華東師大初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)等腰三角形性質(zhì)定理提高知識(shí)講解

1、等腰三角形性質(zhì)定理（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 . 了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握等腰三角形的軸對(duì)稱性2 .利用軸對(duì)稱變換推導(dǎo)等腰三角形的性質(zhì)，并加深對(duì)軸對(duì)稱變換的認(rèn)識(shí).3 .掌握等腰三角形的下列性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；等腰三角形三線合一.4 .會(huì)利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理、判斷、計(jì)算和作圖.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1 .等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰， 另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角如圖所示，在 ABC中，AB= AC,則它叫等腰三角形， 其中AB AC為腰，BC為底邊，/A是頂角，2 .等腰三角形的作

2、法已知線段a,b（如圖）.用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a；2. 分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧, 兩弧相交于點(diǎn)A；3. 連接 AB,AC. ABC為所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的對(duì)稱性(1)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形(2)/B=/C為底邊上的中線 AD, CA (3)BD(4) /ADB= / ADC= 90° , AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸 .4.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三

3、條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對(duì)稱軸.要點(diǎn)詮釋：(1)等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，且都等于45。，等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角(或直角)，但頂角可為鈍角(或直角)./A=180。 2/B, /B=180 A .=/C 2 (2)用尺規(guī)作圖時(shí)，畫圖的痕跡一定要保留，這些痕跡一般是畫的輕一些，能看清就可以了，題目中要求作的圖要畫成實(shí)線，最后一定要點(diǎn)題，即“xxx即為所求”.(3)等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.等邊三角形是中考中?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，并且有關(guān)它的計(jì)算也很常見(jiàn)，因此對(duì)于等邊三角332aa

4、a,面積是的等邊三角形它的高是形的特殊數(shù)據(jù)要熟記于心，比如邊長(zhǎng)為24【高清課堂:389301等腰三角形的性質(zhì)及判定，知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1 .等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對(duì)等角”推論：等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60。.性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合 .簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一”2 .等腰三角形的性質(zhì)的作用證明兩條線段或兩個(gè)角相等的一個(gè)重要依據(jù).3 .尺規(guī)作圖：已知底邊和底邊上的高已知線段a, h (如圖)用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使底邊BC= a,BC邊上的高線為h.作法：1.作線段BC=a.2.作

5、線段BC的垂直平分線1,交BC與點(diǎn)D.【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定：例2 (1)1° 1 或 120150°. 30。，則頂角的度數(shù)為()1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為D. 6060°B . 120°C . 60°或 A .;【答案】D由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、【解析】 直角、鈍角，然而題目沒(méi)說(shuō)是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答.60。；(1)頂角為銳角如圖，按題意頂角的度數(shù)為(2) 頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為

6、 0。不符合題意；(3) 頂角為鈍角如圖，則頂角度數(shù)為120。，故此題應(yīng)選 D.【總結(jié)升華】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視了頂角為120。這種情況，把三角形簡(jiǎn)單的認(rèn)為是銳角三角形.舉一反三：【高清課堂：389301等腰三角形的性質(zhì)及判定：例 2(2)】，求其余各邊.13, 一邊長(zhǎng)為3【變式1】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為【答案】；=713 33解：(1)3為腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)也為3,底邊長(zhǎng)=1 10 5.為底邊長(zhǎng)時(shí)，則兩個(gè)腰長(zhǎng)的和=13-3= 10,則一腰長(zhǎng)(2)3_ 2這樣得兩組：3, 3, 75, 5, 3.而由構(gòu)成三

7、角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：3+3< 7,故不能組成三角形， 應(yīng)舍去.等腰三角形的周長(zhǎng)為 13, 一邊長(zhǎng)為3,其余各邊長(zhǎng)為 5, 5.【變式2】等腰三角形有一個(gè)外角是100。，這個(gè)等腰三角形的底角是 【答案】50?；?0° .解：若100。的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角, 則此頂角為：180°100° =80° ,則其底角為：(180°80° ) + 2=50° ；若100。的外角是此等腰三角形的底角的鄰角， 則此底角為：180°100° =80° ;故這個(gè)等腰三角形的底角為：5

8、0°或80° .故答案為：50°或80° .類型二、等腰三角形的操作題?順義一模)我們把過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，且能將這個(gè)三角形20162、(等腰線段”.分割成兩個(gè)等腰三角形的線段稱為該三角形的“的等腰ABCCD就是,取ABCAB邊的中點(diǎn)D,線段例如：如右圖，RtAD線段.1)請(qǐng)分別畫出下列三角形的等腰線段;的度數(shù)的取F,若 EFG有等腰線段，請(qǐng)直接寫出/ F2)例如，在 EFG中，/ G=2 / (值范)利用三角形的等腰線段的定義畫圖；(1【思路點(diǎn)撥】.F的度數(shù)2 ()分類討論等腰線段，從而求得/ )三角形的等腰線段如圖所示，1【答案與解析】解：G=2x,

9、)設(shè)/ ( 2F=x,則/ EM是等腰線段,.EM=EG , ME=MF ,，線段如圖2是等腰三角形，EMG A./ F= / MEF=x , / EMG= / G=2x , .2x<90° ,.x<45如圖3, GN為等腰線段,NF=NG , GN=GE , E= / ENG . / F= / NGF=x , / , EGN=x , / ENG=2x . / , . / E=2x , +2x=180 ° + x2x , .x=36°. <45° F的度數(shù)的取值范圍為 0° < x/. /本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作

10、圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，【總結(jié)升華】 解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖.也考查了等腰三角形的性質(zhì).舉一反三： 中，/ AC氏90。，AC< BC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，【變式】直角三角形紙片ABCF, AC邊分別交于點(diǎn)E、A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D,設(shè)折痕與AR使點(diǎn)的度數(shù)是多少？寫與BDE均為等腰三角形，那么紙片中的/ B探究：如果折疊后的 CDF出你的計(jì)算過(guò)程，并畫出符合條件的折疊后的圖 形.【答案】.CDF是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形解：若Axx =90&

11、#176; 度 /1 = 45/2 = /為設(shè)/ BA時(shí) BD= BE®當(dāng) X 180/ 3 = , 2x 180 X += 18045° +90° ° , 2x .= 30° . =EB不成立經(jīng)計(jì)算 ED DB時(shí)當(dāng) DE= x ° -Z 3= 1802xx 1802 ° -+ 180° = 9045 ° + x.45 =45 °或30= B綜上所述，/.類型三、等腰三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用 且BE3如圖，在 ABC中，ADF. AC于 EF.BE交=AC,延長(zhǎng),E是BC邊上的中線是 AD上一點(diǎn),A

12、F=求證:【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) AD到點(diǎn)H,得到 ADC HDB ,利用全等三角 形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到AEF中的兩個(gè)角相等，然后用等角對(duì)等邊證明AE=EF .【答案與解析】，DBH.AD,連接H使DH=證明：延長(zhǎng) AD到BC邊上的中線，;BD=.1. HDB 中，在AADOm A CD= BD CDA BDH二,BH：/1 = /H, AC BE / = .,. BE= BH,/ 3 = / H,./ 1 = / 3AD是 CD=,HD=AD - HDB. ADCAC又: / 2=/ 3,./ 1 =/ 2,.AF= EF【總結(jié)升華】證明不在同一個(gè)三

13、角形的兩條線段相等,而它們所在的三角形不全等，可以利用輔助線將它們轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，然后通過(guò)等腰三角形來(lái)證明舉一反三：.EF= AE,且F于AD,交E于AC交BE的中線，是 ABCAD【變式】如圖，已知.BF .求證:【答案】BG.,連接D生AD證明：延長(zhǎng) AD至點(diǎn)G,使，為中線: ADA .BD CD.E , GBD 中在 ACD 和,DGAD ,GDB ADC,BDCD CD).© GBD (SAS ： ACD .CAD：BG AC, G,EFAE v . AFE ： CAD G,AFE 又 BFD . G BFD. ： BF BG AC/A的平分線 ADB計(jì)點(diǎn)D, /、如圖

14、，4AC= BCACB 1AD.=于，AD,過(guò)點(diǎn)B作BE交=90 ° ,E.求證：BE點(diǎn)一 2【答案與解析】F.交于點(diǎn)、AC證明：如圖，延長(zhǎng)° , AEF= 90AEBAET.,/ = / 2, =AE, / = / .)ASAAEtB,.A里 AEF (1BF. FEBE2.AC, BC=/ 390° -Z F=/2, RtRt AS心 BCF) ACD(1AD. = . BF= AQ BJ 2 可 保當(dāng)遇到角分線或線段垂線時(shí)?？紤]使用翻折變換，【總結(jié)升華】在幾何解題的過(guò)程中，留原有圖形的性質(zhì)，且使原來(lái)分散的條件相對(duì)集中，以利于問(wèn)題的解決.舉一反三：. AD中點(diǎn)

15、，點(diǎn)E在上ABC【變式】如圖 1,在中，AB=AC點(diǎn)D是BC的BE=CE; (1)求證：,BAC=4§垂求證:足為F, F延長(zhǎng)線交 AC于點(diǎn)，且BF± AC的2 ()如圖2,若BE . BCF它其條件不變.【答案】 ，中點(diǎn)BC: (1) AB=AC D是的證明，/ EAC / BAE=中，和在 AB曰ACEXCAB= EAC= BAE , AE=AE,ACEABBA (SAS)BE=CE ° , BAC=45BFLAF, (2) " 三角，形 ABF：為等腰 直角，.AF=BF，點(diǎn)，點(diǎn) D 是 BC 的中 AB=AC，.ADI BC / EAF+/ C=90° ,，AC-BF ° , CBF+：/ / C=90 EAF=, / CBF/，中 BC會(huì)和 AEF在.CBF EAF = BF=AFBFC = 90 AFE =.(ASA AENA BC 角作等邊三邊上的一點(diǎn)，以CD為邊ABCS如圖，是等邊三角形，D是AB .接AE直線DC的同側(cè)，連、形 CDE使點(diǎn)EA在./ BC 求證：AE” , BCA=/ ECD=60出BC=AC CD=CE / ABC=/等【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)邊三角形性質(zhì)推平，根據(jù)/ EAC4DBC=/ AC* BCD=/ ACE,根據(jù)SAS證 AC® BCD推出求出/ 可.的判定推出