可降階的二階微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yxfy 可降為一階的二階微分方程的解法 第三節(jié)一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 ( )yf x ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 第八章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ,)yf x y y本節(jié)考慮本節(jié)考慮二二階微分方程階微分方程中的如下的三種特殊類型中的如下的三種特殊類型: :),(yxfy 二、二、 型的微分方程型的微分方程 一、一、 型的微分方程型的微分方程 ( )yf x ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、)()(xfyn令,) 1

2、( nyz)(ddnyxz則因此1d)(cxxfz即1) 1(d)(cxxfyn同理可得2)2(d cxyn1d)(cxxfxd xxfd)(依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意常數(shù)的通解 ., )(xf21cxc型的微分方程型的微分方程 特點：特點：右端僅含有自變量x。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcosecxxyx 12sine21cxxxy2e41xy2e811121cc此處xsin21xc32cxcxcos21cxc目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程

3、),(pxfp 設(shè)其通解為),(1cxp則得),(1cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(cxcxy二、二、特點：特點：右端不含有變量y。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12cxp)1(21xcp即,3 0 xy利用, 31c得于是有)1(32xy兩端再積分得233cxxy利用,10 xy, 12c得133xxy因此所求特解為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(

4、ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1cyp即得),(1cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dcxcyy特點：特點：右端不含有自變量x。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1cyp,1ycp 即ycy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xccy1e2解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般說, 用前者方便些. 均可. 有時用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二階可降階微