隨機過程方兆本引言ppt課件

1、吳述金吳述金: 辦公室：金統(tǒng)樓3271.1 1.1 引言引言第一章第一章 引引 論論定義定義1.1 1.1 隨機過程就是一族隨機變量隨機過程就是一族隨機變量 其中其中t t是參數(shù)是參數(shù), ,它屬于某個目的集它屬于某個目的集T,T, T T稱為參數(shù)集稱為參數(shù)集. .),(TttX普通地, t表示時間. 當(dāng)T=0,1,2,時稱隨機過程為隨機序列.對對X(t)可以這樣看可以這樣看:隨機變量是定義在空間隨機變量是定義在空間上的上的,所以是隨所以是隨 t與與而變化的而變化的.于是可以記為于是可以記為X(t,).當(dāng)固定一次隨機實驗當(dāng)固定一次隨機實驗,即取定即取定0時時,

2、X(t,0)就是一條樣本途徑就是一條樣本途徑.它是它是t的函數(shù)的函數(shù); 另一方另一方面面,固定時間固定時間t = t0, X(t0,)就是一個隨機變量就是一個隨機變量, 其取值隨著隨機實驗的結(jié)果而變化其取值隨著隨機實驗的結(jié)果而變化, 變化有一定變化有一定的規(guī)律的規(guī)律,用概率分布來描畫用概率分布來描畫.隨機過程在t時辰的值稱為過程所處的形狀,形狀的全體稱為形狀空間.按照形狀空間不同可分為延續(xù)形狀和離散形狀; 按照參數(shù)集T,當(dāng)T為有限集或可數(shù)集那么稱為離散參數(shù)過程,否那么稱為延續(xù)參數(shù)過程.當(dāng)T是高維向量時稱X(t)為隨機場.例例1.1 英國植物學(xué)家英國植物學(xué)家Brown留意到漂浮在液面上留意到漂浮

3、在液面上的微小粒子不斷進展不規(guī)那么的運動的微小粒子不斷進展不規(guī)那么的運動,這種這種運動叫做運動叫做Brown運動運動.它是一個隨機過程它是一個隨機過程.Brown運動是分子大量隨機碰撞的結(jié)果. 假設(shè)記(xt,yt)為粒子在平面坐標(biāo)上的位置,那么它是平面上的Brown運動.例例1.2 假設(shè)某人在一個直線格子點上假設(shè)某人在一個直線格子點上, 從原點出發(fā)從原點出發(fā)進展行走進展行走, 規(guī)那么如下規(guī)那么如下: 擲一枚硬幣擲一枚硬幣, 假設(shè)正假設(shè)正面向上那么前進一個格子面向上那么前進一個格子; 假設(shè)反面向上那假設(shè)反面向上那么后退一個格子么后退一個格子. 以以X(t)表示他在表示他在t時辰所在時辰所在的位置

4、的位置, 那么那么X(t)就是一種直線上的隨機游就是一種直線上的隨機游動動.-2 -1 0 1 2 3例例1.3 到達總機交換臺的呼叫次數(shù)為到達總機交換臺的呼叫次數(shù)為Poisson過程過程.每次呼叫是相互獨立的每次呼叫是相互獨立的,而間隔時間服從指而間隔時間服從指數(shù)分布數(shù)分布.交換臺在同一時間只能接通交換臺在同一時間只能接通K個呼個呼叫叫.人們常要了解在某一時辰的排隊長度以人們常要了解在某一時辰的排隊長度以及呼叫的平均等待時間及呼叫的平均等待時間.這是一種排隊模型這是一種排隊模型.該模型可以運用于對超市、公交車站的管該模型可以運用于對超市、公交車站的管理或效力研討。理或效力研討。例例1.4 流

5、行病學(xué)的研討中有如下模型流行病學(xué)的研討中有如下模型: 在時辰在時辰0時易時易感人群大小為感人群大小為X(0), Y(0)是已受傳染的人數(shù)是已受傳染的人數(shù).假假定易感人群被傳染的概率為定易感人群被傳染的概率為p, 那么經(jīng)過一段那么經(jīng)過一段傳染周期后傳染周期后(記為單位時間記為單位時間)X(0)中有中有X(1)沒有沒有染上病而染上病而Y(1)卻遭到傳染卻遭到傳染.傳染過程不斷蔓延傳染過程不斷蔓延到再沒有人會染上這種流行病時停頓到再沒有人會染上這種流行病時停頓.于是于是 且當(dāng)時且當(dāng)時 有有 X(t), t=1,2,就是以上式為形狀轉(zhuǎn)移概率的就是以上式為形狀轉(zhuǎn)移概率的Markov過程過程.) 1()(

6、) 1(tYtXtXij jjijiippCitXjtXP)1 ()(|) 1(例例1.5 記記X(t)為時辰為時辰t的商品價錢的商品價錢.假設(shè)假設(shè)X(t)適宜適宜線性模型線性模型 其中其中 為實參數(shù)為實參數(shù), Z(t)為獨立同分布的為獨立同分布的不可觀測的隨機變量不可觀測的隨機變量,那么那么X(t)服從服從ARMA模型模型自回歸滑動平均模型自回歸滑動平均模型. 這這是在經(jīng)濟預(yù)測中非常有用的時間序列模是在經(jīng)濟預(yù)測中非常有用的時間序列模型型.)() 1()()()2() 1()(121qtZtZtZptXtXtXtXqpkk, 有限維分布和數(shù)字特征有限維分布和數(shù)字特征對于隨機過程 , TttX)

7、,(過程的一維均值函數(shù)為)()(tXEtX過程的方差函數(shù)為)t (XVar) t (2X過程的一維分布為)()(xtXPxFt過程的自相關(guān)函數(shù)為)()(),(2121tXtXEttrX過程的協(xié)方差函數(shù)為)()()()()(),(),(22112121ttXttXEtXtXCovttRXXX)(,)(),(221121,21xtXxtXPxxFtt對于隨機過程 , 其中隨機變量 與 的關(guān)系有X(t1)與X(t2)的結(jié)合分布為TttX),()(1tX)(2tX即過程在t1, t2兩個不同時辰值的結(jié)合二維分布.自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)性質(zhì):1. 對稱性, 即對任何s, t有),(),(strtsrXX

8、),(),(stRtsRXX2. 非負定性, 即對任何t1, t2,tnT及恣意系數(shù)b1, b2,bn有0),(11jiXninjjittrbb0),(11jiXninjjittRbb)(,)(,)(),(221121,21nnntttxtXxtXxtXPxxxFn對于隨機過程 , 其有限維分布族為TttX),( 有限維分布的性質(zhì):1. 對稱性),(),(21,212121ntttiiitttxxxFxxxFnnniii2. 相容性),(),(21,1,2111mtttmttttxxxFxxFmnmm例例1.6 記記Xn為第為第n次獨立地扔一枚骰子的結(jié)果次獨立地扔一枚骰子的結(jié)果,那那么么Xn,

9、 n1為一隨機過程為一隨機過程.參數(shù)集參數(shù)集T為為1,2,而形狀空間為而形狀空間為1,2,3,4,5,6.5 . 31XEXEn均值函數(shù)為:nmnmnmRX,0,1235),(協(xié)方差函數(shù)為:任何有限維分布:)()()(),(2121,21kknnnxFxFxFxxxFk其中F(x)為X1的分布函數(shù). 平穩(wěn)過程和獨立增量過程平穩(wěn)過程和獨立增量過程假設(shè)一個隨機向量 與另一個隨機向量 有一樣的結(jié)合分布函數(shù),那么稱這兩個隨機向量是同分布的,記為 .),(1nXXX),(1nYYYYXd定義定義1.2 1.2 假設(shè)隨機過程假設(shè)隨機過程X(t)X(t)對恣意的對恣意的t1,tnt1,tnT T和任何和任何

10、h h 有有 那么稱那么稱X(t)X(t)為嚴厲平穩(wěn)的為嚴厲平穩(wěn)的. .)(,),()(,),(11ndntXtXhtXhtX定義定義1.3 1.3 假設(shè)隨機過程假設(shè)隨機過程X(t)X(t)的一切二階矩存在的一切二階矩存在, ,并并且且EX(t)=mEX(t)=m及協(xié)方差函數(shù)及協(xié)方差函數(shù)RX(t,s)RX(t,s)只與時間只與時間差差t-st-s有關(guān)有關(guān), ,那么稱那么稱X(t)X(t)為寬平穩(wěn)的或二階矩為寬平穩(wěn)的或二階矩平穩(wěn)的平穩(wěn)的. .對于寬平穩(wěn)過程,由于對-s, t+, RX(t,s)=RX(0,t-s)所以可以記之為RX(t-s).顯然對一切t, RX(t)=RX(-t), 即為偶函數(shù)

11、.定義定義1.4 1.4 對恣意的對恣意的t1t2tnt1t2tn且且t1,tnt1,tnT,T,假假設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(tn)-X(tn-1), X(tn)-X(tn-1), 是相互獨立的是相互獨立的, ,那么稱那么稱X(t)X(t)為獨立增量過程為獨立增量過程. .假設(shè)進一步有對恣意的假設(shè)進一步有對恣意的t1, t2,t1, t2,那么稱那么稱X(t)X(t)為平穩(wěn)獨立增量過程為平穩(wěn)獨立增量過程. .)()()()(2211tXhtXtXhtXd例例1.7 設(shè)設(shè)Zi, i=0,1,2, 是一串獨立同分布的隨機是一串獨立同分布的隨機變量變量, 定義定義 那么那么Xn, n0就是獨立增量過程就是獨立增量過程.普通稱普通稱Xn為獨立和為獨立和.niinZX