高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))第二章教案

1、第二章、一元函數(shù)微分學(xué)與其應(yīng)用教學(xué)目的：1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解 導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系.2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的 四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).4、會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù).微分的概念與微分的關(guān)系：2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：3

2、、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：4、高階導(dǎo)數(shù)：6、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。所需學(xué)時(shí)：24學(xué)時(shí)(包括：22學(xué)時(shí)講授與2學(xué)時(shí)習(xí)題)第一節(jié)：導(dǎo)數(shù)的概念與其基本求導(dǎo)公式1、引入(切線與割線)在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來(lái)討論一下物理學(xué)中變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問(wèn)題。例：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)時(shí),其 位置X是時(shí)間t的函數(shù)，產(chǎn)f(Q，求質(zhì)點(diǎn)在。的瞬時(shí)速度？我們知道時(shí)間從。有增量七時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置有增至 %: = /(4+ &)-/(%),這就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段的位移。因此，在此段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度

3、為：.若質(zhì)點(diǎn)是勻速運(yùn)動(dòng)的則這就是在t。的瞬時(shí)速度,若質(zhì)點(diǎn)是非勻速直線運(yùn)動(dòng)，則這還不是質(zhì)點(diǎn)在to時(shí)的瞬時(shí)速度。我們 認(rèn)為當(dāng)時(shí)間段上無(wú)限地接近于。時(shí)，此平均速度會(huì)無(wú)限地接近于質(zhì)點(diǎn)。時(shí)的瞬時(shí)速度，為此就產(chǎn)生r導(dǎo)數(shù)的定義，如下： 2、導(dǎo)數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)片f(x)在點(diǎn)心的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變員工在工。處有增量、也在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有 增量勺=/為十從)一/(為)，若與之比當(dāng)x-0時(shí)極限存在，則稱(chēng)這個(gè)極限值為y=f(x)在X。處的導(dǎo)致.記為：Hi 還可記為：，,6。)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)雙處存在導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)治處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)尸f (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)每一

4、點(diǎn) 都可導(dǎo)，就稱(chēng)函數(shù)產(chǎn)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)尸f (x)對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)確定的x值，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確 定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù),我們就稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為原來(lái)函數(shù)丫=£(工)的導(dǎo)函數(shù)。注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限3、簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)下面我們利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求部分初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例3設(shè)產(chǎn)C (C為常數(shù))，求y'.解 Ay = /(X4-Ax)-/(a) = C-C = O> 則 /= lim 1= lim = 0> 即C' = 0At-KI , y XT) y 因此，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.例4設(shè)了父(為正整數(shù))，求y'.解由二項(xiàng)式定理

5、，得Ay = (x + Av)n-xfl/ +小尸? (&/ + . +(Ar)n=尸+D+,+3y= "T，r Ay .y = lim = hm ayto an即儲(chǔ) j = ./t 一般地, (d) = ax a sR，例5設(shè)y=sinx.求y'.解= cosx2，i- Ay t v = hni = hm cos XT) At Ai-KI即(sinx) =cosx 同理可求得 (cosx) ="sinx. 例 7 設(shè) 1y = log, x，(。>0, 4W1),求 y'.Ay = log, (a-+ ar) - Iog,r X = log“

6、 I I + ¥ I. log, Av y = lim = lim aII) It At-KI1吟：1 X="hm logxAxAv="lim log I 1 + X上i 4 k X1 f= Tog/x即4、左、右導(dǎo)數(shù),.z a 、. c I Ax . AyAy = sm( x+Av) - sin x = 2 cos | x+ I sin 前而我們有r左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱(chēng)它 為函數(shù)產(chǎn)f (x)在工=訛處的左導(dǎo)數(shù)：若極限存在,我們就稱(chēng)它為函數(shù)y=f (x)在x=w處的右導(dǎo)數(shù)注：函數(shù)片f (x)在x

7、c處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)片f (x)在x。處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則5、切線與法線方程函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)f' (xO)就是曲線y=f (x)在點(diǎn)M處的切線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線的點(diǎn)斜式 方程可知，曲線產(chǎn)f(工)上點(diǎn)M處的切線方程為：V - Jo =/'(¥()(*7。)法線方程為:y-yo="«7。)/ M例8求曲線y=i/x在點(diǎn)(1/2.2)處的切線方程與法線方程.解：曲線在點(diǎn)(1/22)處的切線斜率為k=y =-4所以所求切線方程為y-2=-4(X-l/2)所求法線方程為y-2=l/4(x-l/2)

8、6、函數(shù)的可導(dǎo)性與聯(lián)系性的關(guān)系定理1如果函數(shù)y = /(X)在點(diǎn)演)處可導(dǎo)，則它在點(diǎn)X。處一定連續(xù).又因?yàn)樽C明因?yàn)楹瘮?shù))，=/(X)在點(diǎn)/處可導(dǎo)，則lim Ay = lim - A.v= lim - lim At = / /(a;.)0 = 0 Ax-M) Av-M)Ax-M) Ax->U所以，函數(shù)y = /(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).這個(gè)定理的逆定理不成立.即函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，但函數(shù)在點(diǎn)x()處不一定可導(dǎo).x x>0例9函數(shù)/(X)= N =，. 0在點(diǎn)X = 0處連續(xù).事實(shí)上，liin I X1= lim x = 0»()*T(廣lim I x 1= li

9、m (x) = 0ai)-/(0) = 0所以，函數(shù)在點(diǎn)/處連續(xù)，但是/(X)在x = 0處沒(méi)有導(dǎo)數(shù).因?yàn)閘im*T(r Ar, Ax .=lim =1，d- SxAy .a I . -Axliin =lim = Inn = -1air Av 、iAt air 故因此，y Txl在x = 0處不可導(dǎo).例9討論函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解由題設(shè)，f(0)=0又/(')=也 xsin： = O即也/(x) = /(0)所以，f(x)在工=0處連續(xù).而極限lim"匕也 =limB2 = limsi Jx-0 i» x x不存在，所以/(X)在X = O處不可導(dǎo).定理

10、1說(shuō)明函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件， 即可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)：另外，如果函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則它在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo).7、函數(shù)求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和差求導(dǎo)法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫(xiě)為：(u+v>' =u' +v' . 其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。例10：已知，求y'八(與 + (/ y +。丫 = 一以 + 5/ + 0 = 一 二 + 5/解：無(wú)工例11：已知丁 = 5m五-1噸 +叫 求丫，y( (sin A)r - (loga x)( + (ex)f = cos x-十/

11、解：xhc函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。用公式可寫(xiě)成：(cu)' =cu'例12：已知y=3sin工-4/，求y'解.y( = (3sin x)r+ (4x2)r = 3(sin x)r+4(x2)r = 3 cos x+ 4 . 2x = 3cos x + 8x函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)因子，加上第一個(gè)因子乘第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)c用公式可寫(xiě)成:(uv)* 二u' v+uv'例已知/(x)=石sinx,求y，j (z)r

12、 = h£)與in x 4-/r (sin x)r = =-sm x + -/x cos x解：2小注：若是三個(gè)函數(shù)相乘，則先把其中的兩個(gè)看成一項(xiàng)。(4)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。 用公式可寫(xiě)成：例14：已知產(chǎn)tanx,求y'解：-.sin (sin A)rcosx-sin xfcosx)r cos2 x + sm2 x 12/W = (tan 燈=()'= '- 二=-=5= sec2 xCCS ICOS 7COS- X COS X8、反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)

13、的定義，函數(shù)尸f(x)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)x=q>(y).它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求 導(dǎo)法則.如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是產(chǎn)姐嚴(yán)調(diào)連續(xù)的，且臉，不等于0.，則它的反函數(shù)產(chǎn)f&)在點(diǎn)工可導(dǎo)，且有：注：通過(guò)此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于朦函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒(méi)有 對(duì)它作記號(hào)變換。即：夕僅)對(duì)y求導(dǎo)，小。是對(duì)乂求導(dǎo)例題t求y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為x=siny,故x' =cosy則:r 1 1 11y =二二一 二一“ 父 cosy 正22.例題：求y=arctanx的導(dǎo)數(shù).解答：

14、此函數(shù)的反函數(shù)為Mtany, / =sec'y故則：f 1 1 1 1x1 sec/y l + tanj 1 + z29、求導(dǎo)公式與基本求導(dǎo)法則為廣便于記憶與使用，將基木初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則總結(jié)如下: 1)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式(1)常數(shù)函數(shù)Cr = 0(C為常數(shù))(2)箱函數(shù)('/)'二夕./-1(3)指數(shù)函數(shù)(1)'=， (a >0. awl),特別地，(-)'=/(4)對(duì)數(shù)函數(shù) (4>0,。工1),特別地，(cosx) =-sin .¥(cot a) = = -csc2 x sin' x(cscx)

15、=-cscxcotx三角函數(shù)(sin" = cos.t(tanx)=sec' xcosr(secx) = sec a-tan x(6)反三角函數(shù)，< -1 <X<1 ), (-1 <x< 1 )2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè) =(X), U = U(X)在點(diǎn)X處可導(dǎo)，則(1) ll ± v =11 ±Vf ； (2) u v =，+ 4/： (3).課后作業(yè)與小結(jié)：1、掌握導(dǎo)數(shù)的基木概念2、綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算3、綜合運(yùn)用反函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)作業(yè)：P74. 1,3,5. 7,8第二節(jié)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理

16、1(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)定理1設(shè)函數(shù)=以工)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)>，= /m)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) = 8(x)處可導(dǎo)，則更合 函數(shù)y = /e(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且有y'=力a刈=八")必工)或簡(jiǎn)寫(xiě)為 證明 給x以改變量Ax:則”取得對(duì)應(yīng)的改變量小y又得到對(duì)應(yīng)的改變量,因?yàn)榇嬖?，所以W|AwO時(shí)，有(當(dāng)- 0時(shí)，a >0 )或)，= /"(w)Ai/ + oAz/因是中間變量，所以可能為零，但當(dāng) = ()時(shí)，由函數(shù)y = /(【。的連續(xù)性，上式對(duì)任意。值都成立,不妨規(guī)定 在 = ()時(shí)，取值為。這樣，(1)式對(duì)是否為零都是正確的,所以 一 Ay ./ A， Ah

17、、，/、hm = hm f (h)+ a =/ («/) (x)a-。Ar ai)1 '加j - 一即或其中/'()表示函數(shù)/()對(duì)V的導(dǎo)數(shù)，"(%)表示函數(shù)。(幻對(duì)X的導(dǎo)數(shù)，/以幻'表示函數(shù)/%(x)對(duì)工的導(dǎo)數(shù). 此定理說(shuō)明，更合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).這一法則又稱(chēng)為鏈?zhǔn)椒▌t.更合函數(shù) 求導(dǎo)數(shù)法則可推廣到多次苴合的情形.例如設(shè)y = /（W）,M = 8（5，u = g（x） ,則更合函數(shù)），= /夕g （切的導(dǎo)數(shù)為 求函數(shù)產(chǎn)（占1）”的導(dǎo)數(shù).解設(shè) y=u”, u=x:+l 則空=空也=10/2 = 20(+

18、)9 dx du dxdv dll dv &一 一 = e cosv- du dv dxiin- |x COS-X尸求函數(shù),V = J,的導(dǎo)數(shù). 解設(shè)，則dydx求函數(shù)y = ln(x + Jx? +1)的導(dǎo)數(shù).X +求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).-I '1 "I/ ,jx2 + 1 JX2 + 1 )41)'x +JV + 1 <解"島）島卜"島）r1 2x+l-2x = "T(2x+1)2 -(24+ 1)”、注：補(bǔ)充課本練習(xí)2、高階導(dǎo)數(shù)（1）二階導(dǎo)數(shù)的物理意義物體作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，瞬時(shí)速度是路程5=/"）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即1,

19、"）=/"）而由物理知識(shí)知，加速度。是速度*u（f）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即從而4）=/（，）=7'（）'*由此可看出，加速度（/）是路程s = /“）對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱(chēng)為$=/"）對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)，記作丁或/"（f）*（2）二階導(dǎo)數(shù)的概念一股地，如果函數(shù)丫 = /（X）的導(dǎo)數(shù)y' = /，（x）在點(diǎn)X處可導(dǎo)，則稱(chēng)y' = /。）在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)丁 = /（k）在點(diǎn)X處的二階導(dǎo)數(shù)，記為空1或dx2類(lèi)似地，y = /（x）的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù)，記為心或，嚴(yán)，（x）.一般地.y = /（x）的一1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為階導(dǎo)

20、數(shù)，記為叫 fM(x) >色或dxtl(3k n階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例5設(shè)y = x:求其各階導(dǎo)數(shù).解 y' = 3/, y" = 6x,)嚴(yán)=6, y<4) = y<51 =-. = 0.例6設(shè)丁 = «，求其各階導(dǎo)數(shù).解 < = ",)， = ",，嚴(yán)="例7設(shè)y = sinx,求其各階導(dǎo)數(shù).解，= cos(x + ) = sin(x + 2 ) > '22同理可得：（cosx）""=cosa + 二）2例8設(shè)y = ln（l+x），求其各階導(dǎo)數(shù).解，一般地，.注：補(bǔ)充課本練習(xí)3、隱

21、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變型x的算式表示，像y=sin小尸1+3工等，這樣 的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地,如果方程Fa,y）:0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說(shuō)方程 F（x,y）=0在該區(qū)間上確定廣工的隱函數(shù)把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容 易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時(shí)該如何呢？下面讓我們來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題！若已知F（x,y）=0,求dy/dx時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a）：若方程F0y）=O,能化為產(chǎn);W的形式，則用前而我們所學(xué)的方

22、法進(jìn)行求導(dǎo)：b）：若方程F區(qū)y）=0.不能化為尸;3的形式，則是方程兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)v=/W，用且合函數(shù) 求導(dǎo)法則進(jìn)行。例9方程./+xy + y2 =4確定y是工的函數(shù),求y的導(dǎo)數(shù).解 方程兩邊對(duì)工求導(dǎo)，得2x+y + W +2H = 0，解出y,得例10方程y=l+.e確定）是X的函數(shù)，求y的導(dǎo)數(shù).解方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)，得尸=0+ 9 +”縝，解出J'=0VX例11方程由，=,門(mén)、確定y是X的函數(shù)，求解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得y+外'=*'（1 + 辦解出y得例12：已知x+yLxy=l,求刀（0,1）處的值解答：此方程不易顯化，故運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法,兩

23、邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，力飛，為+如"=0代入（0.1）,可得）=1/4注：我們對(duì)隱函數(shù)兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，一定要把變量y看成工的函數(shù),然后對(duì)其利用更合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)°4、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由參數(shù)方程確定y是x的函數(shù)，則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)系為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).下而討論由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一般地.設(shè)x = 有單調(diào)、連續(xù)的反函數(shù)i =則y與x構(gòu)成且合函數(shù)關(guān)系根據(jù)更合函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則,有7/V步*=力拓衣-小=M不力一力=例13已知圓的參數(shù)方程，求竺.dx外-曲加-力=力X解a sin，a costa cost -=-cotz4 sin，例14已知，求2.d

24、x±力一空4=力五解, 1 (arctan/) _ JTF _ > (inViTF)六課后作業(yè)與小結(jié)：1、掌握曳合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)求導(dǎo)等基本概念2、綜合運(yùn)用巨合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式與隱函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算3、熟練計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)作業(yè)：P85.3,4, 5, 6, 7,8, 10第三節(jié)：微分的概念與應(yīng)用1、微分的定義學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來(lái)分析一個(gè)具體問(wèn)題:一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時(shí)，其邊長(zhǎng)由山變到r泌十 則此薄片的面積改變r(jià)多少？解答,設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為右面積為A,則A是x的函數(shù)：A=/c薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自 變量x從右取的增量

25、工時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增量4A,即：AA = (x0 + Ax)2 - xj = 2x0Ax+ (Ax)2從匕式我們可以看出，4A分成兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分：第二部分怯力即圖中的黑色部分, & I r a .a 2當(dāng)'-()時(shí)，它是的高階無(wú)窮小。由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長(zhǎng)變化的很小時(shí)，而積的改變量可以近似的用地一部分來(lái) 代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，心與刈+Ax在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為"二月Bx+NAi)，其中 A是不依賴(lài)于的常數(shù)，。(*是的高階無(wú)窮小，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)也可微的。叫做函數(shù)產(chǎn)

26、f(x)在點(diǎn)也相應(yīng)于自變 量增量Ax的微分,記作dy,即：dy=AAxo通過(guò)上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分dy是自變型改變量的線性函數(shù)，dy與Ay的差。(、)是關(guān)于的高階無(wú)窮小量， 我們把dy稱(chēng)作的線性主部：現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號(hào)，而且還可以表示兩個(gè)微分的比值(把Ax看成 dx,即：定義自變量的增曳等于自變量的微分)，由此我們得出：定理若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。例1求函數(shù)y = /求dyk=i與dylx=o.oi解函數(shù)的微分為dy =(X1 )9dx = 2xdx由已知條件:x = ydx = Av = 1.01 -1 = 0.01.所以力= 2x(0

27、.01) = 0.02例 2 設(shè) y = In x ,求 dy, dyk=2.解，所以山=XL2、基本初等函數(shù)的微分公式與微分法則由微分的表達(dá)式公=:(力公知，要計(jì)算微分dy,只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r(x),再乘上自變量的微分dx即可基木初等函數(shù)的微分公式和微分運(yùn)算法則.(1) d(C) = O (C 為常數(shù))(3) d = ax Incidx(5)(6)(7) d (sin x) = cos xdx(9) J(tan x) = sec2 xdx(2) dxa = axadx(4) dex>) = exdx(8) J(cosx) = "sinAzZr(10) 6/(cotx) =

28、esc2 xdx(11)(13)(15)(17)(19)d (sec x) = sec x tan xdx d (arcsin x) = , dx 也-x2(16) J (arccot x)= d (u±v) = clu±dv d(Cii) = Cdu(12) (escx) = -escxcotxdx(14) d(arccosx) = - , dx yJ-X2-dx1 +廠(18) d(u v) = udv + vdu(20)若函數(shù)產(chǎn)f(u)對(duì)u是可導(dǎo)的，則有： W|U是自變量時(shí)，函數(shù)的微分形式為4)，= /'()”/(2)當(dāng)是中間變量，即是x的可導(dǎo)函數(shù)=。(無(wú))時(shí)

29、，則y是戈的豆合函數(shù)，且有= 由夏合函數(shù)的求導(dǎo)公式知， 所以dy = f u)(px)dx = f u)du 不論是自變生還是關(guān)于自變量X的可導(dǎo)函數(shù)，y = /()的微分形式都可以表示為dy = /'()” .這種性質(zhì)稱(chēng)為微分的形式不變性.例 3 設(shè)), = ""2，求4y解 方法1利用小，=»&得力=父+2)公=2 x + 1，松Px方法2 令=+2工，則y = ",由微分形式不變性得dy = d' du = e dit = ex xd x? +2x =ex x x2 4-2a, dx =2 x H-l ex Xdx與且合函數(shù)的

30、求導(dǎo)類(lèi)似，求更合函數(shù)的微分也可不寫(xiě)出中間變量.例4設(shè),=31(2工+ 3)，求力解 4= cos(2x + 3)d 2x+3 =2cos(2x+3)公例5求由方程/ + 丁 = xy所確定的隱函數(shù)的微分dy解方程兩邊求微分，得d x2 + y2 = d xy9Ixclx + 2 ydv = xdy + vdx(2y-x)dy+(2x-y)dx = 0于是，*3、微分的幾何意義在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)產(chǎn)f(x)的圖形如圖，設(shè)點(diǎn)M是該曲線上的一個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)自變量在點(diǎn)x取得改變量Ax時(shí), 就得到曲線上另一個(gè)點(diǎn)N(內(nèi)+Ar.y + 6由圖知，MQ = Ax，QN = Ay.過(guò)點(diǎn)m作曲線的切線，它的傾角為a,

31、則QP = MQ tan e = /'(x)Ar = dy因此，當(dāng)Ay是曲線)'=/(.v)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)，dy就是曲線y = f (x)的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量.4、近似計(jì)算微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計(jì)算函數(shù)的增量，有時(shí)比較困難,但計(jì)算微分則比較簡(jiǎn)集，為此我們用函數(shù)的微分來(lái)近似的代 替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用.設(shè)y=f(x)在xO處可微，根據(jù)微分定義，當(dāng)間很小時(shí),有力、Ay，即/(% + Av)-«/ '(%)Ar在上述近似計(jì)算中，若令/=0, x = At，當(dāng)同充分小時(shí)，有/(x)y/(0) + /'(0)x例6求強(qiáng)的近似

32、值.解海"陽(yáng)市=2+4=2.0052V 64課后作業(yè)與小結(jié)：1、掌握微分的基本概念2、綜合運(yùn)用微分公式進(jìn)行計(jì)算3、記憶微分公式作業(yè)：P94. 5, 6, 8, 9第四節(jié)：微分中值定理與其應(yīng)用1、羅爾定理下圖描繪r在閉區(qū)間a.b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a.b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的圖形.這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點(diǎn)外處處具有不垂直 于X軸的切線，且兩個(gè)端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等，即f(a)=f(b).可以發(fā)現(xiàn)曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)C處,曲線有水平的切線.如果記 C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為自，那么就有了'(4)= 0 .現(xiàn)在用分析的語(yǔ)言把這個(gè)幾何現(xiàn)象描述出來(lái)，那就是下面的羅爾定理.注：省略費(fèi)馬定理羅爾(Rolle)

33、定理 如果函數(shù)y=f(x)滿足(1)在閉區(qū)間b上連續(xù)，(2)在開(kāi)區(qū)間(a.b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b),則在(a.b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得/f(4)= o.證明由于函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a.b上連續(xù),根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，/(X)在閉區(qū)間a.b上必定取得 它的最大值M和最小值m這樣，有如下兩種可能情形這時(shí)/(大)在區(qū)間忸上必然取相同的數(shù)值,即y=f(x)=M.由此，有/'(x) = 0.因此，任取有/解)=0.(2) M>m.因?yàn)?()= /()，所以M和m這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不等于/(X)在區(qū)間a.b的端點(diǎn)處的函數(shù)值,不妨設(shè)Mx/S)，那么必定在開(kāi)區(qū)間(

34、a.b)內(nèi)有一點(diǎn)自使/(g) = M .下面證明/'© = 0.由于4)=時(shí)是最大值，所以不論¥為正或?yàn)樨?fù)，恒有當(dāng)At>0時(shí)，有從而上 TO&V當(dāng)Ar<0時(shí)，有從而尹一/Av>0因?yàn)?#163;(4)=<«)=/'管)，所以廣©=0注如果羅爾定理的三個(gè)條件有一個(gè)不滿足，則定理的結(jié)論就可能不成立.例 1，0,1：例 2f(x) = W，例 3f (x) = x» 0,1；它們的圖形如圖所示.例4驗(yàn)證函數(shù)/(x) =/一2x3在區(qū)間卜1.3上羅爾定理成立.解/(x) = .v-2a-3 = (x+1)

35、(x-3)/'(x) = 2x-2 = 2(l)/(T) = 3) = 0則/(X)在1,3上滿足羅爾定理的三個(gè)條件，則存在f = l«T3)，使:(1) = 0,符合羅爾定理的結(jié)論.羅爾定理中/()= /'(。)這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，它使歲爾定理的應(yīng)用受到限制.如果把/()= /()這個(gè)條件取消, 但仍保留其余兩個(gè)條件、并相應(yīng)地改變結(jié)論，那么就得到微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理.2、拉格朗日中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間a.b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a.b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a.b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得 分析：由可看出，為弦AB的斜率，而/&

36、#39;(彳)為曲線在點(diǎn)C處的切線的斜率.因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連 續(xù)曲線y = /(X)的弦上AB除端點(diǎn)外處處具有不垂直于X軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)C,使曲線在C點(diǎn)處的切線平 行于弦AB.從上述拉格朗日中值定理與羅爾定理的關(guān)系，自然想到利用羅爾定理來(lái)證明拉格朗日中值定理.但在拉格朗日中值定理 中,函數(shù)f(x)不一定具備/(4) = /()這個(gè)條件，為此我們?cè)O(shè)想構(gòu)造一個(gè)與f(x)有密切聯(lián)系的函數(shù)0")(稱(chēng)為輔助函數(shù))，使 火犬)滿足條件8(”)=奴).然后對(duì)0(x)應(yīng)用羅爾定理，再把對(duì)o(x)所得的結(jié)論轉(zhuǎn)化到/上，證得所要的結(jié)果.下面就 利用這個(gè)輔助函數(shù)來(lái)證明拉

37、格朗日中值定理.(略講)證明引進(jìn)輔助函數(shù)以幻=/")-L(x) = /*)- f(a)- ""I ().b-a函數(shù)夕(同滿足羅爾定理的條件：1)在閉區(qū)間Mb上連續(xù)：(2)在開(kāi)區(qū)間(a.b)內(nèi)可導(dǎo)：(3)。(4)=研力)=0.因此,由羅爾 定理得，在開(kāi)區(qū)間(“/)內(nèi)至少有一點(diǎn)筋 使得dC)/(2一/(嘰 0b-a即注(1)拉格朗日中值公式也可寫(xiě)作推論1如果函數(shù))，= /(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么y = /(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).證明 在區(qū)間I上任取兩點(diǎn)再，與，且X乙，應(yīng)用拉格朗日中值定理，得/ (4 ) - / =/'(%2 f ) T e a

38、由題設(shè)知/(4) = 0,所以/(七)_/(為)=0即X2)= /(xJ這意味著，區(qū)間/內(nèi)任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，所以y = /(x)在 區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù).推論2如果函數(shù)y = /(x)與g(x)在區(qū)間I每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)廣(X)與/(X)都相等，那么)，= /")與g(x)在區(qū)間I上至多相 差一個(gè)常數(shù).例 5 求證:,(-1X1)-證明 設(shè) / (%) = arcsin x+arccos x ,則有由推論1知，對(duì)任意xe(l,l)，恒有/(x) = arcsin x+arccos x = C令x = 0,得.從而'(-1 < A < 1) 例6求證：當(dāng)人0時(shí)，.證明

39、設(shè)/(x) = ln(l+x)，故然/(*在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此/(x)-/(0) = r()(x-0).安(o,x)由于/(0) = 0，,有.又0<4<1，則從而當(dāng)x0時(shí).即3、柯西中值定理柯西中值定理：如果函數(shù)/與尸3在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(4力)內(nèi)可導(dǎo)，且/：'(x)在(力)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不 為零，那么在(為。)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使4、洛必達(dá)法則山以->.% (或X-8)時(shí)，分子f(X)與分母g(X)都趨于零或都趨于無(wú)窮大,此時(shí)，極限可能存在，也可能不存在，通常把 這種類(lèi)型的極限叫做未定式.本節(jié)利用中值定理推導(dǎo)出求未定式極限的一般方法一洛必達(dá)法

40、則.<1)9型未定式求極限的方法0定理 f(x)與g(x)滿足條件 lim /(x) = lim g (x) = 0 ：(2)在的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)可除外)可導(dǎo)，且g'(x)H0：(或8 )；則lim取= lim匚*=A (或8)"g(x) f，g'(x)定理1給出的在一定條件下，通過(guò)分子、分母求導(dǎo)數(shù).再求極限的方法稱(chēng)為洛必達(dá)法則.在使用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，若仍為9且/'(x)與g'(X)仍然滿足定理的條件時(shí)，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則注例解補(bǔ)充課本例題外，加入以下題目7求極限.此極限0/0未定式，若用洛必達(dá)法則，分子、分母分別求導(dǎo)后，將化為 此式振蕩無(wú)極限

41、，故洛必達(dá)法則失效,但原極限是存在的，求法如下：2 . 1 ).1x sin .vsin .lim= lim= lim x sin- = 0-t sinx x x(2)二型未定式求極限的方法oO定理函數(shù),T)與g(X)滿足條件< 1)lim f (x) = lim g (x) = oc ： XT與Xf%(2)在/的某鄰域內(nèi)(點(diǎn)可除外)可導(dǎo)，且/(x)w0：(3)(或8)：則 iim212=iimZ12 = A (或8)i g(X)g(K)注 將定理中X f%改為XfX；，X -內(nèi)；，X -S, Xf+力，X 8等過(guò)程，洛必達(dá)法則同樣成立.例8求極限.解 這是二型未定式，由洛必達(dá)法則得OC

42、1v In cot x . (In cot x)f v cotx hm= hm = lim一Inx f (In x)f oisin2x1 x=-hmsin x cos x=一 lim-lim!= -1sinx f cosx注：補(bǔ)充課本例題外，加入以下題目例9求極限.解 這是f型未定式.由洛必達(dá)法則得 COex （）/ e”lim = lim -_- = lim = lim = +x.r->+X r- MT400 ）XT400 9 V7（?。?）其他類(lèi)型的未定式求極限的方法0s前面討論r兩種基本的未定式一型和一型的極限問(wèn)題另外，還有os,0600-00. 0°, 8°

43、,廣等五種類(lèi)型的未定0 OC式,它們可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃味伎赊D(zhuǎn)化為一型或一型，再利用洛必達(dá)法則即可求解.0注：補(bǔ)充課本例題外，加入以下題目例10求極限解 這是08型未定式，先將其轉(zhuǎn)化為二型再利用洛必達(dá)法則,OOlim xlnx= limI).Inxr=lim = lim (-a) = 0 .1)-1*t0- '例11求極限.解 這是8 - 8型未定式，通過(guò)通分將其變?yōu)镾型未定式，再利用洛必達(dá)法則得,lim.一。sinx x x-sinx 1 - cos x=lim= hm一° xsin x sin x + xcos x=limsinx=0-cos x+cos x-x sin x

44、對(duì)于0°, 8°,型未定式，利用對(duì)數(shù)恒等式與指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)的極限.一般地，我們有例12求極限lim父,mW解這是0°型未定式，則Um .rlnxlimx'limULKT .11例13求極限.解這是廣型未定式，則1 lln(l+sln.t) limlln(l+sin.t)lim (1 + sin xp = lim ex = ex t"M) ' .Dln(l + sinx)cosxliml+sinx =1ATO J所以課后作業(yè)與小結(jié)：1、掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理基本概念2、綜合運(yùn)用洛必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算作業(yè)：P

45、103. 2, 4,6,10第五節(jié)：泰勒中值定理(不講)第六節(jié)：函數(shù)的性態(tài)與圖形1、函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a.b)內(nèi)單調(diào)增加，其圖像是一條沿x軸正向上升的曲線，其上各點(diǎn)切線斜率都為正值，即 tana = /'(.¥)>0.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a.b)內(nèi)單調(diào)減少，其圖像是一條沿x軸正向下降的曲線，其上各點(diǎn)切線斜率都為負(fù)值，即 tana = /r(x)<0.由此可見(jiàn)，函數(shù)的不調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有密切的關(guān)系,那么，能否用導(dǎo)數(shù)尸(力的符號(hào)來(lái)判斷f(x)的不調(diào)性呢？下面的定 理對(duì)此問(wèn)題給出了肯定的回答.定理1 (函數(shù)單調(diào)性的判定法則)設(shè)y=f(x)在閉區(qū)

46、叫連續(xù)，開(kāi)區(qū)間(a.b)可導(dǎo).(1)如果不時(shí)，恒有/'(力>0,那么y=f(x)在區(qū)間(a.b)內(nèi)單調(diào)增加；(2)如果時(shí)，恒有那么y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)減少.證明設(shè)xl, x2是b)內(nèi)任意兩點(diǎn)，且<立，則由拉格朗日中值定理得，/-"X )=/'©( f)，穴(百如果x«a,b)時(shí)r(x)>0,則/苫)>0,又Z<X2 即與-M>0,于是/(&)一/(xj>。，即/(&)>/(©所以，函數(shù) y=f(x)在區(qū)間(a.b)內(nèi)檢調(diào)增加：同理可證。'注(1)若將定理

47、中的，力換成其他各種區(qū)間包括無(wú)窮區(qū)間，結(jié)論同樣成立,如果函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的， 則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例1確定函數(shù)的增減區(qū)間.解：容易確定此函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+8)其導(dǎo)數(shù)為：的,狀I(lǐng)此可以判出：當(dāng)x>0時(shí),廣僅)>0,故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,+8)：當(dāng)工V0時(shí)，X)<0,故它的不調(diào)減區(qū)間為(-8,0)：例 2 求證：當(dāng) x>0 時(shí)，x>ln(l+x).證明 令f(x) = xTn(x+l)，則/(x) = l T =當(dāng)x>0時(shí)，/(A)>0>因此在(0.+00)單調(diào)增加.又在(o.y)為連續(xù)函數(shù)，所以當(dāng)x>0時(shí),/(

48、x)>/(0) = 0>即x-ln(l+x)>0.因此，當(dāng) x>0時(shí)，x>ln(l+x).注：補(bǔ)充課本例題2、函數(shù)的極值與求法曲線上的這些點(diǎn)以與這些點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在實(shí)際應(yīng)用中有著非常重要的意義,由此引入函數(shù)的極值的概念.定義1設(shè)函數(shù)y =在/的某鄰域U(%6)內(nèi)有定義，若對(duì)6,%)=(.,與+5)，恒有/(x)</(%)，則稱(chēng)f(x。)為x)的極大值，X。為/(”的極大值點(diǎn)： 若對(duì)心小-6,及)5/0 + 6)，恒有/(x)>x0)，則稱(chēng)/(小)為x)的極小值，X。為/(X)的極小值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn),顯然，極

49、值是一個(gè)局部性的概念，它只是在與極值點(diǎn) 鄰近的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比較而言，而不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小.如圖所示，函數(shù)y = /(X)在點(diǎn)X和13各有極大值/(M)和.人工3)，而在點(diǎn)X2和點(diǎn)匕各有極小值/(£)和 f(x4),而極大值/(演)還小于極小值/(七).由圖還可以看出，在極值點(diǎn)處如果曲線有切線存在，并且切線有確定的斜率，那么，切線平行于工軸，即該切線的斜率 等于零.但是，在某點(diǎn)曲線的切線平行于X軸，并不意味著這點(diǎn)就一定是極值點(diǎn)，如圖37中的點(diǎn)與不是極值點(diǎn)，而曲線在點(diǎn) %的切線卻平行于1軸因此有下面定理.定理2(極值的必要條件)如果函數(shù)y = f(x)在點(diǎn)X。處

50、有極值八.%)，且/(%)存在，則/'(%) = ().證明 設(shè)/(小)為極大值，則在的某個(gè)鄰域內(nèi)總有/&)>/(Xu+Ax)于是，當(dāng)Av>0時(shí)，/(x0 + Ar)-/(x0)U Ax反之，/(%+&)-./'(%)、小> U Ax由題意知：(丸)存在，所以H&)=(伉)=媽.仆丁優(yōu))4 °£(-%) = /(.%)=麗/ + )-/)之0a-。-Av因而，/(j) = o,同理可證/(4)為極小值的情形.注：(1)當(dāng)廣(%)存在時(shí),尸(%) = ()是點(diǎn)X。為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分。使(x)=o的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)

51、的駐點(diǎn).駐 點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn).(2)在函數(shù)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，函數(shù)也可能有極值把極值可疑點(diǎn).連續(xù)函數(shù)僅在極值可疑點(diǎn)上可能取得極值，但極值可疑點(diǎn)又不一定是極值點(diǎn).下面.給出判定極值的兩個(gè)充分 條件.定理3 （判定極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)），= /*）在點(diǎn)4的某鄰域內(nèi)連續(xù)并且可導(dǎo)（但/'（見(jiàn)）可以不存在），（1）如果當(dāng)A- （4 - 5,x0）時(shí)，八X） 0 ,而當(dāng)A- G （.%,.% + 6）時(shí), 0，則函數(shù)/（X）在點(diǎn)與處有極大值f（X0）：（2）如果當(dāng)X e （% - 6, x0）時(shí)，/'（X） 0，而當(dāng)% （%,% + 8）時(shí)，fx） 0，則函數(shù)f（x

52、）在點(diǎn)/處有極小值f（xQ）. 如果當(dāng)xe（%一6,% + 5），（工工王），r（x）不變號(hào)，則/（*）在點(diǎn)X。處無(wú)極值.注：如果函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)，則可按下列步驟求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值：（1）確定函數(shù)/G）的定義域：（2）求導(dǎo)數(shù)r（x）,考慮r（*=o或/（“不存在，找出極值可疑點(diǎn)：（3）列表討論（外在極值可疑點(diǎn)左右兩側(cè)鄰近范圍內(nèi)符號(hào)變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn)：（4）求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到/（x）的全部極值.例3求函數(shù)/*） = "一2-* + 1）3的中調(diào)區(qū)間和極值.解 （1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?00,+力）（2） /V） = （x-lX5x-l

53、X.v + l）/r（x） = 0.得駐點(diǎn)列表如下:X(一8,1)-1£51(L+8)八外+0+00/（X）非極值/極大值極小值/由上表可見(jiàn)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)增加.在區(qū)間q,l）單調(diào)減少，在點(diǎn)處有極大值，在點(diǎn)X= 1處有極小值/（1） = 0 ,如圖所示.定理4 （判別極值的第二充分條件）設(shè)/'（/）=（）,ra（）#o.（1）如果/'"（x。）。，則/（X。）為了（X）的極小值.（2）如果/"（x0）0,則/（凡）為/（X）的極大值.證明（略）例4求函數(shù)/（# = _?-6/+9、+5的極值.解定義域：（YO,+8）ff(x) = 3x2 -I2.

54、V4-9fx) = 6x-12令 f(x) = 0，即 3a-2 T2k + 9 = 3(x-lXx-3) = 0得 X = 1,12 = 3.因?yàn)?/71) = 6-12 = -6<0/73) = 18-12 = 6>0所以，函數(shù)有極大值/(1) = 9.注 若函數(shù)y = /(x)在演)處有/'(兒)= /"(%) = ()，定理4失效，這時(shí)函數(shù)在X。處可能取得極大值，可能取得極小值，也 可能沒(méi)有極值.3、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)為進(jìn)一步研究函數(shù)的特征，就要研究曲線的彎曲方向以與扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點(diǎn),曲線的彎曲方向是用曲線與其切線的相 對(duì)位置來(lái)描述的.曲線向上彎曲弧段位于弧段上任意一點(diǎn)的切