整式的加減及經(jīng)典例題

1、整式及整式的加減要點(diǎn)梳理及經(jīng)典例題一、整式的有關(guān)概念1單項(xiàng)式（1）概念：注意：?jiǎn)雾?xiàng)式中數(shù)與字母或字母與字母之間是乘積關(guān)系，例如：可以看成，所以是單項(xiàng)式；而表示2與的商，所以不是單項(xiàng)式，凡是分母中含有字母的就一定不是單項(xiàng)式.（2）系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù). 例如：的系數(shù)是；的系數(shù)是注意：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)包括其前面的符號(hào)；當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或時(shí)，“1”通常省略不寫，但符號(hào)不能省略. 如：等；是數(shù)字，不是字母.（3）次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).注意：計(jì)算單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，不要漏掉字母的指數(shù)為1的情況. 如的次數(shù)為，而不是5；切勿加上系數(shù)上的指數(shù)，如的次

2、數(shù)是3，而不是8；的次數(shù)是5，而不是6.2多項(xiàng)式（1）概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式. 其含義是：必須由單項(xiàng)式組成；體現(xiàn)和的運(yùn)算法則.（2）項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)；一個(gè)多項(xiàng)式含有幾個(gè)單項(xiàng)式就叫幾項(xiàng)式.例如：共含有有三項(xiàng)，分別是，所以是一個(gè)三項(xiàng)式.注意：多項(xiàng)式的項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，如上例中常數(shù)項(xiàng)是，而不是1.（3）次數(shù)：多項(xiàng)式中，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).注意：要防止把多項(xiàng)式的次數(shù)與單項(xiàng)式的次數(shù)相混淆，而誤認(rèn)為多項(xiàng)式的次數(shù)是各項(xiàng)次數(shù)之和. 例如：多項(xiàng)式中，的次數(shù)是4，的次數(shù)是5，的次數(shù)是3，故此多項(xiàng)式的次數(shù)是5，而不是.3整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和

3、多項(xiàng)式統(tǒng)稱做整式.4降冪排列與升冪排列（1）降冪排列：把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母的降冪排列.（2）把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母的升冪排列.注意：降（升）冪排列的根據(jù)是：加法的交換律和結(jié)合律；把一個(gè)多項(xiàng)式按降（升）冪重新排列，移動(dòng)多項(xiàng)式的項(xiàng)時(shí)，需連同項(xiàng)的符號(hào)一起移動(dòng)；在進(jìn)行多項(xiàng)式的排列時(shí)，要先確定按哪個(gè)字母的指數(shù)來(lái)排列. 例如：多項(xiàng)式按的升冪排列為：；按的降冪排列為：.二、整式的加減1同類項(xiàng)：所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).注意：同類項(xiàng)與其系數(shù)及字母的排列順序無(wú)關(guān).

4、例如：與是同類項(xiàng)；而與卻不是同類項(xiàng)，因?yàn)橄嗤淖帜傅闹笖?shù)不同.2合并同類項(xiàng)（1）概念：把多項(xiàng)式中相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng).注意：合并同類項(xiàng)時(shí)，只能把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，不是同類項(xiàng)的不能合并，如顯然不正確；不能合并的項(xiàng)，在每步運(yùn)算中不要漏掉.（2）法則：合并同類項(xiàng)就是把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變.注意：合并同類項(xiàng)，只是系數(shù)上的變化，字母與字母的指數(shù)不變，不能將字母的指數(shù)相加；合并同類項(xiàng)的依據(jù)是加法交換律、結(jié)合律及乘法分配律；兩個(gè)同類項(xiàng)合并后的結(jié)果與原來(lái)的兩個(gè)單項(xiàng)式仍是同類項(xiàng)或者是0.3去括號(hào)與填括號(hào)（1）去括號(hào)法則：括號(hào)前面是“”，把括號(hào)和它前面的“”去

5、掉，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不變號(hào)；括號(hào)前面是“”，把括號(hào)和它前面的“”去掉，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都改變符號(hào).注意：去括號(hào)的依據(jù)是乘法分配律，當(dāng)括號(hào)前面有數(shù)字因數(shù)時(shí)，應(yīng)先利用分配律計(jì)算，切勿漏乘；明確法則中的“都”字，變符號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都變；若不變符號(hào)，各項(xiàng)都不變. 例如：；當(dāng)出現(xiàn)多層括號(hào)時(shí)，一般由里向外逐層去括號(hào)，如遇特殊情況，為了簡(jiǎn)便運(yùn)算也可由外向內(nèi)逐層去括號(hào).（2）填括號(hào)法則：所添括號(hào)前面是“”號(hào)，添到括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不變號(hào)；所添括號(hào)前面是“”號(hào)，添到括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都改變符號(hào).注意：添括號(hào)是添上括號(hào)和括號(hào)前面的“”或“”，它不是原來(lái)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)的符號(hào)“移”出來(lái)的；添括號(hào)和去括號(hào)的過(guò)程正好相反，添括號(hào)是否正確，可

6、用去括號(hào)來(lái)檢驗(yàn). 例如：4整式的加減整式的加減實(shí)質(zhì)上是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)，其一般步驟是：（1）如果有括號(hào)，那么先去括號(hào)；（2）如果有同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng).注意：整式運(yùn)算的結(jié)果仍是整式.經(jīng)典例題透析類型一：用字母表示數(shù)量關(guān)系1填空題： (1)香蕉每千克售價(jià)3元，m千克售價(jià)_元。(2)溫度由5上升t后是_。(3)每臺(tái)電腦售價(jià)x元，降價(jià)10后每臺(tái)售價(jià)為_元。(4)某人完成一項(xiàng)工程需要a天，此人的工作效率為_。思路點(diǎn)撥：用字母表示數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是理解題意，抓住關(guān)鍵詞句，再用適當(dāng)?shù)氖阶颖磉_(dá)出來(lái)。舉一反三：變式 某校學(xué)生給“希望小學(xué)”郵寄每?jī)?cè)元的圖書240冊(cè)，若每?jī)?cè)圖書的郵費(fèi)為書價(jià)的5，則共需郵費(fèi)_元。類

7、型二：整式的概念2指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。(1)x1；(2)a2；(3)；(4)SR2；(5)；(6)總結(jié)升華：判斷是不是整式，關(guān)鍵是了解整式的概念，注意整式與等式、不等式的區(qū)別，等式含有等號(hào)，不等式含有不等號(hào)，而整式不能含有這些符號(hào)。舉一反三：變式把下列式子按單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式進(jìn)行歸類。x2y， ab， xy25， ， 29， 2ax9b5， 600xz， axy， xyz1， 。分析：本題的實(shí)質(zhì)就是識(shí)別單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和整式。單項(xiàng)式中數(shù)和字母、字母和字母之間必須是相乘的關(guān)系，多項(xiàng)式必須是幾個(gè)單項(xiàng)式的和的形式。答案：?jiǎn)雾?xiàng)式有：x2y，29,600xz，axy多項(xiàng)式有：ab，xy2

8、5,2ax9b5，xyz1整式有：x2y，ab，xy25，29，2ax9b5,600xz，axy，xyz1。類型三：同類項(xiàng)3若與是同類項(xiàng)，那么a,b的值分別是（ ）（A）a=2, b=1。 （B）a=2, b=1。（C）a=2, b=1。 （D）a=2, b=1。思路點(diǎn)撥:解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是明確同類項(xiàng)定義，即字母相同且相同字母的指數(shù)相同，要注意同類項(xiàng)與系數(shù)的大小沒(méi)有關(guān)系。解析：由同類項(xiàng)的定義可得：a1=b,且 2a+b=3，解得 a=2, b=1，故選A。舉一反三：變式在下面的語(yǔ)句中，正確的有()a2b3與a3b2是同類項(xiàng)；x2yz與zx2y是同類項(xiàng)；1與是同類項(xiàng)；字母相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)。A、

9、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)解析：中a2b3與a3b2所含的字母都是a，b，但a的次數(shù)分別是2,3，b的次數(shù)分別是3,2，所以它們不是同類項(xiàng)；中所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，所以x2yz與zx2y是同類項(xiàng)；不含字母的項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))都是同類項(xiàng)，正確，根據(jù)可知不正確。故選B。類型四：整式的加減4化簡(jiǎn)mn（m+n）的結(jié)果是（ ）（A）0。 （B）2m。（C）2n。（D）2m2n。思路點(diǎn)撥：按去括號(hào)的法則進(jìn)行計(jì)算，括號(hào)前面是“”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。解析： 原式=mnmn=2n，故選（C）。舉一反三：變式 計(jì)算：2xy+3xy=_。分析：按合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行計(jì)

10、算，把系數(shù)相加所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。注意不要出現(xiàn)5x2y2的錯(cuò)誤。答案：5xy。5（化簡(jiǎn)代入求值法）已知x，y,求代數(shù)式(5x2y2xy23xy)(2xy5x2y2xy2) 思路點(diǎn)撥：此題直接把x、y的值代入比較麻煩，應(yīng)先化簡(jiǎn)再代入求值。解析：原式5x2y2xy23xy2xy5x2y2xy25xy當(dāng)x，y時(shí)，原式5×?？偨Y(jié)升華：求代數(shù)式的值的第一步是“代入”，即用數(shù)值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果。應(yīng)注意的問(wèn)題是：當(dāng)整式中有同類項(xiàng)時(shí)，應(yīng)先合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)原式，再代入求值。舉一反三：變式1 當(dāng)x0，x，x-2時(shí)，分別求代數(shù)式的2

11、x2x1的值。解：當(dāng)x0時(shí)，2x2x12×02011；當(dāng)x時(shí)，2x2x12×；當(dāng)x-2時(shí)，2x2x12×（-2）2（-2）12×4+2111?？偨Y(jié)升華：一個(gè)整式的值，是由整式中的字母所取的值確定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；當(dāng)整式中沒(méi)有同類項(xiàng)時(shí)，直接代入計(jì)算，原式中的系數(shù)、指數(shù)及運(yùn)算符號(hào)都不改變。但應(yīng)注意，當(dāng)字母的取值是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時(shí)，代入時(shí)，應(yīng)將分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)添上括號(hào)。變式2 先化簡(jiǎn)，再求值。3(2x2y3xy2)(xy23x2y)，其中x，y1。解： 3(2x2y3xy2)(xy23x2y)(6x2y9xy2)xy23x2y6x2y9xy2xy23

12、x2y9x2y10xy2。當(dāng)x，y1時(shí)，原式9××(1)10××(1)2?？偨Y(jié)升華：解題的基本規(guī)律是先把原式化簡(jiǎn)為9x2y10xy2，再代入求值，化簡(jiǎn)降低了運(yùn)算難度，使計(jì)算更加簡(jiǎn)便，體現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)，化難為易的轉(zhuǎn)化思想。變式3 求下列各式的值。(1)(2x2x1)，其中x(2)2mn(3m)3(2nmn)，其中mn2，mn3。解析：(1) (2x2x1)2x2x1x2x3x234x24當(dāng)x時(shí)，原式4×4945。(2) 2mn(3m)3(2nmn)2mn6m6n3mn5mn6(mn)當(dāng)mn2，mn3時(shí)原式5×(3)6×227。類

13、型五：整體思想的應(yīng)用6已知x2x3的值為7，求2x22x3的值。思路點(diǎn)撥：該題解答的技巧在于先求x2x的值，再整體代入求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體思想。解析：由題意得x2x37，所以x2x4，所以2(x2x)8，即2x22x8，所以2x22x3835。總結(jié)升華：整體思想就是在考慮問(wèn)題時(shí)，不著眼于它的局部特征，而是將具有共同特征的某一項(xiàng)或某一類看成一個(gè)整體的數(shù)學(xué)思想方法。運(yùn)用這種方法應(yīng)從宏觀上進(jìn)行分析，抓住問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)和本質(zhì)特征，全面關(guān)注條件和結(jié)論，加以研究、解決，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在中考中該思想方法比較常見(jiàn)，尤其在化簡(jiǎn)題中經(jīng)常用到。舉一反三：變式1 已知x2x10，求代數(shù)式x32x27的值。分析：此

14、題由已知條件無(wú)法求出x的值，故考慮整體代入。解析：x2x10，x21x，x32x27x(1x)2(1x)7xx222x7-x2-x-5（-x2-x+1）-6 =6。變式2 當(dāng)x1時(shí)，代數(shù)式px3qx1的值為2003，則當(dāng)x1時(shí)，代數(shù)式px3qx1的值為( )A、2001B、2002C、2003D、2001分析：這是一道求值的選擇題，顯然p，q的值都不知道，仔細(xì)觀察題目，不難發(fā)現(xiàn)所求的值與已知值之間的關(guān)系。解析：當(dāng)x1時(shí)，px3qx1pq12003，而當(dāng)x1時(shí)，px3qx1pq1，可以把pq看做一個(gè)整體，由pq12003得pq2002，于是pq(pq)2002，所以原式200212001。故選A

15、。變式3 已知A3x32x1，B3x22x1，C2x21，則下列代數(shù)式中化簡(jiǎn)結(jié)果為3x37x22的是( )A、AB2CB、AB2CC、AB2CD、AB2C分析：將A，B，C的式子分別代入A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中檢驗(yàn)，如：AB2C3x32x1(3x22x1)2(2x21)3x32x13x22x14x223x37x22。故選C。答案：C變式4 化簡(jiǎn)求值。(1)3(abc)8(abc)7(abc)4(abc)，其中b2(2)已知ab2，求2(ab)ab9的值。分析：(1)常規(guī)解法是先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)，但此題可將abc，abc分別視為一個(gè)“整體”，這樣化簡(jiǎn)較為簡(jiǎn)便；(2)若想先求出a，b的值，

16、再代入求值，顯然行不通，應(yīng)視ab為一個(gè)“整體”。解析：(1)原式3(abc)7(abc)8(abc)4(abc) 4(abc)4(abc) 4a4b4c4a4b4c8b。 因?yàn)閎2，所以原式8×216。(2)原式2(ab)(ab)9 (ab)9 因?yàn)閍b2，所以原式2911。類型六：綜合應(yīng)用7已知多項(xiàng)式3(ax22x1)(9x26x7)的值與x無(wú)關(guān)，試求5a22(a23a4)的值。思路點(diǎn)撥：要使某個(gè)單項(xiàng)式在整個(gè)式子中不起作用，一般是使此單項(xiàng)式的系數(shù)為0即可.解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。因?yàn)樵降闹蹬cx無(wú)關(guān)，故3a90，所以a3。又因?yàn)?a22(a23a4)5a22a26a83a26a8，所以當(dāng)a3時(shí)，原式3×326×3837?？偨Y(jié)升華：解答此類題目一定要弄清題意，明確題目的條件和所求，當(dāng)題目中的條件或所求發(fā)生了變化時(shí)，解題的方法也會(huì)有相應(yīng)的變化。舉一反三：變式1當(dāng)a(x0)為何值時(shí)，多項(xiàng)式3(ax22x1)(9x26x7)的值恒等為4。解析：3(ax22x1)(9x26x7)3ax26x39x26x7(3a9)x24。因?yàn)?3a9)x244，所以(3a9)x20。又因?yàn)閤0，故有3a90。即a3，所以當(dāng)a3時(shí)，多項(xiàng)式3