連續(xù)性隨機(jī)變量及其分布課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量1. 定義定義 對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)若存在非負(fù)函數(shù)f(x) (- x+ )，使對(duì)任意實(shí)數(shù)使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，()( ),xFxP Xxf t dt 則稱(chēng)則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為為X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，概率密概率密度度或或密度函數(shù)密度函數(shù)（ probability density function or probability density ）。一、一、概率密度概率密度注：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。注：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。 （1） 非負(fù)性非負(fù)性 f(x) 0，(- x )

2、； （2）歸一性歸一性()1.fx dx ( )xf xae 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為求常數(shù)a。答答: :12a 2. 密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì)這兩條性質(zhì)是這兩條性質(zhì)是密度函數(shù)的密度函數(shù)的充要性質(zhì)充要性質(zhì)（3）若若x是是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則的連續(xù)點(diǎn)，則()()dFxfxdx 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:102( )1102xxexF xex 求求f(x)。故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)落在區(qū)間間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限。上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限。( ,x xx 對(duì)對(duì) f(x)的進(jìn)一步

3、理解的進(jìn)一步理解: 若若x是是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則的連續(xù)點(diǎn)，則：0limxP xXxxx f(x) =0()( )limxF xxF xx ()()dFxfxdx 若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：xxfxxXxP )(它表示隨機(jī)變量它表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于(x , x+x的概率近似等的概率近似等于于 f(x)x。f(x)x在連續(xù)型在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與理論中所起的作用與PX=xk 在離散型在離散型r.v理論中所起的作用相類(lèi)似。理論中所起的作用相類(lèi)似。（4）對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)a, 若若連續(xù)型連續(xù)型 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X具有概率具有概率密度密度 f(x) (- x

4、)， 則則 PX=a0。于是。于是( )baP aXbP aXbP aXbf x dx 可見(jiàn)可見(jiàn)，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 ，A 由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S。0( )()P XaP axXaF aF ax 令令x0，由于，由于X是連續(xù)型是連續(xù)型r.v，所以它的分布函數(shù)，所以它的分布函數(shù)連續(xù)，從而連續(xù)，從而PX=a=0。推導(dǎo)推導(dǎo)密度函數(shù)的密度函數(shù)的幾何意義幾何意義為為()baP aXbfx dx 例例2.13 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為01( )2120kxxf xxx 其其他他1) 確定常數(shù)確定常數(shù)k。2) 求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x

5、)。3) 求求PX (0.5,1.5)。解解: :1)( )( )xF xf u du 0001010120120,00, 010(2), 120(2)0,2xxxxduxduuduxduuduu duxduuduu dudux 2)120111()(2).2kf x dxkxdxx dx 所以所以, , k=13) PX (0.5,1.5)= 11.50.513(2)4uduu du220,01, 012( )121, 1221,2xxxF xxxxx 即即，或或 =F(1.5)-F(0.5)= 。34若若 r.v. X的概率密度為：的概率密度為：則稱(chēng)則稱(chēng)X在區(qū)間在區(qū)間( a, b)上服從均

6、勻分布，上服從均勻分布，記作：記作： X U(a, b)(xfab1,( )0,axbf xba 其其它它1. 均勻分布（均勻分布（Uniform distribution ）三種常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布常見(jiàn)于下列情形：均勻分布常見(jiàn)于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)后第一位進(jìn)一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)后第一位進(jìn)行四舍五行四舍五 入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤差服從（入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤差服從（-0.5, 0.5）上的均勻分布。）上的均勻分布。若若X U(a, b)，則對(duì)于滿(mǎn)足，則對(duì)于滿(mǎn)足ac0)的的指數(shù)

7、分布。指數(shù)分布。x)x(f01,0,()0,.xexFx 其其 它它若若 X其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為三種常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量例例2.15 電子元件的壽命電子元件的壽命X（年年）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為3的指的指數(shù)分布。數(shù)分布。（1）求該電子元件壽命超過(guò)）求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。年的概率。（2）已知該電子元件已使用了）已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能年，求它還能使用至少兩年的概率為多少？使用至少兩年的概率為多少？解：解：131,0( )30,0,xexf xx 123321(1) 2,3xP Xedx e 1323.53131.53.5,1.5(2) 3.5|1.51.513.13x

8、xp XXP XXXedxeedx 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命命。正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。續(xù)型分布。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯（Gauss）加以推廣，所以通常稱(chēng)）加以推廣，所以通常稱(chēng)為高斯分布。為高斯分布。德莫佛德莫佛德莫佛（德莫佛（De Moivre）最早發(fā)現(xiàn)了）最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公式，這一公二項(xiàng)分布的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。3. 正態(tài)分布（正態(tài)分布（Normal distribution）三種常

9、見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量高斯高斯（I）. 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義若若r.v. X 的的概率密度為概率密度為2(,)XN 記作記作 f (x)所確定的曲線(xiàn)叫作所確定的曲線(xiàn)叫作正態(tài)曲線(xiàn)。正態(tài)曲線(xiàn)。22()21( ),2xf xex 其中其中 和和 都是常數(shù)都是常數(shù), 任意任意, 0, 則稱(chēng)則稱(chēng)X服從參服從參數(shù)為數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布。 （II）. 正態(tài)分布正態(tài)分布N(,2 2) 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)圖形關(guān)于直線(xiàn)圖形關(guān)于直線(xiàn)x= = 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)： f ( + x) = f ( - x) 。在在 x = 時(shí)時(shí), , f (x) 取得最大值取得最大值 。12 在在 x = = 時(shí)時(shí), , 曲線(xiàn)曲線(xiàn)

10、 y = f(x) 在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn)。拐點(diǎn)。曲線(xiàn)曲線(xiàn) y = f (x) 以以x軸為漸近線(xiàn)軸為漸近線(xiàn)。曲線(xiàn)曲線(xiàn) y = f (x) 的圖形呈單峰狀。的圖形呈單峰狀。P XP X -6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.312 f (x) 的兩個(gè)參數(shù)：的兩個(gè)參數(shù)： 位置參數(shù)位置參數(shù)即固定即固定 ，對(duì)于不同的對(duì)于不同的 ，對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 f (x)的形狀不的形狀不變化，只是位置不同。變化，只是位置不同。 形狀參數(shù)形狀參數(shù)固定固定 ，對(duì)于不同的對(duì)于不同的 ，f (x) 的形狀不同。的形狀不同。q 由于由于 f ( ) 所以所以 越小，越小，f(x)變得越尖，變得

11、越尖， 1,2 而而X落在落在 附近的概率越大附近的概率越大。下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫(huà)下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫(huà)出的頻率直方圖。出的頻率直方圖。紅線(xiàn)紅線(xiàn)是擬是擬合的正態(tài)合的正態(tài)密度曲線(xiàn)密度曲線(xiàn)可見(jiàn)，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布?？梢?jiàn)，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方面反映了服從正態(tài)分布的隨致相近，這從一個(gè)方面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)。機(jī)變量的特點(diǎn)。除了我們?cè)谇懊嬗龅竭^(guò)的

12、年降雨量和身高外，在除了我們?cè)谇懊嬗龅竭^(guò)的年降雨量和身高外，在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。應(yīng)用場(chǎng)合應(yīng)用場(chǎng)合若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影受到眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響響, 而每一個(gè)別因素的影響都是微小的而每一個(gè)別因素的影響都是微小的, 且這些影且這些影響可以疊

13、加響可以疊加, 則則 X 服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布?？捎谜龖B(tài)變量描述的實(shí)例非常之多：可用正態(tài)變量描述的實(shí)例非常之多：各種測(cè)量的誤差；各種測(cè)量的誤差； 人的生理特征；人的生理特征；工廠(chǎng)產(chǎn)品的尺寸；工廠(chǎng)產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金屬線(xiàn)的抗拉強(qiáng)度；金屬線(xiàn)的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度； 學(xué)生們的考試成績(jī)；學(xué)生們的考試成績(jī)；（III）. 設(shè)設(shè)X 2(,)N ，X的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是22()21( ),2txF xedtx 221( ),2txxedtx （IV）. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布01, 的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。的正態(tài)

14、分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。221(),2xxex 其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 ( (x) ) 和和 ( (x) ) 表示表示：)(x )(x 它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。態(tài)分布都可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)定理根據(jù)定理1，只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成，只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題。表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題。2( ,)XN XZ , ,則則 N(0,1) 設(shè)設(shè)定

15、理定理1書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表。以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表。（V）. 正態(tài)分布表正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中給的是表中給的是x0時(shí)時(shí), (x)的值的值。當(dāng)當(dāng)-x3|3 的值。的值。如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值 3 3 作兩條線(xiàn)，作兩條線(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線(xiàn)之外時(shí)發(fā)出警當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線(xiàn)之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。例例2.16 已知已知XN(d,0.52)，問(wèn)，問(wèn)d至少為多少時(shí)至少為多少時(shí),

16、800.99?P X 解：解：由題意，由題意，d需滿(mǎn)足需滿(mǎn)足800.99800.50.5XddP XP 808011()0.50.50.5XdddP 因?yàn)橐驗(yàn)?0(),0.5d 802.330.581.165.dd (2.32)0.9898,(2.33)0.9901,所以所以例例2.17 一種電子元件的使用壽命一種電子元件的使用壽命(小時(shí)小時(shí))服從正態(tài)服從正態(tài)分布分布(100,152)，某儀器上裝有，某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的。求：使用的最初元件損壞與否是相互獨(dú)立的。求：使用的最初90小小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率。時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率。解：解：設(shè)設(shè)A

17、為使用的最初為使用的最初90小時(shí)內(nèi)元件損壞；小時(shí)內(nèi)元件損壞；Y為為A發(fā)發(fā)生的元件數(shù)。生的元件數(shù)。( )9090100()( 0.67)0.251415pP AP X 故故30(1)0.4195P Yp 則則Yb(3,p),其中其中例例2.18 （1）假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高）假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高(單位：?jiǎn)挝唬篶m) XN(170,7.692)，求該地區(qū)成年男性的身高，求該地區(qū)成年男性的身高超過(guò)超過(guò)175cm的概率。的概率。 解解: （1）根據(jù)假設(shè)）根據(jù)假設(shè)XN(170,7.692)，則，則170(0,1).7.69XN 故事件故事件X175的概率為的概率為P X175=1175P X175

18、1701()1(0.65)7.69 =0.2578解解: （2）設(shè)車(chē)門(mén)高度為）設(shè)車(chē)門(mén)高度為h cm，按設(shè)計(jì)要求，按設(shè)計(jì)要求PX h0.01或或 PX h 0.99，下面我們來(lái)求滿(mǎn)足上式的最小的下面我們來(lái)求滿(mǎn)足上式的最小的h。（2 2）公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按成年男性與車(chē)門(mén)頂公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按成年男性與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的，問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如以下來(lái)設(shè)計(jì)的，問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定何確定?因?yàn)橐驗(yàn)閄N( (170, ,7.692),),170(0,1)7.69XN 170()7.69h 故故 PX0.991707.69h 所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+17

19、.92188設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為188厘米時(shí)，可使厘米時(shí)，可使男子與車(chē)門(mén)碰頭男子與車(chē)門(mén)碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01PX h 0.99求滿(mǎn)足求滿(mǎn)足的最小的的最小的h。（VII）. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn)z 設(shè)設(shè) X N (0，1) ，0 1，稱(chēng)滿(mǎn)足稱(chēng)滿(mǎn)足P Xz 的點(diǎn)的點(diǎn) z 為為X的上的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn)。 常用的幾個(gè)數(shù)據(jù)常用的幾個(gè)數(shù)據(jù)0.051.645z 0.0251.960z z 0.10.20.30.4z1- = -z 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。求截面面積求截面面

20、積 A= pd2/4的分布的分布。二二 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例如例如，已知圓軸截面直徑，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，又如：已知又如：已知t=t0 時(shí)刻噪聲電壓時(shí)刻噪聲電壓 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等。為電阻）的分布等。t0t0一般地、設(shè)隨機(jī)變量一般地、設(shè)隨機(jī)變量X 的分布已知的分布已知, Y=g (X) (設(shè)設(shè)g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)), 如何由如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的的。二、離散型隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分

21、布函數(shù)的分布例例2.19 已知已知XPk-1 0 1111333求求: Y=X2的分布律。的分布律。YPk0 1 1233 解：解：Y的所有可能取值為的所有可能取值為0，1。由。由PY=0=PX2=0=PX=0=1/3PY=1=PX2=1=PX=1+PX=-1=1/3+1/3=2/3得得Y的分布律為的分布律為如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可。即可。一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v ，X的分布律為的分布律為X1212nnxxxppp則則 Y=g(X)1212()()()nng xg xg xppp 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三

22、、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：解：設(shè)設(shè)X、Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為FX(x)、 FY(y)，則則例例2.20設(shè)設(shè) X /8,04( )0,Xxxfx 其其它它求求 Y=2X+8 的概率密度。的概率密度。FY(y)=PYy = P2X+8 y 將將FY(y)關(guān)于關(guān)于y求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù), , 可得可得Y=2X+8的密度函數(shù)的密度函數(shù)()81()()22YYXdFyyfyfdy 88()22XyyP XF0 )28( yfX168)28( yyfX故故8,816( )320,Yyyfy 其其它它81()()22YXyfyf 知當(dāng)知當(dāng)88()216Xyyf /8,04( )0,Xxxfx 其其它它即即8

23、 y 0 時(shí)時(shí),( )YFyP Yy 2P Xy 注意到注意到 Y=X2 0，故當(dāng)故當(dāng) y0時(shí)時(shí)，0)(yFY解解: : 設(shè)設(shè)Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為FY (y) 和和FX (x), ()()XXFyFy( )YFyP Yy 2P Xy若若221( ),2xXfxe 則則 Y=X2 的概率密度為的概率密度為：1221,0( )20,0yYyfyyye 1()() ,02( )0,0XXYfyfyyyfyy x 稱(chēng)稱(chēng)Y服從自由度為服從自由度為1的的c c2 2分布。分布。 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求PYy 的過(guò)程中，的過(guò)程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從關(guān)鍵的一步

24、是設(shè)法從 g(X) y 中解出中解出X，從而，從而得到與得到與 g(X) y 等價(jià)的等價(jià)的X的不等式的不等式 。例如，用例如，用 X 代替代替 2X+8 y 82y 用用 代替代替 X2 y yXy 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相的分布，從而求出相應(yīng)的概率應(yīng)的概率。這種方法叫這種方法叫分布函數(shù)法，分布函數(shù)法，是求是求r.v的函數(shù)的分布的的函數(shù)的分布的一種常用方法。一種常用方法。下面給出一個(gè)定理，在滿(mǎn)足定理?xiàng)l下面給出一個(gè)定理，在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度。的概率密度。定理定理 設(shè)設(shè)r.v X具有概率密度具有

25、概率密度 fX(x), - x0或恒有或恒有 g (x)0 或或 g (x)0, 2( )0gxx 且有反函數(shù)且有反函數(shù)/2( ),yxh ye 由前述定理得由前述定理得/2()( ) ,0( )0,yXYfehyyfy 其其它它注意注意取絕對(duì)值取絕對(duì)值/21( )2yhye /2/21(),0( )20,yyXYfeeyfy 其其它它1,01( )0,Xxfx 其其它它已知已知X在在(0,1)上服從均勻分布上服從均勻分布，代入代入 fY (y)的表達(dá)式中的表達(dá)式中/21,0( )20,yYeyfy 其其它它得得即即Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為2的指數(shù)分布的指數(shù)分布。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求對(duì)于連續(xù)

26、型隨機(jī)變量，在求Y=g(X) 的分布時(shí)，關(guān)的分布時(shí)，關(guān)鍵的一步是把事件鍵的一步是把事件 g(X) y 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為X在一定范圍在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以利用內(nèi)取值的形式，從而可以利用 X 的分布來(lái)求的分布來(lái)求 P g(X) y 。這一講我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布。這一講我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布。1、不論是離散型的或非離散型的隨機(jī)變量、不論是離散型的或非離散型的隨機(jī)變量X,都可都可以借助分布函數(shù)以借助分布函數(shù) F(x)=PXy, - x 來(lái)描述。來(lái)描述。 若已知若已知X的分布函數(shù)的分布函數(shù), 就能知道就能知道X落在任一區(qū)間落在任一區(qū)間(a, b上的概率：上的概率： PaXb=F(b)

27、-F(a), 這樣這樣分布函數(shù)可分布函數(shù)可以完整地描述隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。以完整地描述隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。2、對(duì)于離散型隨機(jī)變量，需要掌握的是它可能取、對(duì)于離散型隨機(jī)變量，需要掌握的是它可能取那些值及以怎樣的概率取這些值。因而對(duì)離散型隨那些值及以怎樣的概率取這些值。因而對(duì)離散型隨機(jī)變量機(jī)變量用分布律用分布律PX=xk=pk, k=1,2,來(lái)描述它的取來(lái)描述它的取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性更為直觀和簡(jiǎn)潔。值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性更為直觀和簡(jiǎn)潔。分布律和分布函數(shù)有以下關(guān)系：分布律和分布函數(shù)有以下關(guān)系： F(x)=PXx=kkxxP Xx 3、對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量、對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量, 給定給定X的概率密度的概率密度f(wàn)(x), 就就能確定能確定F(x)。反之，由于。反之，由于f(x)位于積分號(hào)之內(nèi)位于積分號(hào)之內(nèi), 故改故改變變f(x)在個(gè)別點(diǎn)的值在個(gè)別點(diǎn)的值, 并不改變并不改變F(x)的值的值. 因此改變因此改變f(x)在個(gè)別點(diǎn)的值無(wú)關(guān)緊要。在個(gè)別點(diǎn)的值無(wú)關(guān)緊要。 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量, 在實(shí)用和理論上使用概