（全國通用）高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學案 文 新人教A

1、1第第 3 3 節(jié)節(jié)圓的方程圓的方程最新考綱掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.知 識 梳 理1.圓的定義和圓的方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標準(xa)2(yb)2r2(r0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要條件：D2E24F0圓心坐標：D2，E2半徑r12D2E24F2.點與圓的位置關系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(xa)2(yb)2r2之間存在著下列關系：(1)drM在圓外，即(x0a)2(y0b)2r2M在圓外；(2)drM在圓上，即(x0a)2(y0b)2r2M在圓上；(3)drM在圓內，即(x0a)

2、2(y0b)2r2M在圓內.常用結論與微點提醒1.圓心在坐標原點半徑為r的圓的方程為x2y2r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.3.求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的， 求軌跡方程得出方程即可， 而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()(2)方程x2y2a2表示半徑為a的圓.()(3)方程x2y24mx2y5m0 表示圓.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E224AF0.()解析(2

3、)當a0 時，x2y2a2表示點(0，0)；當a0 時，表示半徑為|a|的圓.(3)當(4m)2(2)245m0，即m14或m1 時表示圓.答案(1)(2)(3)(4)2.若點(1，1)在圓(xa)2(ya)24 的內部，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1，1)B.(0，1)C.(，1)(1，)D.a1解析因為點(1，1)在圓的內部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，將P，Q兩點的坐標分別代入得2D4EF20，3DEF10.又令y0，得x2DxF0.設x1，x2是方程的兩根，由|x1x2|6，得D24F36，4聯(lián)立，解得D2，E4，F(xiàn)8，或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4

4、y80 或x2y26x8y0.答案(1)(x3)2y22(2)x2y22x4y80 或x2y26x8y0規(guī)律方法求圓的方程時，應根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法， 通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.確定圓的方程時， 常用到的圓的三個性質：圓心在過切點且垂直切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.【訓練 1】 (1)(2018蘭州診斷)半徑為 2 的圓C的圓心在第四象限，且與直線x0 和xy22均相切，則該圓的標準方程為()A.(x1)2(y2)24B.(x2)2(y

5、2)22C.(x2)2(y2)24D.(x2 2)2(y2 2)24(2)(2015全國卷)一個圓經(jīng)過橢圓x216y241 的三個頂點， 且圓心在x軸的正半軸上， 則該圓的標準方程為_.解析(1)設圓心坐標為(2，a)(a0)，則圓心到直線xy22的距離d|2a2 2|22，a2，該圓的標準方程為(x2)2(y2)24.(2)由題意知圓過(4，0)，(0，2)，(0，2)三點，(4，0)，(0，2)兩點的垂直平分線方程為y12(x2)，令y0，解得x32，圓心為32，0，半徑為52.圓的標準方程為x322y2254.答案(1)C(2)x322y2254考點二與圓有關的最值問題【例 2】 已知實

6、數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.5(1)求yx的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.解原方程可化為(x2)2y23，表示以(2，0)為圓心， 3為半徑的圓.(1)yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設yxk，即ykx.當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時|2k0|k21 3，解得k 3(如圖 1).所以yx的最大值為 3，最小值為 3.(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時|20b|2 3，解得b2 6(如圖 2).所以yx的最大值為2 6，最小值為2 6.(3

7、)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖 3).又圓心到原點的距離為 （20）2（00）22，所以x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.規(guī)律方法把有關式子進行轉化或利用所給式子的幾何意義解題， 充分體現(xiàn)了數(shù)形結合以及轉化的數(shù)學思想，其中以下幾類轉化極為常見：(1)形如mybxa的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；(2)形如taxby的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值問題，可轉化為兩點間距離的平方的最值問題.【訓練 2】 設點P

8、是函數(shù)y 4（x1）2圖象上的任意一點， 點Q坐標為(2a，a3)(aR R)，則|PQ|的最小值為_.解析函數(shù)y 4（x1）2的圖象表示圓(x1)2y24 在x軸及下方的部分，令點Q6的坐標為(x，y)，則x2a，ya3，得yx23，即x2y60，作出圖象如圖所示，由于圓心(1，0)到直線x2y60 的距離d|1206|12（2）2 52，所以直線x2y60 與圓(x1)2y24 相離，因此|PQ|的最小值是 52.答案52考點三與圓有關的軌跡問題【例 3】 設定點M(3，4)，動點N在圓x2y24 上運動，以OM，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.解如圖所示，設P(x，y)，N

9、(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為x2，y2 ，線段MN的中點坐標為x032，y042.由于平行四邊形的對角線互相平分，故x2x032，y2y042.從而x0 x3，y0y4.又N(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24.因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，但應除去兩點95，125 和215，285 (點P在直線OM上時的情況).規(guī)律方法求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質列方程；(4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式

10、等.【訓練 3】 (2018鄭州模擬)已知線段AB的端點B在圓C1：x2(y4)216 上運動，端點A的坐標為(4，0)，線段AB的中點為M.(1)試求M點的軌跡C2的方程；(2)若圓C1與曲線C2交于C，D兩點，試求線段CD的長.解(1)設M(x，y)，B(x，y)，7則由題意可得xx42，yy2，解得x2x4，y2y，點B在圓C1：x2(y4)216 上，(2x4)2(2y4)216，即(x2)2(y2)24.M點的軌跡C2的方程為(x2)2(y2)24.(2)由方程組（x2）2（y2）24，x2（y4）216，得直線CD的方程為xy10， 圓C1的圓心C1(0，4)到直線CD的距離d|4

11、1|25 22，又圓C1的半徑為 4，線段CD的長為 2425 222 14.基礎鞏固題組(建議用時：40 分鐘)一、選擇題1.已知點A(1，1)，B(1，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A.x2y22B.x2y2 2C.x2y21D.x2y24解析AB的中點坐標為(0，0)，|AB| 1（1）2（11）22 2，圓的方程為x2y22.答案A2.方程x2y2ax2ay2a2a10 表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(，2)23，B.23，0C.(2，0)D.2，23解析方程為xa22(ya)21a3a24表示圓，則 1a3a240，解得2a23.答案D83.(2018廈門質檢)圓C與

12、x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|2，則圓C的標準方程為()A.(x1)2(y 2)22B.(x1)2(y2)22C.(x1)2(y 2)24D.(x1)2(y 2)24解析由題意得，圓C的半徑為 11 2，圓心坐標為(1， 2)，圓C的標準方程為(x1)2(y 2)22.答案A4.點P(4，2)與圓x2y24 上任一點連線的中點的軌跡方程是()A.(x2)2(y1)21B.(x2)2(y1)24C.(x4)2(y2)24D.(x2)2(y1)21解析設圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)，則x4x02，y2y02，解得x02x4，y02y2.因為

13、點Q在圓x2y24 上，所以x20y204，即(2x4)2(2y2)24，化簡得(x2)2(y1)21.答案A5.(2015全國卷)已知三點A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.53B.213C.2 53D.43解析由點B(0， 3)，C(2， 3)，得線段BC的垂直平分線方程為x1，由點A(1，0)，B(0， 3)，得線段AB的垂直平分線方程為y3233x12 ，聯(lián)立，解得ABC外接圓的圓心坐標為1，2 33，其到原點的距離為122 332213.答案B二、填空題6.(2018長沙模擬)以拋物線y24x的焦點為圓心，與該拋物線的準線相切的圓的

14、標準方9程為_.解析拋物線y24x的焦點為(1，0)，準線為x1，故所求圓的圓心為(1，0)，半徑為2，所以該圓的標準方程為(x1)2y24.答案(x1)2y247.(2018宜昌模擬)已知圓C：x2y2kx2yk2，當圓C的面積取最大值時，圓心C的坐標為_.解析圓C的方程可化為xk22(y1)234k21.所以，當k0 時圓C的面積最大.答案(0，1)8.已知點M(1，0)是圓C：x2y24x2y0 內的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是_.解析過點M的最短弦與CM垂直，圓C：x2y24x2y0 的圓心為C(2，1)，kCM10211，最短弦所在直線的方程為y0(x1)，即xy10.答

15、案xy10三、解答題9.一圓經(jīng)過A(4，2)，B(1，3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為 2，求此圓的方程.解設所求圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0).令y0，得x2DxF0，所以x1x2D.令x0，得y2EyF0，所以y1y2E.由題意知DE2，即DE20.又因為圓過點A，B，所以 1644D2EF0.19D3EF0.解組成的方程組得D2，E0，F(xiàn)12.故所求圓的方程為x2y22x120.10.已知點P(2，2)，圓C：x2y28y0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.(1)求M的軌跡方程；(2)當|OP|OM|時，求l的方程及POM

16、的面積.解(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0，4)，半徑為 4.10設M(x，y)，則CM(x，y4)，MP(2x，2y).由題設知CMMP0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點P在圓C的內部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心， 2為半徑的圓.由于|OP|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPM.因為ON的斜率為 3，所以l的斜率為13，故l的方程為x3y80.又|OM|OP|2 2，O到l的距離為4 105，所以|PM|4 105，SPOM124 1054

17、 105165，故POM的面積為165.能力提升題組(建議用時：20 分鐘)11.若直線ax2by20(a0，b0)始終平分圓x2y24x2y80 的周長，則1a2b的最小值為()A.1B.5C.4 2D.32 2解析由題意知圓心C(2，1)在直線ax2by20 上，2a2b20，整理得ab1，1a2b1a2b(ab)3ba2ab32ba2ab32 2，當且僅當ba2ab，即b2 2，a 21 時，等號成立.1a2b的最小值為 32 2.答案D12.(2018東北三省四校聯(lián)考)已知圓C：(x3)2(y4)21，設點P是圓C上的動點.記d|PB|2|PA|2，其中A(0，1)，B(0，1)，則d

18、的最大值為_.11解析設P(x0，y0)，d|PB|2|PA|2x20(y01)2x20(y01)22(x20y20)2.x20y20為圓上任一點到原點距離的平方，(x20y20)max(51)236，dmax74.答案7413.(2017全國卷)已知拋物線C：y22x，過點(2，0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1)證明：坐標原點O在圓M上；(2)設圓M過點P(4，2)，求直線l與圓M的方程.(1)證明設l：xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立y22x，xmy2，消去x得y22my40，4m216 恒大于 0，y1y22m，y1y24.OAOBx1x2y1y2(my12)(my22)y1y2(m21)y1y22m(y1y2)44(m21)2m2m40.所以OAOB，即O在圓M上.(2)解