電磁場課件-電磁場教案-第1章-2013

1、章序名稱 第1章 電磁場的數學物理基礎授課學時7學時教材分析(1) 首先闡述電磁場物理模型的構成，概括了源量、場量以及媒質電磁性能參數等物理概念；(2) 其次，基于電磁場是一種矢量場，重點討論矢量分析和場論的數學基礎；(3) 通過數學和物理概念的結合，進一步深化對電磁感應定律和全電流概念的理解，從數學和物理意義上描述麥克斯韋方程組。學生分析矢量分析的概念雖然在高等數學中已經涉及，但工科的學生很少有機會系統的學習矢量分析這門課程，本章主要從數學和物理相結合的角度來分析宏觀電磁理論。教學目標知識目標：1掌握電磁場物理模型構成，理解源量、場量以及媒質電磁性能參數等物理概念。2掌握矢量分析的方法。3理

2、解麥克斯韋方程組在數學和物理意義上的描述。能力目標：1培養(yǎng)學生建立電磁場的物理概念。2培養(yǎng)學生從數學和物理角度分析電磁場的能力。教學重點(1) 電磁場的物理模型(2) 矢量分析(3) 場論(4) 麥克斯韋方程組教學難點(1) 矢量分析(2) 場論(3) 麥克斯韋方程組教學手段多媒體（圖像、動畫）教學方法啟發(fā)、討論、研究教學用具章序名稱1.1 電磁場物理模型的構成授課學時7學時教材分析(4) 首先闡述電磁場物理模型的構成，概括了源量、場量以及媒質電磁性能參數等物理概念；(5) 其次，基于電磁場是一種矢量場，重點討論矢量分析和場論的數學基礎；(6) 通過數學和物理概念的結合，進一步深化對電磁感應定

3、律和全電流概念的理解，從數學和物理意義上描述麥克斯韋方程組。學生分析矢量分析的概念雖然在高等數學中已經涉及，但工科的學生很少有機會系統的學習矢量分析這門課程，本章主要從數學和物理相結合的角度來分析宏觀電磁理論。教學目標知識目標：1掌握電磁場物理模型構成，理解源量、場量以及媒質電磁性能參數等物理概念。2掌握矢量分析的方法。3理解麥克斯韋方程組在數學和物理意義上的描述。能力目標：1培養(yǎng)學生建立電磁場的物理概念。 2培養(yǎng)學生從數學和物理角度分析電磁場的能力。教學重點(1) 電磁場的物理模型(2) 矢量分析(3) 場論(4) 麥克斯韋方程組教學難點(1) 矢量分析(2) 場論 (3) 麥克斯韋方程組教

4、學手段多媒體（圖像、動畫）教學方法啟發(fā)、討論、研究教學用具教學內容提要備 注1.1電磁場的物理模型根據電磁現象和過程分析的物理模型構造的本質，可建立如下電磁場分析與電路分析的物理模型之間的對比關系。電路分析： 實際的電工、 理想化假設 電路模型(一種具體的電子技術裝置 物理模型)圖1-1電路分析模型電磁場分析：實際電磁裝置中的電磁 理想化假設 電磁場的物理模型 現象和過程 圖1-2 電磁場分析模型以上電磁場與電路分析的求解過程均可歸結為(1) 給出與所分析的物理模型對應的基本規(guī)律性的數學描述（泛定方程）及其定解條件，即構造相應的數學模型；(2) 運用相應的分析計算方法；(3

5、) 解出數學模型中的待求物理量，即得所分析問題的確定解。1.1.1 電磁場的基本物理量源量和場量 電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。 源量激勵（輸入） 場量響應（輸出）10分鐘注意：要讓學生從比較熟悉的電路入手，類比建立電磁場的物理模型。30分鐘電磁場模型中的源量：電荷和電流電磁場模型中的基本場量：電場強度E和磁感應強度B在一般情況下，電磁場的源量和場量分布均隨所在空間的位置和時間而變化，即可以表述為空間坐標和時間的函數，如兩個基本場量的數學函數式可分別記為、。1. 源量(電荷)q(r¢,t) 電荷是物質基本屬性之一。 1897年英國科學家湯姆遜(J.J.

6、Thomson)在實驗中發(fā)現了電子。 19071913年間，美國科學家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實驗，精確測定電子電荷的量值為 e =1.602 177 33×10-19 (單位：C)確認了電荷量的量子化概念。換句話說，e 是最小的電荷量，而任何帶電粒子所帶電荷都是e 的整數倍。宏觀分析時，場源電荷常是數以億計的電子電荷e的組合，故可不考慮其量子化的事實，而認為電荷量q可任意連續(xù)取值。類同于由物質密度 r 給定物質的質量m一樣，現引入關于電荷的平滑的平均密度函數概念，即以電荷密度分布的方式來給定帶電體的電荷量。理想化實際帶電系統的電荷分布形態(tài)為如下四種形式：（1） 點電

7、荷 q(r¢,t)：（2） 電荷體密度 r(r¢,t)：（3） 電荷面密度 s(r¢,t)： （4） 電荷線密度 t(r¢,t)：2. 源量(電流) i (t)源于電荷定向運動的電流 i 定義為 可見，電流i為一積分量，不是點函數。鑒于電磁場空間中各點電磁現象和過程變化規(guī)律性分析的需要， 必須引入對應于源量i(t)分布的點函數形式的描述面電流密度(簡稱電流密度)J(r,t),其量值為 (單位: A/m2)其方向習慣上定義為正電荷運動的方向。 3. 場量(電場強度)E 1785年法國物理學家?guī)靵觯–.A.Coulomb）定量的研究了電場對靜止電荷的作用力：

8、 (單位：N/C或V/m)要求試體電荷攜帶的電荷量必須小到不至于影響被研究的電場。電場強度即單位電荷受到的電場力。電場不只存在于靜止電荷的周圍空間，在通有電流的導體中，在由交變電流激勵的電磁裝置的周圍空間內都存在著電場。對于電場問題，研究和分析的首要任務是在給定源量的作用下求其電場強度E（r,t）隨空間和時間變化的規(guī)律性。4. 場量(磁通密度)B磁通密度也稱為磁感應強度是用來描述運動電荷受到的磁場力，其值等于單位運動電荷以單位速度在與磁場相垂直方向上運動時所受到的磁場力。 (單位：T或Wb/ m2)上式僅表明當B的方向與運動電荷速度v的方向相互垂直時B的數量關系。一般情況下，B的數值和方向應滿

9、足下式的關系對于導體內電流產生的磁場力可以表示為：上式可以表述為元電流Idl在磁場中受到的力。因為電流 導線內以速度v運動的元電荷dq，在dt時間內對應的元位移為 因此 同理，磁場也不只存在于磁鐵或恒定電流的周圍空間，也存在于電磁波中，存在于由交變電流激勵的電磁裝置的周圍空間內。因此，對于廣泛的磁場問題，也將首先聚焦于場分布，即磁感應強度B（r,t）隨空間和時間變化規(guī)律的分析。1.1.2 電磁場中的媒質及其電磁性能參數在電磁場源量的作用下，電磁場物理模型所對應的各種電氣裝置中的電磁現象，本質上將取決于構成裝置和場域的各種媒質的幾何結構及其電磁性能。在本課程中，主要研究宏觀電磁現象，即研究媒質的

10、微觀結構在與電磁場相互作用下所表征的宏觀統計平均效應。1. 電磁性能參數采用若干個宏觀等效的性能參數來描述媒質的電磁性能1） 電導率：反映了材料的導電性能2） 磁導率：反映了材料宏觀的磁化性能3） 介電常數：材料在電場作用下的極化性能2. 媒質的本構關系方程電路中的兩個約束：基爾霍夫定律、歐姆定律電磁場中的兩個約束：宏觀上的麥克斯韋方程組、材料（媒質上的幾何結構及其電磁性能）1） 針對電介質：引入電通量面密度（電位移矢量）D（庫/米2（C/m2）（各向同性媒質中）2） 針對磁介質：引入磁場強度矢量H（安/米（A/m）3） 針對導電媒質：引入傳導電流密度矢量（A/m2）（導電媒質中的電流密度）l

11、 對于電磁場運動狀態(tài)的描述，在數學上可以歸結為研究空間矢量函數，即電場強度E、磁通密度B、電通密度D和磁場強度H隨時間和空間變化的規(guī)律。l 也就是圍繞源量、場量、媒質本構關系展開。10分鐘1.2 矢量分析電磁場是一種矢量場，矢量分析是學習、研究電磁場理論及其應用的基本數學工具之一。1.2.1 矢量代數 標量和矢量一 標量和矢量1. 標量：只有大小，沒有方向的物理量(電流I，電壓U、電荷量Q、能量W等）2. 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強度）二 矢量的表示1. 矢量的代數表示矢量可表示為： 其中為模值，表征矢量的大小；為單位矢量，表征矢量的方向。2. 矢量的幾

12、何表示：用一條有方向的線段來表示3. 矢量用坐標分量表示zxy (單位矢量)10分鐘注意：該部分盡量采用圖形形式說明，增強學生的空間想象能力。 矢量的運算一 矢量的加法和減法說明：1. 矢量的加法符合交換律和結合律： 2. 矢量相加和相減可用平行四邊形法則求解： 二 矢量的乘法1. 矢量與標量相乘標量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。2. 矢量的標積（點積）結果是標量直角坐標系下的點積為：說明：矢量的點積符合交換律和分配律：3. 矢量的矢積（叉積）結果是失量大?。浩叫兴倪呅蚊娣e；方向：右手定則獲得。說明：矢量的叉積不符合交換律，但符合分配律： 恒等式：20分鐘直角坐標系下的叉

13、積為：4. 矢量的積分1）環(huán)量積分（線積分）定義 （安培環(huán)路定理：磁場強度矢量的環(huán)量等于封閉曲面截得的面積上的電流和）。2）通量積分（面積分）定義 （電磁測量中的磁通：磁場中穿過任意有向曲面的磁感應強度總量）。1.2.2 三種常用的正交坐標系 三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交線的交點來確定。三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交坐標系；三條正交線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。 直角坐標系坐標變量 坐標單位矢量 位置矢量 線元矢量 面元矢量 體積元 10分鐘

14、 圓柱坐標系 坐標變量 坐標單位矢量 位置矢量 線元矢量 面元矢量 體積元 圓柱坐標系下矢量運算方法：加減：標積：矢積： 球面坐標系 坐標變量 坐標單位矢量 位置矢量 10分鐘10分鐘線元矢量 面元矢量 體積元 球面坐標系下矢量運算： 加減：標積：矢積： 坐標單位矢量之間的關系 直角坐標與圓柱坐標系00001可以作為作業(yè)留給學生推導。圓柱坐標與球坐標系00010直角坐標與球坐標系0三種坐標系有不同適用范圍：1、直角坐標系適用于場呈面對稱分布的問題求解，如無限大面電荷分布產生電場分布。2、柱面坐標系適用于場呈軸對稱分布的問題求解，如無限長線電流產生磁場分布。3、球面坐

15、標系適用于場呈點對稱分布的問題求解，如點電荷產生電場分布。1.3 場論1.3.1 場的基本概念 1. 場的定義確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個場。2. 標量場和矢量場1）如果物理量是標量，稱該場為標量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。（室內的溫度） 2）如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。3. 靜態(tài)場和動態(tài)場如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為： 時變標量場和矢量場可分別表示為： 1.3.2 標量場的梯度 一 標量場的等值面標量場空間中，由所有場值相等的點所構成的面，即為等值面。即

16、若標量函數為 ，則等值面方程為： 二 方向導數1. 方向導數定義：方向導數表征標量場空間中，某點處場值沿特定方向變化的規(guī)律。方向導數與選取的考察方向有關。 30分鐘注意：該部分盡量采用圖形和動畫形式講解，提高學生對場的理解。2. 方向導數的計算：式中： 分別為與x,y,z坐標軸的夾角。 P點沿的方向余弦。 3. 方向導數物理意義：，標量場在P處沿方向增加率； ，標量場在P處沿方向減小率； ，標量場在P處沿方向為等值面方向（無改變） 三 標量場的梯度1. 梯度的定義：定義： 為標量場的梯度· 標量場的梯度為矢量，且是坐標位置的函數；2. 梯度的計算：1）直角坐標系： （nabula）為

17、矢量微分算子2）柱面坐標系：3）球面坐標系：4）梯度的其他運算相關公式：式中：為常數； 為坐標變量函數。3. 梯度的含義：1）標量場某點的梯度的幅值是過這一點所有方向導數的幅值中最大的2）標量場某點梯度的方向垂直于該點所在的等值面，方向為法線方向，是標量場的值增加最快的方向；3）標量場在給定點P沿任意方向的方向導數等于梯度在該方向投影梯度的運算： 例題：設一標量點函數描述了空間標量場。試求： (1)該點函數在點P(1，1，1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量； (2)求該點函數沿單位矢量 方向的方向導數，并以點P(1，1，1)處該方向導數值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。1.3.3

18、 矢量場的通量與散度 一 矢量線（力線）· 矢量線的疏密表征矢量場的大小· 矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向二 矢量場的通量1. 通量的定義為定量描述矢量場的大小引入了通量的概念：若矢量場分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則定義：為矢量沿有向曲面 S 的通量。 若S 為閉合曲面 物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的通量的代數和。 說明：1) 面元矢量定義：面積很小的有向曲面。 ：面元面積，為微分量，無限小 ：面元法線方向，垂直于面元平面。 2) 面元法向的確定方法： 對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手螺旋法則確定； 對閉合曲面：閉合面外法線方向50分鐘2. 通過閉合

19、面S的通量的物理意義 · 若，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發(fā)出矢量線的正源；· 若，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的負源；· 若，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內無源，或正源負源代數和為0。三 矢量場的散度1. 引入散度的意義是為考察通量“源”在場中各點的分布情況及其強弱程度。例如：有一個噴泉，做一個包圍這一個噴泉的閉合曲面，則通過這一封閉曲面的通量是已知的，如果封閉曲面所限定的體積不斷減小，當時，則收縮為“源”點，即描述了矢量場給定點的通量密度。2. 散度的定義在場空間中任意點M 處作一個閉合曲面，所圍的體積為，則定義場矢量在M 點處

20、的散度為：即流出單位體積元封閉面的通量（通量的體密度）。3. 散度的物理意義· 矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性(體密度)；· 矢量場的散度是標量；· 矢量場的散度是空間坐標的函數；· 矢量場的散度值表征空間中某點處通量源的密度。4. 散度的計算· 直角坐標系：· 柱面坐標系：· 球面坐標系： · 散度運算相關公式：四 散度定理（矢量場的高斯定理）散度定理是矢量場中體積分與面積分之間的一個變換關系。 （S為包含體積V的外表面）好處：1. 在數學上，應用散度定理可以將矢量函數的面積分轉化為標量函數的體積分，

21、或反之。2. 物理上，散度定理建立了某一空間中的場與包圍該空間的邊界場之間的關系。1.3.4 矢量場的環(huán)流與旋度一 矢量的環(huán)量1. 渦旋源例1：臉盆盛滿水，用帶翅的筷子在水中旋轉，水會旋轉例2：一根通電導線周圍形成的磁場2. 環(huán)量的定義在場矢量 空間中，取一有向閉合路徑 ，則稱 沿 積分的結果稱為矢量 沿 的環(huán)流。即：式中，線元矢量：長度趨近于0，方向沿路徑切線方向。 3.環(huán)量的意義若矢量場環(huán)量不為零，則矢量場中存在產生矢量場的漩渦源。但是：1） 沿不同方向得到的環(huán)量是相同的，僅靠安培環(huán)路定理無法描述矢量場中任意一點的渦旋的強度情況。2） 能否定義一個類似散度的量來描述渦旋源的強度？二 矢量的

22、旋度1. 環(huán)流面密度：空間某點M處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流。 稱為矢量場 在M點處沿 方向的漩渦源密度。環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向 有關。2. 旋度：矢量場在M點的旋度為該點處環(huán)流面密度最大時對應的矢量，模值等于M點處最大環(huán)流面密度，方向為環(huán)流密度最大的方向，表示為 ，即：式中： 表示矢量場旋度的方向；50分鐘3. 旋度的物理意義：· 矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數 · 矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度 · 若，則該矢量場稱為有散場，r為源密度；若處處成立，則該矢量場稱為無散場4. 旋度的計算：· 直角坐標系：

23、3; 柱面坐標系：· 球面坐標系：· 旋度計算相關公式： 5. 散度和旋度比較： 三 斯托克斯定理散度定理是矢量場中面積分與線積分之間的一個變換關系。 （S為圍線l所包圍的面積；dS方向與dl的方向成右手螺旋關系）好處：1. 在數學上，應用斯托克斯定理可以將矢量旋度的面積分轉化為該矢量的線積分，或反之。3. 物理上，斯托克斯建立了場域中某一區(qū)域的場與該區(qū)域邊界上場量之間的關系。1.3.5 無旋場與無散場一 無旋場若矢量場在某區(qū)域V內，處處，但在某些位置或整個空間內，有，則稱在該區(qū)域V內，場為無旋場。重要性質：結論：無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零(無漩渦源)。無旋場的

24、旋度始終為0，可引入標量輔助函數表征矢量場，即例如：靜電場二 無散場若矢量場在某區(qū)域V內，處處，但在某些位置或整個空間內，有 ，則稱在該區(qū)域V內，場 為無源有旋場。重要性質：結論：無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）。 無散場的散度始終為0，可引入矢量函數的旋度表示無散場例如，恒定磁場三 無旋、無散場 對標量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作：式中：稱為拉普拉斯算符。在直角坐標系中：矢量場的拉普拉斯運算在直角坐標系中：四 有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分20分鐘10分鐘1.3.6亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內，任意矢量場由矢量場的散度、旋度和

25、邊界條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定，且任意矢量場可表示為：· 亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場的一條主線。1.4電磁場的基本規(guī)律麥克斯韋方程組本節(jié)將圍繞麥克斯韋就法拉第電磁感應定律所提出的感應電場的概念，以及為擴充電流概念而提出的位移電流假設，闡述1865年麥克斯韋所提出的電磁場的基本方程組。1.4.1電磁感應定律法拉第電磁感應定律：當穿過導體回路所圍面積的磁通量發(fā)生改變時，回路中將產生感應電動勢，其大小等于回路磁通量的時間變化率。數學表示：“-”號表示回路中產生的感應電動勢的作用總是要阻止回路磁通量的改變。l 引起磁通變化的原因分為三類：1. 回路不變，磁

26、場隨時間變化15分鐘注意：要讓學生建立起電磁場的框架結構。20分鐘稱為感生電動勢，這是變壓器工作的原理，又稱為變壓器電勢。2. 回路切割磁力線，磁場不變稱為動生電動勢，這是發(fā)電機工作原理，又稱為發(fā)電機電勢。3. 磁場隨時間變化，回路切割磁力線實驗表明：感應電動勢與構成回路的材料性質無關（甚至可以是假想回路），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應電動勢。當回路是導體時，才有感應電流產生。二 感應電場（渦旋電場）麥克斯韋假設，變化的磁場在其周圍激發(fā)著一種電場，該電場對電荷有作用力（產生感應電流），稱之為感應電場。感應電動勢與感應電場的關系為：在靜止媒質中：結論：1）感應電場是非保守場，電力

27、線呈閉合曲線，變化的磁場是產生電場的渦旋源。2）產生電場的源：電荷和變化的磁場。兩種共同作用產生合成電場：3）由第2章可知庫侖場（靜電場）是有源無旋場，所以在靜止媒質中：麥克斯韋方程第二式（積分形式）4）利用斯托克斯定理：麥克斯韋方程第二式（微分形式）20分鐘1.4.2 全電流定律一 安培環(huán)路定律定律表明：磁場強度沿任一閉合回路的線積分等于穿過該回路所限定面積的傳導電流的代數和。利用斯托克斯定理：，得到安培環(huán)路定理微分形式：上式表明：磁場是有旋場，所以其散度為零： 靜態(tài)場中傳導電流連續(xù)性方程的微分形式上式表明：傳導電流連續(xù)是安培環(huán)路定律成立的前提條件。二 電荷守恒定律傳導電流和自由電荷之間手電荷守恒定律制約，即上式表明：在單位時間內通過閉合曲面向外流出的電流等于閉合面內單位時間所減少的電荷。利用斯托克斯定理：得到電荷守恒定律的微分形式：上式表明：靜態(tài)場中傳導電流連續(xù)性方程只是特例。在時變條件下，但是傳導電流不能滿足電荷守恒定律描述的電流連續(xù)性的物理內涵，安培環(huán)路定律必須修正。三 靜電場