（人教B版必修5）1.1.1正弦定理（1）學(xué)案（含答案）

1、第一章解三角形§1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)自主學(xué)習(xí) 知識(shí)梳理1一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的_已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做_2在RtABC中，C90°，則有：(1)AB_，0°<A<90°，0°<B<90°；(2)a2b2_(勾股定理)；(3)sin A_，cos A_，tan A_，sin B_，cos B_，tan B_；(4)_，_，_.3正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等，即_，這個(gè)比值是_ 自主探究已知ABC

2、的三個(gè)內(nèi)角A、B、C及對(duì)應(yīng)的三邊a、b、c，試用向量法證明正弦定理對(duì)點(diǎn)講練知識(shí)點(diǎn)一已知兩角和一邊解三角形例1在ABC中，a5，B45°，C105°，解三角形總結(jié)已知一個(gè)三角形的三邊和三內(nèi)角這六個(gè)量中的三個(gè)量，其中至少有一個(gè)是邊，可以求解其余的三個(gè)量變式訓(xùn)練1在ABC中，已知a2，A30°，B45°，解三角形1 / 8知識(shí)點(diǎn)二已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形例2在ABC中，a2，b6，A30°，解三角形總結(jié)已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時(shí)，需對(duì)角的情況加以討論變式訓(xùn)練2在ABC中，角A、

3、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知A60°，a，b1，則c等于()A1 B2 C.1 D.知識(shí)點(diǎn)三已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，判斷三角形解的個(gè)數(shù)例3不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)(1)a5，b4，A120°；(2)a9，b10，A60°；(3)c50，b72，C135°.總結(jié)已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，此類問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，具體判斷方法是：可用三角形中大邊對(duì)大角定理，也可作圖判斷變式訓(xùn)練3不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)(1)a7，b14，A30°；(2)a30，b25，A150°；(3)a7，b9，A4

4、5°.1利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和兩角2已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求第三邊和其它兩個(gè)角，這時(shí)三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無(wú)解，可能一解或兩解例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時(shí)的各種情況.A為銳角a<bsin Aabsin Absin A<a<bab無(wú)解一解(直角)兩解(一銳角，一鈍角)一解(銳角)A為直角或鈍角aba>b無(wú)解一解(銳角)課時(shí)作業(yè)一、選擇題1在ABC中，下列等式中總能成立的是()Aasin Absin B Bbsin Ccsin ACabsin

5、Cbcsin B Dasin Ccsin A2在ABC中，已知a18，b16，A150°，則這個(gè)三角形解的情況是()A有兩個(gè)解 B有一個(gè)解C無(wú)解 D不能確定3在ABC中，已知a8，B60°，C75°，則b等于()A4 B4 C4 D.4在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，如果ca，B30°，那么角C等于()A120° B105° C90° D75°5在ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是()Ab10，A45°，C70°Ba30，b25，A150°Ca7，b8，A

6、98°Da14，b16，A45°二、填空題6在ABC中，AC，BC2，B60°，則C_.7在ABC中，已知a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若b2a，BA60°，則A_.8在ABC中，ax，b2，B45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是_三、解答題9在ABC中，若a2，A30°，討論當(dāng)b為何值時(shí)(或在什么范圍內(nèi))，三角形有一解，有兩解或無(wú)解？10在銳角三角形ABC中，A2B，a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C，求的取值范圍第一章解三角形§1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)知識(shí)梳理1元素解三角形2(1)90&

7、#176;(2)c2(3)(4)ccc3.三角形外接圓的直徑2R自主探究證明(1)若ABC為直角三角形，不妨設(shè)C為直角如圖所示，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，sin A，sin B，所以c2R(2R為外接圓直徑)C90°，sin C1，c2R.2R.(2)若ABC為銳角三角形，過(guò)A點(diǎn)作單位向量i，則有：i·i·()i·i·，i，i·0，i·i·，即ccos(90°A)acos(90°C)，csin Aasin C，.同理可證：；.(3)若ABC為鈍角三角形，可仿(2)證明對(duì)點(diǎn)講練例1解由三角形內(nèi)角和定理知

8、ABC180°，所以A180°(BC)180°(45°105°)30°.由正弦定理，得ba·5·5；ca·5·5·5·()變式訓(xùn)練1解，b4.C180°(AB)180°(30°45°)105°，c22.例2解a2，b6，a<b，A30°<90°.又因?yàn)閎sin A6sin 30°3，a>bsin A，所以本題有兩解，由正弦定理得：sin B，故B60°或120°

9、;.當(dāng)B60°時(shí)，C90°，c4；當(dāng)B120°時(shí)，C30°，ca2.所以B60°，C90°，c4或B120°，C30°，c2.變式訓(xùn)練2B由正弦定理，可得，sin B，故B30°或150°.由a>b，得A>B，B30°，故C90°，由勾股定理得c2.例3解(1)sin Bsin 120°×<，所以三角形有一解(2)sin Bsin 60°×，而<<1，所以當(dāng)B為銳角時(shí)，滿足sin B的角有60°&

10、lt;B<90°，故對(duì)應(yīng)的鈍角B有90°<B<120°，也滿足AB<180°，故三角形有兩解(3)sin Bsin C>sin C，所以B>45°，所以BC>180°，故三角形無(wú)解變式訓(xùn)練3解(1)A30°，absin A，故三角形有一解(2)A150°>90°，a30>b25，故三角形有一解(3)A45°，bsin 45°<a<b，故三角形有兩解課時(shí)作業(yè)1D2.B3C方法一根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，A180°(B

11、C)45°.根據(jù)正弦定理，b4.方法二如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，由條件可知A45°，而由CDasin 60°bsin 45°，得b4.4Aca，sin Csin Asin(180°30°C)sin(30°C)，即sin Ccos C.tan C.又C(0，)，C120°.5D對(duì)于A，由三角形的正弦定理知其只有一解；對(duì)于B，a>b，即A>B，且A150°，只有一解；對(duì)于C，a<b，即A<B，且A98°，無(wú)解675°解析由正弦定理，sin A.BC2<AC，A為銳角，A45°.C75°.730°解析b2asin B2sin A，又BA60°，sin(A60°)2sin A，即sin Acos 60°cos Asin 60°2sin A，化簡(jiǎn)得：sin Acos A，tan A，A30°.82<x<2解析因三角形有兩解，所以asin B<b<a，即x<2<x，2<x<2.9解當(dāng)a<bsin 30°