數(shù)列求和7種方法(方法全_例子多)

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應的練習）一、總論：數(shù)列求和7種方法： 利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5、例1 已知，求的前n項和.解：由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 1 例2 設Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當 ，即

2、n8時，二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列的通項之積設. （設制錯位）得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例4 求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列的通項之積設 （設制錯位）得 （錯位相減） 練習題1 已知 ，求數(shù)列an的前n項和Sn.答案：練習題 的前n項和為_答案：三、逆序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列

3、（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例5 求證：證明： 設. 把式右邊倒轉過來得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 題1 已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結論可知，兩式相加得： 所以.四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項和：，解：設將其每一項拆開再重新組合得 （分組）當a1時， （分組求和）當時，例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：設 將其

4、每一項拆開再重新組合得 Sn （分組） （分組求和） 五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) （7）（8）例9 求數(shù)列的前n項和.解：設 （裂項）則 （裂項求和） 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.解： （裂項） 數(shù)列bn的前n項和 （裂項求和） （2009年廣東文）20.（本小題滿分14分）已知點（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點，等比數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的首項為c，且前n項和滿足=+（n2）.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列前n項和為，問>的最小正整數(shù)n是多少?0.【解析】（1）, , .又數(shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；數(shù)列構成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當， ；()；（2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112. 練習題1. .練習題2。 =答案：求數(shù)列通項公式的常用方法（1）求差（商）法練習數(shù)列滿足，求注意到，代入得；又，是等比數(shù)列，時，（2）疊乘法 如：數(shù)列中，求解 ，又，.（3）等差型遞推公式由，求，用迭加法時，兩邊相加得練習數(shù)列中，求（）已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等