淺談數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的區(qū)別和聯(lián)系.doc

1、淺談數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的區(qū)別和聯(lián)系 摘 要 在數(shù)學分析中，極限的知識體系包括數(shù)列極限和函數(shù)極限。在求解數(shù)列極限的方法中，我們從極限的定義出發(fā),根據(jù)極限的性質以及相關的定理法則,例如單調有界收斂來論證極限；在求解函數(shù)極限時，其方法與數(shù)列極限有著相同之處，同時又有所區(qū)別。本文重點在于分析數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的相似之處與不同之處，同時研究數(shù)列極限與函數(shù)極限的關系。 關鍵詞：數(shù)列極限；函數(shù)極限；區(qū)別;聯(lián)系目 錄1 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的相似之處21。1 定義法在極限解題中的應用21.1。1 定義法概述21。1.2 定義法解題實例分析31.2 迫斂性在極限解題中的應用31.2。1 迫

2、斂性概述31。2。2 迫斂性解題實例分析41.3 積分中值定理在極限解題中的應用41。3。1 積分中值定理概述41.3。2 積分中值定理實例分析51.4 本章小結62 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的不同之處72.1 存在條件不同72。1.1 數(shù)列極限存在條件72。1.2 函數(shù)極限存在條件92.2 特殊形式的極限92。2。1 數(shù)列極限的特殊解法研究92.2。3 兩個重要形式的函數(shù)極限解法研究123數(shù)列極限與函數(shù)極限的關系133。1海涅定理133。2海涅定理的應用144 結論151 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的相似之處數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題過程中，存在著很多的相似之處。主要表現(xiàn)在數(shù)列極限與函數(shù)極限

3、的解題過程中，其方法的運用方面存在著很多的共同點.下面將重點分析進行數(shù)列極限與函數(shù)極限的解題過程中，定義法以及利用數(shù)列迫斂性在數(shù)列極限與函數(shù)極限中的運用。1。1 定義法在極限解題中的應用1.1.1 定義法概述 數(shù)列極限的:設為數(shù)列，為定數(shù),若對任給的正數(shù),總存在正數(shù)N，使得當時，有，則稱數(shù)列收斂于。記作：.否則稱為發(fā)散數(shù)列。函數(shù)極限定義：設是一個數(shù)列，是實數(shù)，如果對任意給定的，總存在一個正整數(shù)，當時，都有,我們就稱是數(shù)列的極限。記為。1。1.2 定義法解題實例分析例. 求證數(shù)列極限其中。 證：當時，結論顯然成立。 當時，記，則，由 得，任給，則當時，就有，即即 當 綜上，例. 按函數(shù)極限定義證

4、明。解: 令，則讓即可，存在，當時，不等式: 成立,所以.1。2 迫斂性在極限解題中的應用1.2.1 迫斂性概述數(shù)列極限迫斂性：設數(shù)列都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)N,當n>N時，有，則數(shù)列收斂，且。函數(shù)極限迫斂性：設，且在某內有，則1。2.2 迫斂性解題實例分析例.求數(shù)列極限解：記，則 由迫斂性得=。注:迫斂性在求數(shù)列極限中應用廣泛,常與其他各種方法綜合使用，起著基礎性的作用。例：求函數(shù)極限的極限解: 且 由迫斂性知 注：做此類型題目的關鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并且所找出的兩個函數(shù)必須要收斂于同一個極限。1。3 積分中值定理在極限解題中的應用1。3.1 積分中

5、值定理概述數(shù)列極限中值定理如下:定理一（費馬定理）：設函數(shù)在點的某鄰域內有定義并且在處可導，如果對任意的,有(或），那么。定理二（羅爾定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內可導,且，那么在至少存在一點,使得。定理三（拉格朗日中值定理）：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導,那么至少存在一點,使得。結論也可寫成:. 定理四（柯西中值定理）:如果函數(shù)及在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且在內每一點處均不為零,那末在內至少有一點，使等式成立。函數(shù)極限中值定理：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，將區(qū)間分成個子區(qū)間在每個子區(qū)任取一點，作和式,當時，（屬于最大的區(qū)間長度）該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f

6、(x） 在區(qū)間的定積分.1.3。2 積分中值定理實例分析例。 求， 解：設，在應用拉格朗日中值定理，得 ，故當時，,可知 原式=.例. 求解： 設，則在內連續(xù)，所以， 所以原式1.4 本章小結以上方法是在高等數(shù)學里求解極限的重要方法。在做求解極限的題目時，僅僅掌握以上方法的而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細心分析仔細甄選，選擇出適當?shù)姆椒?這樣不僅準確率更高，而且會省去許多不必要的麻煩,起到事半功倍的效果。這就要求學習者要吃透其精髓,明了其道理，體會出做題的竅門。達到這樣的境界非一日之功，必須要多做題善于總結，日積月累，定會熟能生巧，在做題時得心應手。 從上述的介紹

7、中可以看出求極限的方法不拘一格，我們應具體問題具體分析,不能機械地用某種方法，對具體題目要注意觀察,有時解題可多種方法混合使用，要學會靈活運用。2 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題中的不同之處 數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題過程中雖然存在有很多相似之處，但也有著很多的不同之處，下面本章主要針對數(shù)列極限與函數(shù)極限的存在條件不同以及一些特殊的極限解題方式的不同進行分析與研究.2。1 存在條件不同2。1.1 數(shù)列極限存在條件定理一（單調有界定理）：在實數(shù)系中,有界且單調數(shù)列必有極限。證明：不妨設單調遞增有上界，由確界原理有上確界，下面證明。， 一方面，由上確界定義，使得，又由的遞增性得，當時；另一方面，由于是的一

8、個上界，故對一切，都有；所以當時有，即,這就證得.同理可證單調遞減有下界的數(shù)列必有極限,且為它的下確界。例 設其中，證明數(shù)列收斂.證明：顯然數(shù)列是單調遞增的，以下證明它有上界.事實上， 于是由單調有界定理便知數(shù)列收斂。定量二（柯西收斂準則）： 單調有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件-柯西收斂準則。 Cauchy收斂準則：數(shù)列收斂的充分必要條件是：對任給的，存在正整數(shù)N，使得當時有；或對任給的,存在正整數(shù),使得當，及任一,有。 說明： （1）Cauchy收斂準則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題。 （2)Cauchy收斂準則的條件稱為Cauchy條件，它

9、反映這樣的事實：收斂數(shù)列各項的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項之差的絕對值可以小于預先給定的任意小正數(shù)。或者，形象地說，收斂數(shù)列的各項越到后面越是“擠”在一起. (3）Cauchy準則把定義中與a的之差換成與之差。其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a,只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收)斂(發(fā)）散性. （4) 數(shù)列發(fā)散的充分必要條件是：存在,對任意的，都可以找到，使得;存在，對任意的，都可以找到,及，使得。例 設，證明數(shù)列收斂。證明：不妨設，則 對任給的，存在,對一切有，由柯西收斂準則知數(shù)列收斂。2。1。2 函數(shù)極限存在條件 定理一（單調有界定理）：相應于數(shù)列極限的單調有界定理

10、，關于上述四類單側極限也有相應的定理?，F(xiàn)以這種類型為例敘述如下：設為定義在上的單調有界函數(shù)，則右極限存在。注：（1)設為定義在上的有界函數(shù)。若遞增，則;若遞減，則。(2) 設為定義在上的遞增函數(shù)，則， 。 定理二（函數(shù)極限的柯西收斂準則）：設函數(shù)在內有定義。存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何有。 注：可以利用柯西準則證明函數(shù)極限的不存在:設函數(shù)在內有定義。 不存在的充要條件是：存在 ，對任意正數(shù)，存在， 有。2.2 特殊形式的極限2.2.1 數(shù)列極限的特殊解法研究（1）利用矩陣求解一類數(shù)列的極限 若數(shù)列的遞推公式形如且已知,（為常數(shù)且，）解法：將遞推公式寫成矩陣形式，則有，從而可利用

11、線性代數(shù)知識求出的表達式，并進一步求出. 若數(shù)列的遞推公式形如且已知，（且,）解法1。令，則， ,從而有 ，整理得，再由（1）可以求解。解法2.設與關系式對應的矩陣為，由關系式逐次遞推，有，其對應的矩陣為，利用數(shù)學歸納法易證得，通過計算可求出的表達式，并進一步求出.例。已知斐波那契數(shù)列定義如下: 若令，則且,，證明極限存在并求此極限. 解：顯然，相應矩陣的特征值，對應的特征向量分別為。令 ，則有.于是 從而，由于，上式右端分子、分母同時除以,再令，則有.注：求由常系數(shù)線性遞推公式所確定的數(shù)列的極限有很多種方法,矩陣解法只是其一，但與之相關的論述很少，但卻簡單實用。(2）巧用無窮小數(shù)列求數(shù)列極限

12、引理：數(shù)列收斂于的充要條件是：數(shù)列為無窮小數(shù)列。注:上述引理說明，若，則可作“變量”替換:令，其中是一無窮小數(shù)列。定理1:若數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列,反之亦成立。定理2：若數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列。推論1：設數(shù)列為無窮小數(shù)列，則數(shù)列也為無窮小數(shù)列。例。設，,求極限。 解：由，,作“變量”代換,令，其中，是一無窮小數(shù)列，故=因為，所以是有界數(shù)列，即，從而結合上述推論1有, 再根據(jù)定理1，便有又由定理2可知，=。注：利用無窮小數(shù)列求數(shù)列極限通常在高等數(shù)學和數(shù)學分析教材中介紹甚少，但卻是一種很實用有效的方法用這種方法求某類數(shù)列的極限是極為方便的2.2。3 兩個重要形式的函

13、數(shù)極限解法研究1. 極限 極限是一個重要形式函數(shù)極限，其有很多變形方式，對于一次函數(shù)而言,是上述重要極限的一個推廣。其推廣方式還有很多,如二次函數(shù)的推廣方式為。其推廣的方式雖然很多,但是萬變不離其中，對于這類題型的解答有著自身的規(guī)律.具體見下面的例題。例. 計算解 2極限 這一函數(shù)極限的推廣方式與上述函數(shù)極限的推廣方式相同。具體例題如下。例。 計算解 3數(shù)列極限與函數(shù)極限的關系3.1海涅定理數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨立定義的，但是兩者是有聯(lián)系的.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關系.數(shù)列極限與函數(shù)極限其變量不管是離散地變化還是連續(xù)地變化,只要它們的變化趨勢相同，從極限

14、的意義來說，效果都是一樣的.因此，數(shù)列極限與函數(shù)極限在一定的條件下能相互轉化.能夠建立這種聯(lián)系的就是海涅定理。定理一（歸結原則）：設在內有定義. 存在的充要條件是： 對任何含于且以為極限的數(shù)列， 極限都存在且相等.充分性的證法：只須證明，若對任意數(shù)列，且，,有，則.因為在已知條件中，具有這種性質的數(shù)列是任意的（當然有無限多個）,所以從已知條件出發(fā)直接證明其結論是困難的。這時可以考慮應用反證法。也就是否定結論,假設,根據(jù)極限定義的否定敘述，只要能構造某一個數(shù)列，,，但是,與已知條件相矛盾。于是充分性得到證明.注1 歸結原則也可簡述為 對任何有注2 雖然數(shù)列極限與函數(shù)極限是分別獨立定義的，但是兩者

15、是有聯(lián)系的.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關系， 從而給數(shù)列極限與函數(shù)極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁。它指出函數(shù)極限可化為數(shù)列極限，反之亦然。在極限論中海涅定理處于重要地位。有了海涅定理之后，有關函數(shù)極限的定理都可借助已知相應的數(shù)列極限的定理予以證明.例如若, 則。證 已知，根據(jù)海涅定理的必要性，對任意數(shù)列，且，有，.由數(shù)列極限的四則運算,對任意數(shù)列，且，,有。再根據(jù)海涅定理的充分性,由。注3 歸結原則除上述重要的理論意義外， 它還為證明某些函數(shù)極限不存在提供了行之有效的方法：若可找到一個以為極限的數(shù)列,使不存在，或找到兩個都以為極限的數(shù)列與,使與都存在而不相

16、等，則不存在.3.2海涅定理的應用 （1）利用函數(shù)性質及海涅定理求數(shù)列的極限求數(shù)列極限時，有時,可先求對應的函數(shù)極限，再利用函數(shù)性質及海涅定理求出數(shù)列極限。例。 求極限因為在處連續(xù)，當時, 由海涅定理知,（2） 判斷函數(shù)在某點的可導性應用海涅定理，可求得函數(shù)差、商的極限,從而可判斷函數(shù)在某點的可導性。例 證明函數(shù)（其中為Dirichlet函數(shù)）在原點可導，而在其他點處不可導。證明 因為 所以f(x)在x=0處可導且. 當時，設數(shù)列xn是大于且趨于x0的有理數(shù)列 數(shù)列是大于且趨于x0的無理數(shù)列 當x0為無理數(shù)時， 因為 而 故由海涅定理可知，f（x)在無理點x0處不可導，當x0為非零有理數(shù)時 因

17、為 而 故由海涅定理可知,f（x）在有理點x0處不可導,所以只在原點可導，而在其他點處不可導.4 結論(1)數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題過程中，存在著很多的相似之處。主要表現(xiàn)在數(shù)列極限與函數(shù)極限的解題過程中,其方法的運用方面存在著很多的共同點。其中定義法、迫斂性以及積分中值定理的應用在數(shù)列極限以及函數(shù)極限的解題過程中存在很多的相似性。（2）數(shù)列極限與函數(shù)極限在解題過程中,存在著很多的不同之處，如函數(shù)的存在條件存在不同、一些特殊函數(shù)的解法也存在不同。（3）數(shù)列極限與函數(shù)極限其變量不管是離散地變化還是連續(xù)地變化，只要它們的變化趨勢相同，從極限的意義來說，效果都是一樣的.因此,數(shù)列極限與函數(shù)極限在一定的條件下能相互轉化。能夠建立這種聯(lián)