二階矩陣和二元一次方程組

1、1、逆變換與逆矩陣、逆變換與逆矩陣若逆矩陣存在，則可以證明其具有唯一性。若逆矩陣存在，則可以證明其具有唯一性。2、用幾何變換的觀點(diǎn)求解逆矩陣、用幾何變換的觀點(diǎn)求解逆矩陣 3、用代數(shù)方法求解逆矩陣、用代數(shù)方法求解逆矩陣4、從幾何變換的角度求解二階矩陣乘法的逆矩陣、從幾何變換的角度求解二階矩陣乘法的逆矩陣若二階矩陣若二階矩陣A，B均可逆，則均可逆，則AB也可逆，也可逆，且且(AB)1B1 A15、二階矩陣滿足消去律的條件、二階矩陣滿足消去律的條件復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)消元法二求解元一次方程組消元法二求解元一次方程組 (1) (2) axbymcxdyn 當(dāng)當(dāng)adadbc0bc0時(shí)，方程組的解為時(shí)，方程組的解為x

2、an-cmad-bcmdbnadbcy 引入：引入：(1)(2)db 得：a（ d-bc)x=dm-bn,(2)(1)ac 得：aa（ d-bc)x= n-cm,.abcdabadbccd 我我們們把把稱稱為為，它它的的運(yùn)運(yùn)算算結(jié)結(jié)果果是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)值值（或或多多項(xiàng)項(xiàng)式式），記記為為d de e二二階階行行列列式式t t( (A A) )= =建構(gòu)數(shù)學(xué)：建構(gòu)數(shù)學(xué)：abcd觀察上述結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)x,y的分母一樣，都是將線性方程組的系數(shù)矩陣中主對(duì)角線上的兩數(shù)之積減去副對(duì)角線上的兩數(shù)之積得到的結(jié)果. A=| |abcd我們將矩陣兩邊的“”改為“”,引進(jìn)以下定義：說明：ababcdcd二階行列式

3、與二階矩陣的異同點(diǎn)：(1)從形式上看，矩陣外面是一個(gè)中括號(hào). 而行列式外面是兩條豎線.(2)從實(shí)質(zhì)上看，矩陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式是一個(gè)數(shù)值.(3)矩陣和行列式的中間是一致的.axbymcxdyn cnmbndxabcdamyabcd 解解記記為為：xbDDDccnyambamdnd若若記記，yDDDDxxy 則則有了行列式這個(gè)定義，我們可以將前述二元一次方程組一般解改寫為：231014560 xyxy 例例 ：利利用用行行列列式式解解方方程程組組數(shù)學(xué)應(yīng)用：數(shù)學(xué)應(yīng)用：解：231456.xyxy，將方程組變形為因?yàn)?3D=2 5-4 3=-2,45x13D =1 5-3 6=-13,6521D =

4、2 6-1 4=8,46y13138x=, =4.222yxDDyDD 13,24.xy 該方程組的解為51273A 例例 ：利利用用行行列列式式的的方方法法求求解解矩矩陣陣的的逆逆矩矩陣陣。51A=B73abcd設(shè)矩陣的逆矩陣為，解：由AB=E有5110,7301abcd即5510,737b+3d01acbdac故515b07307b31acdacd，, a c先將看成未知數(shù)，則511051D=8, D =3, D =-7,731370ab37,.88ac 15b,.88d 同理可得：3188A.7588B 矩陣 的逆矩陣用逆矩陣的知識(shí)解決二元一次方程組的求解過程。用逆矩陣的知識(shí)解決二元一次

5、方程組的求解過程。axbymcxdyn XB,yxmabAncd 記記：，則則AXB A-1-1左左乘乘1XA B 得得到到1d-badcadcA-caadcadcbbbb 其其中中例例3：利用行列式求解二元一次方程組：利用行列式求解二元一次方程組 231 0456 0 xyxy 23102314560456xyxyxyxy 231456xy 1231456xy 數(shù)學(xué)應(yīng)用：數(shù)學(xué)應(yīng)用：解-153-A,222-1165313-=,2222-1-4xy 13,24.xy 該方程組的解為13422yyx 例例 ：試試從從幾幾何何變變換換的的角角度度說說明明解解的的存存在在性性和和唯唯一一性性。解1x3

6、1A=X=,B2201y 記，則AX=BA1( , )(, )2x yxy y由于 對(duì)應(yīng)的是將平面上點(diǎn)（向量）保持縱坐標(biāo)不變，而將橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例增加，且的切變變換，因此，1( , )(, )2x yxy y它存在唯一的逆變換：將平面上的點(diǎn)（向量）保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例減少，且的切變變換，-111A =201即，-1-1x3X=B211A =X=A B.201y 于是原方程的解為向量在變換矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用之后的向量，即-1Axy 由于矩陣是唯一存在的，因此，也是唯一存在的，且-11321A B=22201 且，2,2.xy該方程組的解為22AX BAB 1 10 0例例5 5：已已知知二二元元一一次次方方程程組組= = ，= =，1 10 0，試試從從幾幾何何變變換換角角度度研研究究方方程程組組解解的的情情況況。解：矩陣A對(duì)應(yīng)的變換是投影變換，它把平面上所有的點(diǎn)(向量)都沿著垂直于x軸的方向投影到直線y=x上.22 該方程組的求解就轉(zhuǎn)化為已知投影變換的象，求它的原象.22,.2mRm 實(shí)際上，對(duì)任意的都是的原象2,.xyR因此，原方程組有無窮多組解，它們組成一條直線，即滿足點(diǎn)都是方程組的解1、消元法求解二元一次方程組、消元法求解二元一次方程組2、二階行列式有關(guān)概念、二階行列式有關(guān)概念,及用行列式求解二元一次