2020-2021學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高二10月月考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

1、2020-2021學(xué)年黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校高二10月月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1已知，若，則（ ）a4b3cd【答案】d【解析】根據(jù)及、的坐標(biāo)，應(yīng)用坐標(biāo)表示向量垂直即可求參數(shù)【詳解】由，有解得故選：d【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，利用已知向量坐標(biāo)及垂直關(guān)系有求參數(shù)值2在中，角所對的邊分別為，若，則（ ）a2b3c4d【答案】c【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理可知，則故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3某簡單幾何體的三視圖（俯視圖為等邊三角形）如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）為a18bcd【答案】c【解析】判

2、斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.【詳解】由題意可知幾何體是底面為正三角形的三棱柱，底面邊長為2，高為3,所以幾何體的體積為，故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力4已知，且，則的最小值為（ ）a8b9c6d7【答案】b【解析】由題意，根據(jù)，結(jié)合基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查由基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題型.5如圖所示，三棱臺中，沿面截去三棱錐，則剩余部分是（ ）a三棱錐b四棱錐c三棱臺d四棱臺【答案】b【解析】根據(jù)棱錐的定義和空間結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征

3、，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，三棱臺中，沿面截去三棱錐，則剩余部分是四棱錐，故選b.【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱錐的定義及其判定，其中解答中熟記棱錐的定義，以及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.6設(shè)m，n是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）a若，則；b若，則；c若，則；d若，則【答案】c【解析】直接由直線平面的定理得到選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)， m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，與內(nèi)一直線l，所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以所以該選項(xiàng)正確.【詳解】對于選項(xiàng)，若，則，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，若，則，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)

4、，若，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，若，則與內(nèi)一直線l，所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以所以該選項(xiàng)正確.故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（ ）a30°b45°c60°d90°【答案】d【解析】連接，由已知條件可證得平面，從而可得，由此可得答案【詳解】連接，則，因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，所以，所以異面直線與所成的角為，故選：d【點(diǎn)睛】此題考查求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題8在我國古代著名的數(shù)學(xué)

5、專著 九章算術(shù)里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢問：幾日相逢? （）a16 日b12 日c9 日d8 日【答案】c【解析】【詳解】解：由題可知，良馬每日行程an構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為103，公差13的等差數(shù)列，駑馬每日行程bn構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為97，公差為0.5的等差數(shù)列，則an103+13（n1）13n+90，bn970.5（n1）97.50.5n，則數(shù)列an與數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為1125×22250，又?jǐn)?shù)列an的前n項(xiàng)和為（103+13n+90）（193+13n），

6、數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為（97+97.50.5n）（194.5n），（193+13n）（194.5n）2250，整理得：25n2+775n90000，即n2+31n3600，解得：n9或n40（舍），即九日相逢故選c點(diǎn)睛：本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列，考查轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題9給出下列命題：有兩個(gè)面互相平行且是全等的三角形，其余各面都是四邊形，且相鄰兩四邊形的公共邊互相平行，由這些面所圍成的封閉幾何體是三棱柱；有一個(gè)面是五邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的封閉幾何體一定是五棱錐；有兩個(gè)面是互相平行且相似的矩形（不全等），其

7、余各面都是梯形，由這些面所圍成的封閉幾何體一定是四棱臺.其中正確的命題是（ ）abcd【答案】b【解析】根據(jù)棱柱的定義進(jìn)行判斷；根據(jù)棱錐的定義進(jìn)行判斷；根據(jù)棱臺的定義進(jìn)行判斷【詳解】由棱柱的定義知正確；由棱錐的定義知正確；棱臺是由平行于底面的棱錐所截得的，有兩個(gè)面是互相平行且相似的矩形（不全等），其余各面都是梯形，四條側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)，則不一定是四棱臺，故錯(cuò)誤；故正確的是；故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，結(jié)合棱柱，棱錐，棱臺的定義是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)10如圖，在棱長為的正方體中，為中點(diǎn)，則四面體的體積( )abcd【答案】c【解析】由體積橋可知，求解出和高，代入三棱錐體積公式

8、求得結(jié)果.【詳解】為中點(diǎn) 又平面本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用體積橋?qū)⑺笕忮F更換頂點(diǎn)，從而更容易求得幾何體的高和底面積，屬于基礎(chǔ)題.11魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（ ）abcd【答案】a【解析】該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來的幾何體，然后按照表面積公式計(jì)算即可.【

9、詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長為的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為，則該幾何體的表面積為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化與簡單幾何體的表面積，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.12在棱長為2的正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）abcd【答案】d【解析】由幾何體為正方體，以d為原點(diǎn)，da為x軸，dc為y軸，dd1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面d1ef的法向量，結(jié)合向量的點(diǎn)到平面距離公式求得點(diǎn)m到平面d1ef的距離，結(jié)合n為em中點(diǎn)即可求解【詳解】以d為原點(diǎn)，da為x軸，

10、dc為y軸，dd1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則m（2，2），d1（0，0，2），e（2，0，1），f（2，2，1），（2，0，1），（0，2，0），（0，1），設(shè)平面d1ef的法向量（x，y，z），則 ，取x1，得（1，0，2），點(diǎn)m到平面d1ef的距離為：d，n為em中點(diǎn)，所以n到該面的距離為 故選：d【點(diǎn)睛】本題考查利用向量法求解點(diǎn)到平面距離，建系法與數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，屬于中檔題二、填空題13已知直線l的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線l的一般式方程為_【答案】【解析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求出之后再化為一般是方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€l的斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)，所以直線l的方程為，即故

11、答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，一般式方程，是基礎(chǔ)題.14圓的圓心到直線的距離為1，則_【答案】【解析】求出圓心坐標(biāo)，代入點(diǎn)到直線距離方程，解得答案【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為：，故圓心到直線的距離，解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是圓的一般方程，點(diǎn)到直線的距離公式15已知圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，若該球的表面積為，則圓柱的側(cè)面積為_【答案】.【解析】先由球的表面積為求出球的半徑，然后由圓柱的側(cè)面積公式算出即可【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e所以所以圓柱的底面直徑與高都為所以圓柱的側(cè)面積：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是空間幾何體表面積的算法，較簡單.16如圖，在長方體中，e、f分

12、別為棱、的中點(diǎn).動點(diǎn)p在長方體的表面上，且，則點(diǎn)p的軌跡的長度為_.【答案】【解析】過點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)平面，使之與直線垂直，則平面與正方體的表面的交線為動點(diǎn)的軌跡，則可得到答案.【詳解】過構(gòu)造一個(gè)平面，使得,當(dāng)點(diǎn)在平面與正方體的表面的交線上時(shí)，就有成立.連接，則在正方體中e、f分別為棱、的中點(diǎn).則. 在側(cè)面內(nèi)過點(diǎn)作,交于點(diǎn).則平面就是需要的平面.則平面截正方體得到截面為矩形.如圖則動點(diǎn)的軌跡為矩形的四條邊組成的圖形.，則.所以所以，則.所以矩形的周長為: 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查滿足條件的動點(diǎn)的軌跡的探索，考查線面垂直，屬于中檔題.三、解答題17已知圓c過三點(diǎn)，圓c的方程；【答案】【解析】根據(jù)圓的

13、對稱性由兩點(diǎn)，可得圓心在上，從而設(shè)出圓心坐標(biāo)，再由，到圓心的距離等于半徑列出等式，得出圓c的方程.【詳解】因?yàn)閳A過點(diǎn)，故圓心在上設(shè)圓心坐標(biāo)，則，解得.故其半徑.故圓方程為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓上三點(diǎn)求圓的方程，屬于中檔題.18已知，.（1）求與的夾角；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知可以求出的值，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的夾角公式，求出，進(jìn)而得到向量與的夾角；（2）要求，我們可以根據(jù)（1）中結(jié)論，先求出的值，然后開方求出答案【詳解】（1），向量與的夾角.（2），.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角、向量的模，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力

14、19在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知（1）求角c的大?。?）若，的面積為，求的周長【答案】（）（）. 【解析】（）利用正弦定理化簡已知等式可得值，結(jié)合范圍，即可得解的值（）利用正弦定理及面積公式可得，再利用余弦定理化簡可得值，聯(lián)立得從而解得周長【詳解】（）由正弦定理，得，在中，因?yàn)?，所以故?又因?yàn)?c，所以 （）由已知，得.又，所以. 由已知及余弦定理，得， 所以，從而.即 又，所以的周長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題20在四棱錐中，底面是正方形，與交于點(diǎn)，底面，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若,求三棱錐f-abc的體積.【答案】

15、（1）見解析；（2）【解析】（1） 連接of，證明，結(jié)合線面平行的判定定理證明即可（2）由底面，知f到平面abc的距離為,再由三棱錐體積公式可以算出答案【詳解】（1）連接由是正方形可知,點(diǎn)為中點(diǎn)又為的中點(diǎn)，所以 又平面平面所以平面 （2）取bc的中點(diǎn)為h，連結(jié)fh， 【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行，以及三棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題21設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1），；（2）【解析】（1）由已知利用遞推公式，可得，代入分別可求數(shù)列的首項(xiàng)，公比，從而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”錯(cuò)位相減法求和【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)式為設(shè)的公比為，由已知條件知，所以，即(2)，兩式相減得：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求法，錯(cuò)位相減法求數(shù)列通項(xiàng)，屬于中檔題.22如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面.（1）若為邊的中點(diǎn)，求證：平面.（2）求證：.（3）若為邊的中點(diǎn)，能否在上找出一點(diǎn)，使平面 平面？【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）證明，利用面面垂直的性質(zhì)即可證明（2）證平面即可得（3）存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)