第9章第8節(jié)n次獨立重復(fù)試驗與二項分布

1、20102014年高考真題備選題庫第9章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布第8節(jié) n次獨立重復(fù)試驗與二項分布1（2014新課標(biāo)全國，5分）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A0.8 B0.75C0.6 D0.45解析：根據(jù)條件概率公式P(B|A)，可得所求概率為0.8.答案：A2（2014廣東，13分）隨機觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,

2、34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率25,3030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,45n1f1(45,50n2f2(1)確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35的概率解：(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)統(tǒng)計出n17，n22；計算得f10.28，f20.08.(2)由于組距為5，用得各組的縱坐標(biāo)分別為0.024，0.040,0.064,0.056,0.016.不妨

3、以0.008為縱坐標(biāo)的一個單位長、5為橫坐標(biāo)的一個單位長畫出樣本頻率分布直方圖如下：(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，以頻率估計概率，則在該廠任取1人，其日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35的頻率為0.2，估計其概率為0.2.所以在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35的概率P1C(0.2)0(10.2)40.590 4.3（2014遼寧，12分）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖如圖所示將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2

4、)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)×500.6，P(A2)0.003×500.15，P(B)0.6×0.6×0.15×20.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為P(X0)C·(10.6)30.064，P(X1)C

5、3;0.6(10.6)20.288，P(X2)C·0.62(10.6)0.432，P(X3)C·0.630.216.X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為XB(3,0.6)，所以期望E(X)3×0.61.8，方差D(X)3×0.6×(10.6)0.72.4（2014四川，12分）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得200分)設(shè)每次擊鼓出

6、現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因解：(1)X可能的取值為：10,20,100，200.根據(jù)題意，有P(X10)C×1×2，P(X20)C×2×1，P(X100)C×3×0，P(X200)C×0×3.所以X的分布列為X1020100200P(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(

7、i1,2,3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1P(A1A2A3)131.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.(3)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)10×20×100×200×.這表明，獲得分?jǐn)?shù)X的均值為負(fù)，因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大5（2014湖北，12分）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超

8、過120的年份有5年將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080X120X>120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？解：(1)依題意，p1P(40<X<80)0.2，p2P(80x120)0.7，p3P(X>120)

9、0.1.由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為pC(1p3)4C(1p3)3p344×3×0.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)安裝1臺發(fā)電機的情形由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y5 000，E(Y)5 000×15 000.安裝2臺發(fā)電機的情形依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)X80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000×210 000，因此P(Y10

10、000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 200×0.210 000×0.88 840.安裝3臺發(fā)電機的情形依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；當(dāng)80X120時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y5 000×28009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；當(dāng)X>120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y5 000×315 000，因此P(Y15 000)P

11、(X>120)p30.1.因此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 400×0.29 200×0.715 000×0.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺6（2013安徽，13分）某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)已知該系共有n位學(xué)生，每次活動均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系k位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生

12、人數(shù)為X.(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；(2)求使P(Xm)取得最大值的整數(shù)m.解：本題主要考查古典概型，計數(shù)原理，分類討論思想等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查抽象的思想，邏輯推理能力，運算求解能力，以及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力(1)因為事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件，所以與相互獨立由于P(A)P(B)，故P()P()1，因此學(xué)生甲收到活動通知信息的概率P12.(2)當(dāng)kn時，m只能取n，有P(Xm)P(Xn)1.當(dāng)k<n時，整數(shù)m滿足kmt，其中t是2k和n中的較小者由于“李老師和張老師各自

13、獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給k位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為(C)2.當(dāng)Xm時，同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2km，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為mk.由乘法計數(shù)原理知：事件Xm所含基本事件數(shù)為CCCCCC.此時P(Xm).當(dāng)km<t時，P(Xm)P(Xm1)CCCC(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2k<t成立，則當(dāng)(k1)2能被n2整除時，k2k<2k1t.故P(Xm)在m2k和m2k1處達最大值；當(dāng)(k1)2不能被n2整除時，P(Xm)在m2k處達最大值(注：x表示不超過x的最大整數(shù))下面證明k2k<t.因為1k<

14、n，所以2kk0.而2kn<0，故2k<n，顯然2k<2k.因此k2k<t.7（2013福建，13分）某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？解：本小題主要考查古典概型、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基

15、礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應(yīng)用意識，考查必然與或然思想法一：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這兩人的累計得分X3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X5”，因為P(X5)×，所以P(A)1P(X5)，即這兩人的累計得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)由已知可得，X1B，X2B，所以E(X1)2×，E(X2)2×，從而E(2X1)2E(X1)，

16、E(3X2)3E(X2).因為E(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大法二：(1)由已知得，小明中獎的概率為，小紅中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響記“這兩人的累計得分X3”的事件為A，則事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三個兩兩互斥的事件，因為P(X0)×，P(X2)×，P(X3)×，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即這兩人的累計得分X3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X1，X2的分布列如下：X1024PX2036P所以E(X

17、1)0×2×4×，E(X2)0×3×6×.因為E(X1)>E(X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大8（2013四川，12分）某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i1,2,3)的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分?jǐn)?shù)據(jù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值

18、為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30121172 1001 051696353當(dāng)n2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；(3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望解：本題主要考查算法與程序框圖、古典概型、獨立重復(fù)試驗、隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、頻數(shù)、頻率等概念及相關(guān)計算，考查運用統(tǒng)計與概率的知識

19、解決實際問題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識(1)變量x是在1,2,3，24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1；當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2；當(dāng)x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3.所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為.(2)當(dāng)n2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率如下：輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻

20、率輸出y的值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大(3)隨機變量可能的取值為0,1,2,3.P(0)C×0×3，P(1)C×1×2，P(2)C×2×1，P(3)C×3×0，故的分布列為0123P所以，E0×1×2×3×1.即的數(shù)學(xué)期望為1.9（2010新課標(biāo)全國，5分）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100 B200C300 D400解

21、析：記“不發(fā)芽的種子數(shù)為”，則B(1 000,0.1)，所以E1 000×0.1100，而X2，故EXE(2)2E200.答案：B10（2010安徽，5分）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件則下列結(jié)論中正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的編號)P(B)；P(B|A1)；事件B與事件A1相互獨立；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；P(B)的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中究竟哪一個發(fā)生有關(guān)解析

22、：由題意知P(B)的值是由A1，A2，A3中某一個事件發(fā)生所決定的，故錯誤；P(B|A1)，故正確；由互斥事件的定義知正確，故正確的結(jié)論的編號是.答案：11（2012遼寧，12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方

23、法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)附：2，P(2k)0.050.01k3.8416.635解：(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得23.030.因為3.030<3.841，所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意XB(3，)，從而X的分布列為X0123PE(X)np3×，12(2011天津，13分)學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這