極限存在準則及兩個重要極限(3)課件

1、1要極限兩個重極限存在準則第六節(jié)一、極限存在準則二、兩個重要極限三、小結(jié)及作業(yè)2一、極限存在準則1.夾逼準則夾逼準則準準則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 3,1 ayNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng),max21NNN 取取恒恒有有時時當(dāng)當(dāng),Nn , ayan即即,2 azNnn時時恒恒有有當(dāng)當(dāng), azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成立

2、成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限4準準則則 如如果果當(dāng)當(dāng)),(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在, , 且且等等于于A. . 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準則求極限關(guān)利用夾逼準則求極限關(guān)nnnnzyzy準則準則1 和和準則準則 2稱為稱為夾逼準則夾逼準則.5例例1 1).12111(

3、lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn6記住結(jié)果：記住結(jié)果：11nnnlim)()(lim)(012aannnnnnn43212lim例例解：解：nnnnn4443214444nnlim而而44321nnnnnlim7x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準準則則 單單

4、調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM8例例3 3.)(333的極限存在式重根證明數(shù)列nxn證證,1nnxx顯然 ;是單調(diào)遞增的nx, 331x又, 3kx假定kkxx3133, 3 ;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA 2131,2131AA解得(舍去舍去).2131limnnx94例例),()(321211nxaxxnnn設(shè)設(shè).lim,nnxax求求001解：解：)(nnnxaxx211nnxax annxx1)(2121nxa)1 (21aa1nnxx1即即,limAxnn設(shè)設(shè)存在，存在，nnx

5、lim),(AaAA21由由,aA.limaxnn10AC二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 AOB 的面積圓扇形AOB的面積 AOC的面積,tan2121sin21xxx即即11,tansinxxx, 1sincos xxx即即,coslim10 xx. 1sinlim0 xxxxxxcossin1112例例4 4.cos1lim20 xxx求解解2202sin

6、2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx說明：說明：）更一般形式：（1, 1)()(sinlim0)(xfxfxf1sinlim330 xxx如）不要混淆：（2sinlim0.xxx例例3 3xxxtanlim0 xxxxcossinlim101111320)22sin(lim21xxx2121 .21 5例例.arcsinlimxxx0解解:,arcsin xt 令令,sintx 則則原式tttsinlim0tttsinlim10114(2)exxx )11(lim存在：先證nnn)11 (limnnnx)11 ( 設(shè)21! 2) 1(1! 11nnnnn).11 ()21)(

7、11 (!1)11 (! 2111nnnnnnnnnnnnn1!) 1() 1(15).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111 (!1)111 (! 21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx顯然 ;是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn1212111n1213n, 3 ;是有界的nx.lim存在nnxennn)11 (lim記為)71828. 2(e類似地類似地,16.)11 (limexxx可證：可證：注：注：exxx1011)(lim）等價形式：）等價形式：（exfxfxf)()()(lim1012）一一般般形形式式：（例例6 6xxx231)(li

8、m6331xxx)(lim6331)(limxxx6e17例例7 7.)(limxxx521求求解解10221)(limxxx原式原式10 e例例8 8xxxxcot)(lim110 xxxxxxxxxsincos)(lim12210121xxxxxxxxxsincos)(lim122101212e189例例.)cos(sinlimxxxx112211xxxx)cos(sinlim221xxx)sin(limxxxxx222121sinsin)sin(lime1910例例 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e20三、小結(jié)1.兩個準則兩個

9、準則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準則夾逼準則; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 21作業(yè)作業(yè)5661P習(xí)題)5 , 3 , 2(4),4 , 2 , 1 (2),6 , 5 , 4 , 3( 122思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 23思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e24._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arc25xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、26 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準則證明數(shù)列利用極限存在準則證明數(shù)列,.222,22, 2 的極限存在，并求的極限存在，并求