16全概率公式與貝葉斯公式圖文

1、11.6 1.6 全概率公式與全概率公式與 在前面學(xué)習(xí)中，我們知道概率的加法公式和在前面學(xué)習(xí)中，我們知道概率的加法公式和乘法公式可以解決許多概率計(jì)算問題，但對于許乘法公式可以解決許多概率計(jì)算問題，但對于許多較復(fù)雜事件的概率計(jì)算我們還無能為力，本節(jié)多較復(fù)雜事件的概率計(jì)算我們還無能為力，本節(jié)我們學(xué)習(xí)另外兩個(gè)概率公式我們學(xué)習(xí)另外兩個(gè)概率公式全概率公式和貝全概率公式和貝葉斯公式它們與之前的兩個(gè)公式一起構(gòu)成概率葉斯公式它們與之前的兩個(gè)公式一起構(gòu)成概率計(jì)算問題的四大公式計(jì)算問題的四大公式 貝葉斯公式貝葉斯公式 2一、全概率公式一、全概率公式 1( )().niiip bp a p b a ba1a2a3a

2、4a6a7a5a812,naaa定理定理1.7 1.7 若若 構(gòu)成一個(gè)完備事件構(gòu)成一個(gè)完備事件則對于任何事件則對于任何事件 0,1,2,ip ain 組，且組，且 b b，有，有 311nniiiibbbaa b 證證 分配律分配律 1( )niip bpab 有限可加性有限可加性 1()niip ab 1().niiip a p b a 乘法公式乘法公式 41a2a an nb 原因事件原因事件 結(jié)果事件結(jié)果事件全概率公式全概率公式解決由因索解決由因索果果問題問題 每個(gè)原因都可能導(dǎo)致每個(gè)原因都可能導(dǎo)致b b發(fā)生，故發(fā)生，故b b發(fā)生的概率發(fā)生的概率是各原因引起是各原因引起b b發(fā)生的概率的總

3、和，發(fā)生的概率的總和，“全概率公式全概率公式”之之“全全”取為此意取為此意. .5 an n教教師師教教學(xué)學(xué)水水平平高高2a學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)環(huán)環(huán)境境良良好好1a自自身身努努力力 1( )(.)niiip bp a p b a 學(xué)生成學(xué)生成績好績好 b b 原原因因6例例1.221.22 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共8 8件，其中正品件，其中正品6 6件，次件，次品品2 2件現(xiàn)不放回地從中取產(chǎn)品兩次，每次一件，件現(xiàn)不放回地從中取產(chǎn)品兩次，每次一件，求第二次取得正品的概率求第二次取得正品的概率 結(jié)于求結(jié)于求 2.p a是是2a發(fā) 生 的 兩 個(gè) 不 同 的發(fā) 生 的 兩 個(gè) 不 同 的 “ 原原因因”1a1a與與

4、構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即 1a1a與與解解 記記 ,1,2,iaii 第第 次次取取得得正正品品問題歸問題歸由全概率公式，所求概率由全概率公式，所求概率 7 2121121p ap ap a ap ap a a 65263.87874 我們把我們把例例1.221.22稍稍作一些改動(dòng)，可獲得一稍稍作一些改動(dòng)，可獲得一個(gè)有趣的結(jié)果個(gè)有趣的結(jié)果例例1.231.23 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共8 8件，其中正品件，其中正品6 6件，件，次品次品2 2件現(xiàn)不放回地從中取產(chǎn)品三次，每次件現(xiàn)不放回地從中取產(chǎn)品三次，每次一件，求第三次取得正品的概率一件，求第三次取得正品的概率 解解 記記 ,1,

5、2,3,iaii 第第 次次取取得得正正品品8由全概率公式，所求概率由全概率公式，所求概率 31231212312p ap a ap a a ap a ap a a a 1231212312p a ap a a ap a ap a a a 3.p a問題歸結(jié)于求問題歸結(jié)于求 12,a a12a a與與12,a a12,a a12,a a構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即 12a a是是3a發(fā) 生 的 四 個(gè) 不 同 的發(fā) 生 的 四 個(gè) 不 同 的 “ 原原因因”12a a與與12a a9 121312p ap a ap a a a 6546252652163.87687687687

6、64 121312p ap a ap a a a 121312p ap a ap a a a 121312p ap a ap a a a 10從件數(shù)一定的正品和次品組成一批產(chǎn)品從件數(shù)一定的正品和次品組成一批產(chǎn)品中，中，作不放回抽樣，各次抽到正品的概率相等！作不放回抽樣，各次抽到正品的概率相等！若把抽到正品視為中獎(jiǎng)，則上面的結(jié)論簡單若把抽到正品視為中獎(jiǎng)，則上面的結(jié)論簡單敘述為：敘述為：中獎(jiǎng)的概率與摸獎(jiǎng)的順序無關(guān)！中獎(jiǎng)的概率與摸獎(jiǎng)的順序無關(guān)！ 小結(jié)小結(jié)例例1.221.22和和例例1.231.23的結(jié)果：的結(jié)果： 1233.4p ap ap a 11例例1.241.24 某工廠有四個(gè)車間生產(chǎn)同一種計(jì)

7、某工廠有四個(gè)車間生產(chǎn)同一種計(jì)算機(jī)算機(jī)配件，四個(gè)車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的配件，四個(gè)車間的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%15%、20%20%、 30%30%和和35%35%，已知這四個(gè)車間的次，已知這四個(gè)車間的次品率依次為品率依次為0.040.04、0.030.03、0.020.02及及0.010.01現(xiàn)在現(xiàn)在從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到次從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到次品的概率是多少？品的概率是多少？ 2 2，3 3，4 4，b=b=抽到次品抽到次品 41( )()iiip bp a p b a 0.200.030.300.020.350.01 =2.15%=2.15%0.150.0

8、4 解解 令令 ,1,iaii 抽抽到到第第 個(gè)個(gè)車車間間的的產(chǎn)產(chǎn)品品由全概率公式由全概率公式12二、貝葉斯公式二、貝葉斯公式 1,1,2,.()iiinjjjp ap b ap a binp a p b a 證證 由條件概率的定義、乘法公式及全概率由條件概率的定義、乘法公式及全概率定理定理1.1.若若 naaa12,構(gòu)成一個(gè)完備事構(gòu)成一個(gè)完備事 ip ain 0,1,2, ,則對于任何事則對于任何事組，且組，且 件，有件，有 13 貝葉斯公式是在貝葉斯公式是在“結(jié)果結(jié)果”已經(jīng)發(fā)生條已經(jīng)發(fā)生條件下，尋找各件下，尋找各“原因原因”發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率可以說，可以說，貝葉斯公式貝葉斯公式解

9、決的是解決的是追根溯源問題追根溯源問題 1.()iiiinjjjp ap b ap a bp a bp bp a p b a 公式，公式，14 例如，某生例如，某生“學(xué)習(xí)成績好學(xué)習(xí)成績好”這個(gè)結(jié)果發(fā)生這個(gè)結(jié)果發(fā)生了，我了，我們可以探討是由于們可以探討是由于“學(xué)習(xí)環(huán)境良好學(xué)習(xí)環(huán)境良好”促促成的概率有多大成的概率有多大貝葉斯公式貝葉斯公式可以幫助人們確定結(jié)果（事可以幫助人們確定結(jié)果（事件件 b b）發(fā)生的主要原因）發(fā)生的主要原因15根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)確定的一種主觀概率，而根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)確定的一種主觀概率，而后者后者也可以說，也可以說，貝葉斯公貝葉斯公式是利用先式是利用先驗(yàn)概率去求后驗(yàn)概率驗(yàn)概率去求后驗(yàn)概率

10、ia概率概率，“結(jié)果結(jié)果” b b發(fā)生的條件下各發(fā)生的條件下各“原因原因”的概率的概率 ip a b為為后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率，前者往往是，前者往往是通常稱各通常稱各“原因原因”的概率的概率 ip a為為先驗(yàn)先驗(yàn)是在結(jié)果是在結(jié)果b b發(fā)生之后對原因發(fā)生之后對原因ia的重新認(rèn)識(shí)的重新認(rèn)識(shí)16例例1.251.25 ( (續(xù)例續(xù)例1.24) 1.24) 若該廠規(guī)定，一旦發(fā)若該廠規(guī)定，一旦發(fā)現(xiàn)現(xiàn)了次品就要追究有關(guān)車間的經(jīng)濟(jì)責(zé)任現(xiàn)在了次品就要追究有關(guān)車間的經(jīng)濟(jì)責(zé)任現(xiàn)在從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，結(jié)果為次品，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，結(jié)果為次品，但該件產(chǎn)品是哪個(gè)車間生產(chǎn)的標(biāo)志已經(jīng)脫落，但該件產(chǎn)品是哪個(gè)車間生產(chǎn)

11、的標(biāo)志已經(jīng)脫落，問廠方如何處理這件次品比較合理問廠方如何處理這件次品比較合理? ? 具體地講，具體地講，各個(gè)車間應(yīng)承擔(dān)多大的經(jīng)濟(jì)責(zé)任各個(gè)車間應(yīng)承擔(dān)多大的經(jīng)濟(jì)責(zé)任? ? 解解 從概率的角度考慮可以按從概率的角度考慮可以按 ip a b的大的大個(gè)車間的經(jīng)濟(jì)責(zé)任個(gè)車間的經(jīng)濟(jì)責(zé)任 1,2,3,4i i 小來追究第小來追究第在前面的計(jì)算已經(jīng)求得在前面的計(jì)算已經(jīng)求得 41()0.0215.jjjp a p b a 17于是，由貝葉斯公式可得于是，由貝葉斯公式可得 111410.15 0.040.2791.0.0215()jjjp ap b ap a bp a p b a 同理可得，同理可得， 20.279

12、1,p a b 30.2791,p a b 40.1628.p a b 18由此可知，各個(gè)車間依次應(yīng)承擔(dān)由此可知，各個(gè)車間依次應(yīng)承擔(dān)27.91%27.91%、27.91%27.91%、27.91%27.91%和和16.28%16.28%的經(jīng)濟(jì)責(zé)任的經(jīng)濟(jì)責(zé)任. . 這樣處理是使人信服的，比如說雖然第四個(gè)這樣處理是使人信服的，比如說雖然第四個(gè)車間的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的車間的產(chǎn)量占總產(chǎn)量的35%35%，但是它的次品率是，但是它的次品率是最低的，它生產(chǎn)的次品只占總次品的最低的，它生產(chǎn)的次品只占總次品的16.28%.16.28%.在很多時(shí)候需要同時(shí)使用全概率公式和貝葉在很多時(shí)候需要同時(shí)使用全概率公式和貝葉斯公

13、式來解決一個(gè)較復(fù)雜的問題斯公式來解決一個(gè)較復(fù)雜的問題. .19例例1.261.26 設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各1010名、名、1515名名和和2525名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3 3份、份、7 7份和份和5 5份隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，份隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份從中先后抽出兩份 (1) (1) 求先抽到的一份是女生表的概率；求先抽到的一份是女生表的概率； （2 2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率一份是女生表的概率201231()()(),3p ap

14、ap a 113,10p b a 1b ,1,2,3,iaii 任任取取的的報(bào)報(bào)名名表表是是第第 區(qū)區(qū)考考生生的的 ,1,2,jbjj 第第 次次抽抽到到的的報(bào)報(bào)名名表表是是男男生生表表由題設(shè)可得由題設(shè)可得(1) (1) 問題歸結(jié)于求問題歸結(jié)于求 1.p b解解 設(shè)設(shè)21 135.25p b a 的所有的不同的原因的所有的不同的原因1b123,aaa構(gòu)成一個(gè)完備事件組，是構(gòu)成一個(gè)完備事件組，是 發(fā)生發(fā)生1b根據(jù)全概率公式，有根據(jù)全概率公式，有 311129.90iiip bp ap b a 127,15p b a 22 12121221212. (1.7)p b bp b bp b bp bp b bp b b 121377,10930p b b a (2)(2)問題歸結(jié)為求問題歸結(jié)為求 12.p b b由條件概率的由條件概率的定義可得定義可得 12.p b b下面我們先求下面我們先求由條件概率的本來由條件概率的本來含義得到含義得到23 1235205.252430p b b a 根據(jù)全概率公式根據(jù)全概率公式 17852.3 3030309 312121iiip b bp ap b b a 122788,151430p b b a 24 1217614,10930p b b a 122878