兩點(diǎn)，若 MF1N = ，則雙曲線的離心率 e=（）2A 2B 3CD 2 1211世紀(jì)德國著名的天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說過： “幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另 一個(gè)是黃金分割 .如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦 . ”黃 金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為 36 的等腰三角形（另一種是頂角為 108 的等腰三角形）

4、 . 例 如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè) 黃金 ABC 中， BCloga x 2,x 2， 1 .根據(jù)這些信息，可得 sin 234 （ ）AC 2A.125B.358C.51D.458ABCD5, 14, 2、填空題（每小題 5 分，共 20 分） 13將函數(shù) f x Asin wx （A 0,w 0, ） 的圖象向右平移 個(gè)單位，再將所有點(diǎn)2 12 的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的 2倍，得到 g x 2sin x的圖象，則 A w 1 n 114已知數(shù)列 an ，若數(shù)列 3n1an 的前n項(xiàng)和Tn6n，則 a5的值為.n n n 5 5 515某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三

5、天售出商品的種類情況：第一天售出19 種商品，第二天售出 13 種商品，第三天售出 18種商品；前兩天都售出的商品有 3種，后兩天都售出的商品有 4 種，則 該網(wǎng)店這三天售出的商品最少有 種16在三棱錐 A BCD中， AB AC,DB DC,AB DB 4,AB BD，則三棱錐 A BCD 外 接球的體積的最小值為 .三、解答題（本大題共 6小題，共 70 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本小題滿分 12 分）在公差不為 0 的等差數(shù)列 an 中， a1,a4,a8成等比數(shù)列，數(shù)列 an 的，數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 anan 1前 10項(xiàng)和為 45. （1）求數(shù)列 an

6、 的通項(xiàng)公式； （2）若 bnD為Tn，求 Tn.18（本小題滿分 12 分）如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱長均 2 為棱 BB1 （不包括端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)， E是 AB的中點(diǎn)（）若 AD A1C ，求 BD 的長；）當(dāng) D在棱BB1 （不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平面 ADC1與平面 ABC的夾角的余弦值的取值范圍19（本小題滿分 12 分）某學(xué)校共有 1000 名學(xué)生，其中男生400 人，為了解該校學(xué)生在學(xué)校的月消費(fèi)情況，采取分 層抽樣隨機(jī)抽取了 100 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查， 月消費(fèi)金額分布 在 450 950之間根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生在校月消費(fèi)金額的頻率分布直方圖如圖所示：將月消

7、費(fèi)金額不低于750 元的學(xué)生稱為“高消費(fèi)群” 1）求 a 的值，并估計(jì)該校學(xué)生月消費(fèi)金額的平均數(shù) （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從月消費(fèi)金額落在550,650） ，750,850） 內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取 10人，再從這 10 人中隨機(jī)抽取 3 人，記被抽取的 3 名學(xué)生中屬于“高消費(fèi)群”的學(xué)生人數(shù)為 隨機(jī)變量 X ，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望； （ 3）若樣本中屬于“高消費(fèi)群”的女生有 10 人， 完成下列 2 2 列聯(lián)表，并判斷是否有 97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與“性 別”有關(guān)？x220（本小題滿分 12 分）已知橢圓 C:a22by2 1

8、（a b 0） 的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連線參考公式：22 n(ad bc)K ，其中 n a b c d ) (a b)(c d)(a c)(b d)構(gòu)成等邊三角形，且橢圓 C的短軸長為 2 3 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； uuuuv uuuv2）是否存在過點(diǎn) P 0,2 的直線 l與橢圓 C相交于不同的兩點(diǎn) M ，N ，且滿足 OM ON 2O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由21（本小題滿分 12 分）已知函數(shù) f xlnx ， a R 1）當(dāng) a 2 時(shí)，求函數(shù) y f x 在點(diǎn)1,f 1處的切線方程；2）當(dāng) a 1 時(shí)，令函數(shù) g x f xlnx 2

9、x1 m ，若函數(shù) gx 在區(qū)間1,e e上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍2cos ,2 2sin ( 為參 選修 4-4 ：極坐標(biāo)與參數(shù)方程 22（本小題滿分 10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線M 的極坐標(biāo)方程為 2 sin2 32 0 .2（1）求曲線 C 的極坐標(biāo)方程；l 與曲線 M 的交（2）已知 為銳角，直線 l: R 與曲線 C 的交點(diǎn)為 A（異于極點(diǎn)）， 點(diǎn)為 B，若 OA OB 16 2，求 l 的直角坐標(biāo)方程 . 選修 4-5 ：不等式選講 123已知函數(shù) f x x 2a x a

10、 0 .aa 的取值范圍（1）當(dāng) a 1時(shí)，解不等式 f x1；（2）若不等式 f x 3 恒成立，求實(shí)數(shù)參考答案、選擇題（共 12小題，每小題 5分）題號123456789101112答案CBACBCDBCDCD、填空題（共 4小題，每小題 5分）8213、 4 6 14、16 15 、16，29 16 、 3三、解答題（本大題共6小題，共 70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）217. 解：設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 d ，由 a1, a4 , a8成等比數(shù)列可得 ， a42 a1 a8 ，即2 2 2 2a13da1a17d ，a16a1d9da17a1d ，d 0， a1

11、9d 3 分（1）由數(shù)列 an 的前 10項(xiàng)和為45，得 S10 10a1 45d 45，1即 90d 45d 45，故 d,a1 3 ，5 分31故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 ann8362） bn1anan 1n8n98Tn 9 1911111111010111112n8n910 分1n99nn 9 n 91218. 證明：（），由AC=BC， AE=BE，知 CE AB，又平面 ABC平面 ABB1A1，所以 CE平面 ABB1A1而AD? 平面 ABB1A1， ADCE，又 AD A1C所以 AD平面 A1CE，所以 ADA1E易知此時(shí) D為BB1的中點(diǎn)，故 BD=15 分）以 E為原點(diǎn)

12、， EB為 x 軸，EC為 y 軸，mv·nvvvm·n cos =1 43t 134 t2 t232t 7過 E 作垂直于平面 ABC的垂線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BD=t，則A（-1，0，0），D（1，0，t ），C1（0，3，2），uuuv AD=（2，0，uuuuvt ）， AC1 =（1，3，2），設(shè)平面ADC1的法向量v n=（x，y，z），vuuuvn·AD2x tz 0v1, 4 1 ,2則v uuuuv n·AC1 x3y 2z0取x=1，得 n1, 3t 3,t平面ABC的法向量 mv =（ 0，0，1），-9分設(shè)平面 AD

13、C1 與平面 ABC的夾角為，2212 分21 由于 t （ 02）, 故 cos（721 即平面 ADC1 與平面 ABC的夾角的余弦值的取值范圍為（7 ，19. （ 1）由題意知， 100（0.0015 a 0.0025 0.0015 0.001） 1，解得 a 0.0035，樣本的平均數(shù)為：x 500 0.15 600 0.35 700 0.25 800 0.15 900 0.10 670 （元），所以估計(jì)該校學(xué)生月消費(fèi)金額的平均數(shù)為 670 元4 分2）由題意，從 550,650） 中抽取 7人，從 750,850） 中抽取 3人隨機(jī)變量 X 的所有可能取值有 0，1，2， 3，C3k

14、C73 kC130k 0,1,2,3 )，所以，隨機(jī)變量 X 的分布列為35632119E(X) 012312012012012010隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望3）由題可知，樣本中男生8 分得出以下 2 2 列聯(lián)表：40 人，女生 60人，屬于“高消費(fèi)群”的 25人，其中女生 10人；22n(ad bc)2100 (10 25 15 50)2 50 5.556 5.024，(a b)(c d)(a c)(b d) 40 60 25 75 9所以有 97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與“性別”有關(guān) 12分20. 【解析】（1）由題意得：2b 2 3a 2c，··

15、83;········ 2 分2 2 2abc解得a2b32橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x42y234分2）當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)， M 0, 3 ， N 0, 3uuuuv uuuvOM ON3 ，不符合題意···········5 分kx 2，M x1,y1 ， N x2,y22x2y21消由43y 整理得： 3 4k22x2 16kx 4 0 ，ykx216k216 34k2 0 ，解得 k111 或

16、 k 1 ，··········· 6 分當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 y22x1 x216k ，x1x24 ，···········7 分34k2 ，34k2 ，··uuuuvOMuuuvONx1x2y1y21k2 x1x22k x1 x2 441k232k241612k2 ，·····&

17、#183;····· 9 分3 4k23 4k234k2 ，··uuuuvOMuuuvON2，1612k22，··········· 10分34k2解得k22 ，滿足0 ，···········11分所以存在符合題意的直線，其方程為2212 分21. 【答案】（1）切線方程為 y x 12）實(shí)數(shù) m 的取值范

18、圍是1,2解析】（1）當(dāng) a 2 時(shí)，22x 2 x 1 lnx 2x 4x lnx 2 1分當(dāng)x 1時(shí)， f 1 0，所以點(diǎn) P 1,f 1 為P 1,0 ，1又 f x 4x 4 ，因此 k f 1 1 ··········· 2 分x因此所求切線方程為 y 0 1 x 1 y x 1···········4 分（2）當(dāng) a 1 時(shí)， g x 2lnx x2 m ，2 2

19、x 1 x 1 則 g x 2x··········· 6 分xx1 因?yàn)?x 1,e ，所以當(dāng) g x 0時(shí)， x 1，···········7分e1 且當(dāng) x 1時(shí)， g x 0；當(dāng)1 x e時(shí)， g x 0；e故g x 在 x 1處取得極大值也即最大值 g 1 m 1···········8分又 g 1 m 2 12 ee22，g e m 2 e ，g e g 1 m 2 e2em 2 12 4 e