高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 3.2 對數(shù)函數(shù) 3.2.1 對數(shù)2學(xué)案 蘇教版必修1

1、第2課時對數(shù)的運算性質(zhì)1理解對數(shù)的運算性質(zhì)，能靈活準確地進行對數(shù)式的化簡與計算；2了解對數(shù)的換底公式，并能將一般對數(shù)式轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)，從而進行簡單的化簡與證明1對數(shù)的運算法則如果a0，且a1，m0，n0，nr，那么：指數(shù)的運算法則對數(shù)的運算法則am·anamnloga(mn)logamlogan；am·anamnlogalogamlogan；(am)namnloga(nn)n·logan.積的對數(shù)變?yōu)榧?，商的對?shù)變?yōu)闇p，冪的乘方取對數(shù)，要把指數(shù)提到前【做一做11】計算：(1)log26log23_；(2)log53log5_.答案：(1)1(2)0【做一

2、做12】若2lg(x2y)lg xlg y，則的值是_解析：由等式得(x2y)2xy，從而(xy)(x4y)0，因為x2y，所以x4y.答案：42換底公式(1)logab，即有l(wèi)ogca·logablogcb(a0，a1，c0，c1，b0)；(2)logba，即有l(wèi)ogab·logba1(a0，a1，b0，b1)；(3)(a0，a1，b0)換底公式真神奇，換成新底可任意，原底加底變分母，真數(shù)加底變分子【做一做2】已知lg na，用a的代數(shù)式表示：(1)log100n_；(2)_.答案：(1)a(2)2a運用對數(shù)的運算性質(zhì)應(yīng)注意哪些問題？剖析：對數(shù)的運算性質(zhì)有三方面，它是我們

3、對一個對數(shù)式進行運算、變形的主要依據(jù)要掌握它們需注意如下幾點：第一，要會推導(dǎo)，要求對每一條性質(zhì)都會證明，通過推導(dǎo)加深對對數(shù)概念的理解和對對數(shù)運算性質(zhì)的理解，掌握對數(shù)運算性質(zhì)中三個公式的特征，以免亂造公式例如：logn(m±n)logam±logan，loga(m·n)logam·logan等都是錯誤的第二，要注意對數(shù)運算性質(zhì)成立的條件，也就是要把握各個字母取值的范圍：a0且a1，m0，n0.例如，lg(2)(3)是存在的，但lg(2)、lg(3)都不存在，因而得不到lg(2)(3)lg(2)lg(3)第三，由于對數(shù)的運算性質(zhì)是三個公式，因此在應(yīng)用時不僅要

4、掌握公式的“正用”，同時還應(yīng)掌握公式的“逆用”題型一 有關(guān)對數(shù)式的混合運算【例1】求下列各式的值：(1)log535log5log514；(2)lg 52lg 8lg 5·lg 20lg22；(3).分析：利用對數(shù)運算性質(zhì)和“l(fā)g 2lg 51”解答解：(1)log535log5log514log5log55312.(2)lg 52lg 8lg 5·lg 20lg222lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)lg222lg 10(lg 2lg 5)2213.(3).反思：對數(shù)的運算一般有兩種方法：一種是將式中真數(shù)的積、冪、商、方根運用對數(shù)運算法則將它們化為對數(shù)的和、

5、差、積、商，然后計算；另一種是將式中的和、差、積、商運用對數(shù)運算法則將它們化為真數(shù)的積、冪、商、方根，然后化簡求值另外注意利用“l(fā)g 2lg 51”來解題題型二 有關(guān)對數(shù)式的恒等證明【例2】已知4a29b24ab(a0)，證明lg.分析：運用對數(shù)運算性質(zhì)對所證等式轉(zhuǎn)化為lglg，因此只要利用條件證出真數(shù)相等即可證明：由4a29b24ab，得2ab，因為a0，所以b0，兩邊取以10為底的對數(shù)，得lg2lg(ab)，即2lglg(ab)，lglg(ab)，所以lg(lg alg b)因此lg，所以原等式成立反思：在由一般等式證明對數(shù)式時，要注意使對數(shù)有意義，這里在取對數(shù)前要說明b0.題型三 對數(shù)換

6、底公式的應(yīng)用【例3】已知log23a,3b7，則log1256_(用a，b表示)解析：方法一：log23a，2a3.又3b7，7(2a)b2ab.故568×723ab.又123×42a×42a2，從而.故log1256.方法二：log23a，log32.又3b7，log37b.從而log1256.方法三：log23a，lg 3alg 2.又3b7，lg 7blg 3.lg 7ablg 2.從而log1256.答案：反思：方法一是借助指數(shù)變形來解；方法二與方法三是利用換底公式來解，顯得較簡明應(yīng)用對數(shù)換底公式解這類題的關(guān)鍵是適當選取新的底數(shù)，從而把已知對數(shù)和所求對數(shù)都

7、換成新的對數(shù)，再代入求值即可題型四 有關(guān)對數(shù)的應(yīng)用題【例4】科學(xué)研究表明，宇宙射線在大氣中能夠產(chǎn)生放射性14c.14c的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標準時鐘”，動植物在生長過程中衰變的14c，可以通過與大氣的相互作用而得到補充，所以活著的動植物每克組織中的14c含量保持不變，死亡后的動植物，停止了與外界環(huán)境的相互作用，機體中原有的14c按確定的規(guī)律衰減，我們已經(jīng)知道其“半衰期”為5 730年(1)設(shè)生物體死亡時，體內(nèi)每克組織的14c含量為1，試推算生物死亡t年后體內(nèi)每克組織中的14c含量p；(2)湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r14c的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆漢墓的

8、年代解：(1)設(shè)生物體死亡1年后，體內(nèi)每克組織中14c的殘留量為x.由于死亡機體中原有的14c按確定的規(guī)律衰減，所以生物體的死亡年數(shù)t與其體內(nèi)每克組織的14c含量p有如下關(guān)系：死亡年數(shù)t123t14c含量pxx2x3xt因此，生物體死亡t年后體內(nèi)14c的含量pxt.由于大約經(jīng)過5 730年，死亡生物體的14c含量衰減為原來的一半，所以x5 730.于是x.所以生物死亡t年后體內(nèi)每克組織中的14c含量.(2)由可得.湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r14c的殘余量約占原始含量的76.7%，即p0.767.所以.故馬王堆漢墓約是2 193年前的遺址反思：生物體死亡后，機體中原有的14c每年按相同的比率衰

9、減，因此，可以根據(jù)“半衰期”得到這一比率已知衰減比率，求若干年后機體內(nèi)14c的含量屬于指數(shù)函數(shù)模型；反之，已知衰減比率和若干年后機體內(nèi)14c的含量，求衰減的年數(shù)應(yīng)屬于對數(shù)知識1設(shè)lg a1.02，則0.010.01的值為_(用a表示)解析：設(shè)0.010.01x，則lg xlg 0.010.010.01lg 0.010.02，lg alg xlg ax0.021.021.ax10，x.答案：2若lg 2a，lg 3b，則lg 0.18等于_解析：lg 0.18lg 1822lg 3lg 22a2b2.答案：a2b23已知，則log23_.解析：由條件得log2，所以log23.答案：4計算：log2log212log242.解：原式log2.5設(shè)x，y，z為正數(shù)，且3x4y6z，求證：.證明：設(shè)3x4y6zk，且x，y，z為正數(shù)，所以k1.那么xlog3k，ylog4k，zlog6k，所以logk6logk3logk2logk4.所以.6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f