中考（數(shù)學）分類三 二次函數(shù)與面積有關的問題（含答案）-歷年真題?？?、重難點題型講練

1、數(shù)學專題 精心整理類型三二次函數(shù)與圖形面積問題【典例1】已知直線交軸于點，交軸于點，二次函數(shù)的圖象過兩點，交軸于另一點，且對于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點，當時，總有（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若直線，求證：當時，；（3）為線段上不與端點重合的點，直線過點且交直線于點，求與面積之和的最小值【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）的最小值為【解析】【分析】（1）先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征由一次函數(shù)的表達式求出A，B兩點的坐標，再根據(jù)BC=4，得出點C的坐標，最后利用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達式；（2）利用反證法證明即可；（3）先求出q的值，利用，得出，設，然后用含t的式子表示出的面積，再利用二

2、次函數(shù)的性質求解即可【詳解】解：（1）對于，當時，所以；當時，所以，又因為，所以或，若拋物線過，則當時，隨的增大而減少，不符合題意，舍去若拋物線過，則當時，必有隨的增大而增大，符合題意故可設二次函數(shù)的表達式為，依題意，二次函數(shù)的圖象過，兩點，所以，解得所求二次函數(shù)的表達式為（2）當時，直線與直線不重合，假設和不平行，則和必相交，設交點為，由得，解得，與已知矛盾，所以與不相交，所以（3）如圖，因為直線過，所以，又因為直線，所以，即，所以，所以，所以，設，則，所以，所以所以當時，的最小值為【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質、相似三角形的性質與判定、三角形面積等基礎知識，注意函數(shù)與方程

3、思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想及分類與整合思想的運用【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，且，點是第三象限內拋物線上的一動點（1）求此拋物線的表達式；（2）若，求點的坐標；（3）連接，求面積的最大值及此時點的坐標【答案】（1）；（2）（，）；（3）面積的最大值是8；點的坐標為（，）【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)的性質，求出點C的坐標，然后得到點A、點B的坐標，再求出解析式即可；（2）由，則點P的縱坐標為，代入解析式，即可求出點P的坐標；（3）先求出直線AC的解析式，過點P作PDy軸，交AC于點D，則，設點P為（，），則點D為（，），求出PD的長度，利用二次函數(shù)

4、的性質，即可得到面積的最大值，再求出點P的坐標即可【詳解】解：（1）在拋物線中，令，則，點C的坐標為（0，），OC=2，點A為（，0），點B為（，0），則把點A、B代入解析式，得，解得：，；（2）由題意，點C為（0，），點P的縱坐標為，令，則，解得：，點P的坐標為（，）；（3）設直線AC的解析式為，則把點A、C代入，得，解得：，直線AC的解析式為；過點P作PDy軸，交AC于點D，如圖：設點P 為（，），則點D為（，），OA=4，當時，取最大值8；，點P的坐標為（，）【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)的性質，一次函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質進行解題，注意利

5、用數(shù)形結合的思想進行解題【典例3】如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C（1）求A、B、C三點的坐標;（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積;（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由【解析】解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB= 過點P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點P在拋物線上 GMCByPA解得，（不合題意，舍去） PE=四邊形ACBP的面積=ABOC

6、+ABPE=(3) 假設存在PAB=BAC = PAACMG軸于點G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設M點的橫坐標為，則M 點M在軸左側時，則() 當AMG PCA時，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 當MAG PCA時有=即 解得：（舍去） M GMCByPA 點M在軸右側時，則 () 當AMG PCA時有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 當MAGPCA時有= 即 解得：（舍去） M 存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似M點的坐標為，13分【典例4】如圖,在平面直角坐標系中，ABC是直角

7、三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經過A，B兩點，拋物線的頂點為D（1）求b,c的值；（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外)，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E的坐標；（3）在（2）的條件下：求以點、為頂點的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點P，使EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，說明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）1分二次函數(shù)的圖像經過點A（-1，0）B(4,5)2分解得：b=-2 c=-33分（2）如題圖：直線AB經過點A（-1，0） B

8、(4,5)直線AB的解析式為：y=x+14分二次函數(shù)設點E(t， t+1),則F（t，）5分EF= 6分 =當時，EF的最大值=點E的坐標為（，）7分（3）如題圖：順次連接點E、B、F、D得四邊形 可求出點F的坐標（，）,點D的坐標為（1，-4） S=S+S = = 10分如備用圖：)過點E作aEF交拋物線于點P,設點P(m,)則有： 解得:, ,）過點F作bEF交拋物線于，設（n，）則有： 解得： ，（與點F重合，舍去）綜上所述：所有點P的坐標：，（. 能使EFP組成以EF為直角邊的直角三角形【典例5】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點，與軸交于點P，頂點為C（1，2）.（1）求此函

9、數(shù)的關系式；（2）作點C關于軸的對稱點D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標及PEF的面積；若不存在，請說明理由.【解析】（1）的頂點為C（1，2），（2）設直線PE對應的函數(shù)關系式為由題意，四邊形ACBD是菱形. 故直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M由P(0，1)，M（1，0），得從而， 設E(，)，代入，得 解之得，根據(jù)題意，得點E(3，2) （3） 假設存在這樣的點F，可設F(，)過點F作FG軸，垂足

10、為點G.在RtPOM和RtFGP中，OMP+OPM=90°，F(xiàn)PG+OPM=90°，OMP=FPG，又POM=PGF，POMFGP. 又OM=1，OP=1，GP=GF，即解得，根據(jù)題意，得F(1，2)故點F(1，2)即為所求 【典例6】如圖，已知拋物線的頂點坐標為Q，且與軸交于點C，與軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD軸，交AC于點D(1)求該拋物線的函數(shù)關系式；(2)當ADP是直角三角形時，求點P的坐標；(3)在問題(2)的結論下，若點E在軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為

11、頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由【解析】解：（1）拋物線的頂點為Q（2，1）設將C（0，3）代入上式，得， 即（3分）（2）分兩種情況：當點P1為直角頂點時,點P1與點B重合(如圖)令=0, 得解之得, 點A在點B的右邊, B(1,0), A(3,0)P1(1,0) （5分）解:當點A為APD2的直角頂點是(如圖)OA=OC, AOC=, OAD2=當D2AP2=時, OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2軸, P2D2AO, P2、D2關于軸對稱設直線AC的函數(shù)關系式為將A(3,0), C(0,3)代入上式得, （7分）D2在上, P2在上,設D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)當=2時, =1 P2的坐標為P2(2,1)(即為拋物線頂點)P點坐標為