機(jī)器人學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)蔡自興PPT課件

1、1Review1 Course Schedule Top 10 Robotics News of 2008 Development of Robotics Structure, Feature, and Classification of Robots Robotics and AIFundamentals of Robotics第1頁/共47頁2Contents Representation of Position and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Objec

2、t General Rotation Transformation 2Ch.2 Mathematical Foundations第2頁/共47頁33Ch.2 Mathematic Basis2.1 Representation of Position and Attitude 位置和姿態(tài)的表示位置和姿態(tài)的表示 Description of PositionzyxApppp(2.1)2.1圖 位置表示2.1 Representation of Position and Attitude第3頁/共47頁442.1 Representation of Position and Attitude De

3、scription of Orientation2.2圖 方位表示333231232221131211rrrrrrrrrzyxRBABABAAB1;1AATABBBRRR2.1 Representation of Position and Attitude第4頁/共47頁55 Description of Frames 相對(duì)參考系A(chǔ)，坐標(biāo)系B的原點(diǎn)位置和坐標(biāo)軸的方位，分別由位置矢量(Position Vector) 和旋轉(zhuǎn)矩陣(Rotation Matrix) 描述。這樣，剛體的位姿（位置和姿態(tài)）可由坐標(biāo)系B來描述，即(2.9)BoAABRBpABopABR2.1 Representation

4、 of Position and Attitude 2.1 Representation of Position and Attitude第5頁/共47頁6Contents Representation of Position and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object General Rotation Transformation 6Ch.2 Mathematical Foundations第6頁/共47頁772.2 Coordinate Transfor

5、mation 坐標(biāo)變換 平移坐標(biāo)變換 (Translation Transform)2.2 Coordinate Transformation(2.10)BoABAppp2.3圖 平移變換第7頁/共47頁88 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換 (Rotation Transform)(2.11)2.4圖 旋轉(zhuǎn)變換ppBABAR2.2 Coordinate Transformation2.2 Coordinate Transformation第8頁/共47頁99 Rotation about an axis10000),(cssczRz繞 軸旋轉(zhuǎn)2.2 Coordinate TransformationcosABp

6、pxxsinABppyx00ABppzx2.2 Coordinate Transformation第9頁/共47頁1010(2.8)10000),(cssczRcsscxR00001),(csscyR00100),(2.7)(2.6)z繞 軸旋轉(zhuǎn)2.2 Coordinate TransformationRotation about an axis2.2 Coordinate Transformation第10頁/共47頁1111 復(fù)合變換 (Composite Transform) (2.13)2.5圖 復(fù)合變換BoABABARppp2.2 Coordinate Transformation2

7、.2 Coordinate Transformation第11頁/共47頁12 例2.1 已知坐標(biāo)系B的初始位姿與A重合，首先B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸轉(zhuǎn)30，再沿A的xA軸移動(dòng)12單位，并沿A的yA軸移動(dòng)6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣 。假設(shè)點(diǎn)p在坐標(biāo)系B的描述為Bp=3,7,0T，求它在坐標(biāo)系A(chǔ)中的描述Ap。12ABR2.2 Coordinate Transformation解：303000.8660.5 0,30303000.50.866 0001001ABcsRR zsc 2.2 Coordinate Transformation第12頁/共47頁13 例2.1 已知坐標(biāo)系B的初始

8、位姿與A重合，首先B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸轉(zhuǎn)30，再沿A的xA軸移動(dòng)12單位，并沿A的yA軸移動(dòng)6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣 。假設(shè)點(diǎn)p在坐標(biāo)系B的描述為Bp=3,7,0T，求它在坐標(biāo)系A(chǔ)中的描述Ap。13ABR2.2 Coordinate Transformation解：01260ABp2.2 Coordinate Transformation第13頁/共47頁14 例2.1 已知坐標(biāo)系B的初始位姿與A重合，首先B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸轉(zhuǎn)30，再沿A的xA軸移動(dòng)12單位，并沿A的yA軸移動(dòng)6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣 。假設(shè)點(diǎn)p在坐標(biāo)系B的描述為Bp=3,7,0T，求它在坐標(biāo)

9、系A(chǔ)中的描述Ap。14ABR2.2 Coordinate Transformation解：00.8660.5 031211.0980.50.866 07613.562001000AABABBpR pp 2.2 Coordinate Transformation第14頁/共47頁15Contents Representation of Position and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object General Rotation Transformation

10、15Ch.2 Mathematical Foundations第15頁/共47頁16 已知一直角坐標(biāo)系中的某點(diǎn)坐標(biāo)，則該點(diǎn)在另一直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可通過齊次坐標(biāo)變換求得。 所謂齊次坐標(biāo)就是將一個(gè)原本是 n 維的向量用一個(gè) n+1 維向量來表示。一個(gè)向量的齊次表示是不唯一的，比如齊次坐標(biāo)8,4,2、4,2,1表示的都是二維點(diǎn)2,1。 齊次坐標(biāo)提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。 2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames 齊次坐標(biāo)變換162.3 Homogeneous T

11、ransformationxpyz 1xwxywypzwzw 第16頁/共47頁1717 Homogeneous TransformationMatrix Form：(2.14)|0 0 0|111ABAABBoRpppppBABAT(2.15)BoABABARppp2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第17頁/共47頁18 例2.2 已知坐標(biāo)系B的初始位姿與A重合，首先B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸轉(zhuǎn)30，再沿A的xA軸移動(dòng)12單位，并沿A的yA軸移動(dòng)6單位。假設(shè)點(diǎn)

12、p在坐標(biāo)系B的描述為Bp=3,7,0T，用齊次變換方法求它在坐標(biāo)系A(chǔ)中的描述Ap。18解：2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames0.8660.5 0120.50.866 060010010001AAABBoBRTp2.3 Homogeneous Transformation第18頁/共47頁19 例2.2 已知坐標(biāo)系B的初始位姿與A重合，首先B相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸轉(zhuǎn)30，再沿A的xA軸移動(dòng)12單位，并沿A的yA軸移動(dòng)6單位。假設(shè)點(diǎn)p在坐標(biāo)系B的描述為Bp=3,7,0T，用齊次變換方法求它在坐標(biāo)系A(chǔ)中的描述Ap。19解：2

13、.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames0.8660.5 012311.0980.50.866 06713.562001000000111AABBT pp2.3 Homogeneous Transformation第19頁/共47頁2020 Homogeneous Transformation of Translation 空間中的某點(diǎn)用矢量ai+bj+ck描述，該點(diǎn)也可表示為： 對(duì)已知矢量 u=x,y,z,wT 進(jìn)行平移變換所得的矢量 v 為：(2.20)1000100010001),(cbacbaTrans100/010/

14、( , , )001/00011axxawx wabyybwy wbvTrans a b cuczzcwz wcww 2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第20頁/共47頁2121 Homogeneous Transformation of Rotation100000000001),(csscxRot100000001000),(csscyRot100001000000),(cssczRot2.3 Homogeneous Transformation of t

15、he Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第21頁/共47頁2222 例2.3 已知點(diǎn) u=7i+3j+2k，將 u繞 z 軸旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn) v，再將點(diǎn) v 繞 y軸旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)w，求點(diǎn)v、w的坐標(biāo)。c90s900 073s90c900 037,90001 022000 111vRot zu 解：c900 s90032010077,90s900 c90023000111wRot yv 2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Trans

16、formation第22頁/共47頁2323 例2.3 已知點(diǎn) u=7i+3j+2k，將 u繞 z 軸旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn) v，再將點(diǎn) v 繞 y軸旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)w，求點(diǎn)v、w的坐標(biāo)。解： 如果把上述兩變換組合在一起,90,900 0 1 0721 0 0 0370 1 0 0230 0 0 111wRot yRot zu 2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第23頁/共47頁2424 若改變旋轉(zhuǎn)次序，首先使 u 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)90，再繞 z 軸旋轉(zhuǎn)90，會(huì)使 u 變

17、換至與 w 不同的位置w1。2.6圖 旋轉(zhuǎn)次序?qū)ψ儞Q結(jié)果的影響(a),90,90Rot yRot z(b),90,90Rot zRot y2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第24頁/共47頁2525 例2.4 已知點(diǎn) u=7i+3j+2k，將 u繞 z 軸旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn) v，再將點(diǎn) v 繞 y軸旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)w，最后進(jìn)行平移變換4i-3j+7k，求最終的坐標(biāo)。解： 把上述三變換組合在一起4, 3,7,90,900 0 141 0 030 1 070 0 01T

18、ransRot yRot z2.7圖 平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的組合2.3 Homogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第25頁/共47頁2626 例2.4 已知點(diǎn) u=7i+3j+2k，將 u繞 z 軸旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn) v，再將點(diǎn) v 繞 y軸旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)w，最后進(jìn)行平移變換4i-3j+7k，求最終的坐標(biāo)。解：4, 3,7,90,900 0 14761 0 03340 1 072100 0 0111tTransRot yRot zu 則2.7圖 平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的組合2.3 Ho

19、mogeneous Transformation of the Coordinate Frames2.3 Homogeneous Transformation第26頁/共47頁2727 We are given a single frame A and a position vector AP described in this frame. We then transform AP by first rotating it about by an angle , then rotating about by an angle . Determine the 3 3 rotation matr

20、ix operator, , which describes this transformation.例例2.5 （Example 2.5）2.3 Homogeneous TransformationAZAY,R Solution: Suppose the first rotation converts AP -AP, and the second rotation converts AP-A P”. Then we have: AAzPRP AAyPRP AAyzPRRP第27頁/共47頁2828 We are given a single frame A and a position ve

21、ctor AP described in this frame. We then transform AP by first rotating it about by an angle , then rotating about by an angle . Determine the 3 3 rotation matrix operator, , which describes this transformation.Example 2.52.3 Homogeneous TransformationAZAY,R Solution: AAyzPRRP ,yzRRR 00,010000001csc

22、sc cc ssRscscscs cs sc 第28頁/共47頁29Contents Representation of Position and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object General Rotation Transformation 29Ch.2 Mathematical Foundations第29頁/共47頁30302.4 Transformation and Inverse One of Object 物體的變換及逆變換 Descript

23、ion of position of an object 我們可以用描述空間一點(diǎn)的變換方法來描述物體在空間的位置和方向。例如，下圖所示物體可由坐標(biāo)系內(nèi)固定該物體的六個(gè)點(diǎn)來表示。2.4 Transformation of Objects第30頁/共47頁31312.4 Transformation and Inverse Transformation of Object 物體的變換及逆變換 Description of position of an object 如果首先讓物體繞z軸旋轉(zhuǎn)90，接著繞y軸旋轉(zhuǎn)90，再沿x軸方向平移4個(gè)單位，則該變換可描述為：001410004,0,0,90,900

24、1000001TTransRot yRot z2.4 Transformation of Objects第31頁/共47頁32322.4 Transformation and Inverse Transformation of Object 物體的變換及逆變換 Description of position of an object 上述楔形物體的六個(gè)點(diǎn)變換如下： 11111144000011111144664411111100220044000011111110000010000141002.4 Transformation of Objects第32頁/共47頁3333 Compound

25、Transformation 給定坐標(biāo)系A(chǔ)，B和C，若已知B 相對(duì)A的描述為 ， C 相對(duì)B的描述為 ，則(2.28)ppCBCBTpppCBCABBABATTT(2.27)2.4 Transformation and Inverse Transformation of ObjectABTBCT定義復(fù)合變換 ：101010BoACoBABBCABCoBBCBoAABBCABACRRRRRTTTpppp2.4 Transformation of Objects第33頁/共47頁3434 Inverse Transformation 從坐標(biāo)系 B 相對(duì)A的描述 ，求得坐標(biāo)系 A 相對(duì)B的描述 ，是

26、齊次變換求逆問題。 對(duì)于給定的 ，求解 ，等價(jià)于給定 和 計(jì)算 和 。2.4 Transformation and Inverse Transformation of ObjectABTBATABTBATABRABopBARBAop2.4 Transformation of Objects|0 0 0|1AAABBoBRTp|?0 0 0|1BBBAAoARTp第34頁/共47頁3535 Inverse Transformation 對(duì)于給定的 ，求解 ，等價(jià)于給定 和 計(jì)算 和 。2.4 Transformation and Inverse Transformation of ObjectA

27、BTBATABRABopBARBAopBBBoABoAoRAABpppBATAoABoBBoRR BAAppp|0 |1ATBBBABoARRTAp2.4 Transformation of Objects第35頁/共47頁3636 Given a transformation matrix: Find 例2.6 （Example 2.6）2.3 Homogeneous Transformation100102030001ABcsTscSolution:1001023|0230 |10001ATBBBABoAcscsRRTscscApBAT第36頁/共47頁3737 Transform Equ

28、ations 2.9圖 變換方程及其有向變換圖(a) 機(jī)械手與環(huán)境間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系(b) 對(duì)應(yīng)的有向變換圖2.4 Transformation and Inverse Transformation of Object2.4 Transformation of ObjectsTTTTGTSGBSBT(2.37)第37頁/共47頁38Contents Representation of Position and Attitude Coordinate Transformation Homogeneous Transformation Transformation of Object General R

29、otation Transformation 38Ch.2 Mathematical Foundations第38頁/共47頁3939設(shè)想 f 為坐標(biāo)系C的 z 軸上的單位矢量 (2.39)2.5 General Rotation Transformation1000000zzzyyyxxxaonaonaonCkjifzyxaaa(2.38)2.5 General Rotation Transformation 通用旋轉(zhuǎn)變換通用旋轉(zhuǎn)變換 繞矢量 f 旋轉(zhuǎn)等價(jià)于繞坐標(biāo)系 C的 z 軸旋轉(zhuǎn)(2.40),(),(zcRotRotf第39頁/共47頁4040 如果已知以參考坐標(biāo)描述的坐標(biāo)系T，那么能夠

30、求得以坐標(biāo)系C描述的另一坐標(biāo)系S，因?yàn)?T 繞 f 旋轉(zhuǎn)等價(jià)于繞坐標(biāo)系 C 的 z 軸旋轉(zhuǎn)：(2.41)CST TCS1S), z(CRotT),(RotfTC), z(CRotT),(Rot1f(2.42)2.5 General Rotation Transformation 2.5 General Rotation Transformation第40頁/共47頁4141 (2.43)1C), z(CRot),(Rotf00( , )00001xxyxzzxyxyzyyzyxxzyyzxzzf f verscf f versf sf f versf sf f versf sf f verscf f versf sRotf f versf sf f versf sf f verscf(2.45)2.5 General Rotation Transformation 2.5 General Rotation Transformation第41頁/共47頁4242Equivalent rotation angle and axis 給出任一旋轉(zhuǎn)變換，能夠由式(2.45)求得進(jìn)行等效旋轉(zhuǎn)角