數(shù)學(xué)模型第五章

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.1 傳染病模型傳染病模型5.2 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用5.6 人口預(yù)測(cè)和控制人口預(yù)測(cè)和控制5.7 煙霧的擴(kuò)散與消失煙霧的擴(kuò)散與消失5.8 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)模型模型 描述對(duì)象特征隨時(shí)間描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間空間)的演變過程的演變過程 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài)預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài) 研究控制對(duì)象特征的手段研究控制對(duì)象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系

2、確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程5.1 傳染病模型傳染病模型問題問題 描述傳染病的傳播過程描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型用機(jī)理分析方法建立模型 已感染人數(shù)已感染人數(shù) (病人病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸每個(gè)病人每

3、天有效接觸(足以使人致病足以使人致病)人數(shù)為人數(shù)為 模型模型1 1假設(shè)假設(shè)ttititti)()()(若有效接觸的是病人，若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者必須區(qū)分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者區(qū)分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假設(shè)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康不變，病人和健康 人的人的 比例分別為比例分別為)(),(tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為為 ,

4、 且且使接觸的健康人致病使接觸的健康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接觸率接觸率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm傳染病高潮到來時(shí)刻傳染病高潮到來時(shí)刻 (日接觸率日接觸率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3傳染病無免疫性傳染病無免疫性病人治愈成病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)增加假設(shè)SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例為）病人每天治愈

5、的比例為 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模/ 日接觸率日接觸率1/ 感染期感染期 一個(gè)感染期內(nèi)一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù)接觸數(shù) =1 閾值閾值/1)(ti形曲線增長(zhǎng)按Sti )(感染期內(nèi)感染期內(nèi)有效接觸感染的有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)健康者人數(shù)不超過病人數(shù)小01i1-1/ i0iiidtdi)1 (模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/d

6、t01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)的估計(jì)0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)0ln100

7、0sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xx 03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時(shí)當(dāng)BKK,1/000勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng)增長(zhǎng)dZ/dt03) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的條件dtdyyfdtdZ105.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正

8、規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型 每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的

9、兵力和戰(zhàn)斗力 每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比 甲乙雙方的增援率為甲乙雙方的增援率為u(t), v(t)f, g 取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力模型模型假設(shè)假設(shè)模型模型)()(tvybxytuxayx正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型 甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)xxprbbxg, 忽略非戰(zhàn)斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每

10、個(gè)士兵的殺傷率a=ry py, ry 射擊率，射擊率， py 命中率命中率)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求x(t), y(t)而在相平面上討論而在相平面上討論 x 與與 y 的關(guān)系的關(guān)系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk時(shí)平方律平方律 模型模型甲方勝 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方勝乙方勝游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn) 甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加 忽略非戰(zhàn)

11、斗減員忽略非戰(zhàn)斗減員 假設(shè)沒有增援假設(shè)沒有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x, y)= cxy, c 乙方每個(gè)士兵的殺傷率乙方每個(gè)士兵的殺傷率c = ry pyry射擊率射擊率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活動(dòng)面積甲方活動(dòng)面積sry 乙方射擊有效面積乙方射擊有效面積)(tycm0dm)(tx0m0m0m游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方勝時(shí)000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00線性律線性律 模型模型甲方勝 0m平局 0mcddxdy)(ty

12、)(tx0乙方勝, 0n平局, 0n甲方勝, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方勝0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必須乙方必須10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力設(shè)設(shè) x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除 藥物進(jìn)入機(jī)體形成藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度血藥濃度( (單位體積血液的藥物量單位體積血液的藥物量) )

13、 血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)給藥方案設(shè)計(jì)給藥方案設(shè)計(jì) 藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程 藥物動(dòng)力學(xué)藥物動(dòng)力學(xué) 建立建立房室模型房室模型藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟 房室房室機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布分布( (血藥濃度為常數(shù)血藥濃度為常數(shù)) )，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移 本節(jié)討論本節(jié)討論二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、腎等心、肺、腎等) )和和周邊室周邊室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) ) 中心室中心室周邊室周邊室給藥給藥排除排除)(0tf111)()

14、,(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假設(shè)模型假設(shè) 中心室中心室(1)和周邊室和周邊室(2), ,容積不變?nèi)莘e不變 藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比與該室血藥濃度成正比 藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移相互轉(zhuǎn)移, ,從中心室排出體外從中心室排出體外模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容積濃度藥量給藥速率0f2211122)(xkxktxtttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112

15、kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2 , 1),()(itcVtxiii線性常系數(shù)線性常系數(shù)非齊次方程非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解模型建立模型建立)()()()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf幾種常見的給藥方式幾種常見的給藥方式1. .快速靜脈注射快速靜脈注射t=0 瞬時(shí)瞬時(shí)注射劑量注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室的藥物進(jìn)入中心室, ,血血藥濃度立即為藥濃度立即為D0/V12211122121022112113121)(

16、)()()(ckckVVtcVtfckVVckktc1321132112kkkkk給藥速率給藥速率 f0(t) 和初始條件和初始條件12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .恒速靜脈滴注恒速靜脈滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和和 c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt 001

17、0 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物相當(dāng)于藥物( 劑量劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量吸收室藥量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(21ttBeAetctc)()(11參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的各種給藥方式下的 c1(t), c2(t) 取決于參數(shù)取決于參

18、數(shù)k12, k21, k13, V1,V2t=0快速靜脈注射快速靜脈注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)測(cè)得測(cè)得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大設(shè)t ,由較大的由較大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由較小的由較小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B, , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)進(jìn)入中心室的藥物全部排除進(jìn)入中心室的

19、藥物全部排除 過濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系過濾嘴的作用與它的材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系 人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型模型分析分析 分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。煙過程的數(shù)學(xué)模型。 設(shè)想一個(gè)設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。問題問題5.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用模型模型假設(shè)假設(shè)定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu

20、1）l1煙草長(zhǎng)，煙草長(zhǎng)， l2過濾嘴長(zhǎng)，過濾嘴長(zhǎng)， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均勻分布，密度均勻分布，密度w0=M/l12）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是穿行的數(shù)量比是a :a, a +a=13）未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的）未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物的毒物的(單位時(shí)間單位時(shí)間)吸收率分別是吸收率分別是b和和 4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃，香煙燃燒速度是常數(shù)燒速度是常數(shù)u， v uQ 吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量vxlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)

21、()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0, x=0，點(diǎn)燃香煙，點(diǎn)燃香煙0)0 ,(wxw000)0(uwHaHqq(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度1) 求求q(x,0)=q(x)lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11),()(tutuwtHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(t時(shí)刻，香煙燃至?xí)r刻，香

22、煙燃至 x=ut1) 求求q(x,0)=q(x)2) 求求q(l,t)tvtxqbtxwttxw),(),(),(0)()0 ,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(03) 求求w(ut,t)vabutvbutvlvblaeeeeaauwtlq210),(vblavluleebavawdttlqQ121/001),(vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(vbutaaeawtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4) 計(jì)算計(jì)算 Q11vblar結(jié)果結(jié)果分析分析),(2raMeQvlrervblarr1

23、)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112煙草煙草為什么有作用為什么有作用?1）Q與與a,M成正比，成正比， aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 處的吸入量處的吸入量2) 過濾嘴因素，過濾嘴因素， , l2 負(fù)指數(shù)負(fù)指數(shù)作用作用vle2vlaMe2是毒物集中在是毒物集中在x=l1 處的吸入量處的吸入量3） (r) 煙草的吸收作用煙草的吸收作用b, l1 線性線性作用作用vblavbleebavawQ12021vlbeQQ2)(21vblavleebavawQ12011帶過濾嘴帶過濾嘴不帶過濾嘴不帶過濾嘴21QQb結(jié)果結(jié)果分析分析4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，與另一支不帶過濾嘴的

24、香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 -b 與加長(zhǎng)與加長(zhǎng)l2，效果相同，效果相同5.6 人口預(yù)測(cè)和控制人口預(yù)測(cè)和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口人口發(fā)展發(fā)展方程方程的人口）年齡人口分布函數(shù)rtrF(),(人口密度函數(shù)),(trp人口總數(shù))(tN最高年齡)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人

25、口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)年齡,drrrt死亡人數(shù)內(nèi)),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程一階偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調(diào)查）已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mr

26、dstsptN0),()(21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 總和生育率總和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口發(fā)展方程和生育率人口發(fā)展方程和生育率)(t總和生

27、育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大滯后作用很大mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)）人口總數(shù)2）平均年齡）平均年齡3）平均壽命）平均壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按時(shí)刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計(jì)算的平均存活時(shí)間計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)）老齡化指數(shù)控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不

28、過大不過大控制控制 (t)不過高不過高5.7 煙霧的擴(kuò)散與消失煙霧的擴(kuò)散與消失現(xiàn)象現(xiàn)象和和問題問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。區(qū)域縮小，最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時(shí)間與各因素的關(guān)系。時(shí)間與各因素的關(guān)系。問題問題分析分析無窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏無窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。微分方程描述煙霧濃

29、度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對(duì)光線的吸收，以及儀觀察的煙霧消失與煙霧對(duì)光線的吸收，以及儀器對(duì)明暗的靈敏程度有關(guān)。器對(duì)明暗的靈敏程度有關(guān)。gradCkq模型模型假設(shè)假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。2）光線穿過煙霧時(shí)光強(qiáng)的減少與煙霧濃）光線穿過煙霧時(shí)光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。3）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型模型建立建立1）煙霧濃度）煙霧濃度

30、 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC熱傳導(dǎo)定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過單位法熱傳導(dǎo)定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比向面積的流量與濃度梯度成正比 21QQ 222222)(zCyCxCkgradCdivktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdnqQ1VSn1Qq流量通過,ttt內(nèi)煙霧改變量sVdVqdivdnq曲面積分的奧氏公式曲面積分的奧氏公式gradCkq1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxCktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyxzCyCxCktC 初始條件初始條件

31、Q炮彈釋放的煙霧總量炮彈釋放的煙霧總量 單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù)單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù) 對(duì)任意對(duì)任意t, C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 僅當(dāng)僅當(dāng) t, 對(duì)任意點(diǎn)對(duì)任意點(diǎn)(x,y,z), C01）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC00)(IlI)()(lIlCdldI2）穿過煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律）穿過煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律光強(qiáng)的減少與煙光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比霧濃度成正比方向的煙霧濃度沿方向的光強(qiáng)沿llCllI)()(00)(Ill的光強(qiáng)為未進(jìn)入煙霧lldssCeIlI0)(0)(1),(dztzyxCe觀測(cè)結(jié)果為暗儀器靈敏度，當(dāng),1/0II3）儀器靈敏

32、度與煙霧明暗界限）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化煙霧濃度連續(xù)變化煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化lldssCeIlI0)(0)(儀器儀器z- 設(shè)光源在設(shè)光源在z=- , 儀器在儀器在z= ,則觀測(cè)到的則觀測(cè)到的明暗界限為明暗界限為不透光區(qū)域有擴(kuò)大、不透光區(qū)域有擴(kuò)大、縮小、消失的過程縮小、消失的過程穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏度決定。不透光區(qū)域邊界不透光區(qū)域邊界tkQkttr4ln4)(ktyxektQ4224adxeax24）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律1),(dztzyxCektzyxektQtzyxC423222)4(),(很小）(11ln1),(dztzyxC