高三2015寒假課程第7講——統計案例與二項式定

1、2015（高三）寒假課程第7講統計案例與二項式定理適用學科數學適用年級通用適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）120知識點1. 簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣2. 統計圖表：頻率分布直方圖、莖葉圖3. 樣本的數字特征：眾數、平均數、方差、標準差、；樣本估計總體4. 相關關系及線性相關5. 散點圖、線性回歸方程，與回歸分析6. 相關系數與相關指數7. 2×2列聯表8. 獨立性檢驗9. 二項式定理、二項式系數的特點教學目標1. 理解隨機抽樣的方法，會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本，掌握系統抽樣和分層抽樣2. 了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理

2、解它們各自的特點3. 理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差4. 能從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數、標準差)，并給出合理的解釋5. 會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想6. 會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系7. 了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程8. 了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表)的基本思想、方法以及其簡單應用9. 了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用10. 通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應

3、用11. 了解線性回歸模型與函數模型的差異，了解衡量兩個變量之間線性相關關系得方法-相關系數12. 了解二項式定理的形成和過程，掌握二項式定理，會用其展開式的通項求某一項教學重點獨立性檢驗教學難點獨立性檢驗教學過程一、 課堂導入最新研究發(fā)現，花太多時間玩電腦游戲的兒童，患多動癥的風險會加倍。青少年的大腦會很快習慣閃爍的屏幕、變幻莫測的電腦游戲，一旦如此，他們在教室等視覺刺激較少的地方，就很難集中注意力。研究人員對1323名年齡在7歲到10歲的兒童進行調查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們在13個月里玩電腦游戲的習慣。同時，教師記下這些孩子出現的注意力不集中問題。統計獲得下列數據： 注意

4、力不集中注意力集中總計不玩電腦游戲268357625玩電腦游戲489209698總計7575661323根據這則網上收集到的新聞，利用上節(jié)課所學習的內容。提出問題：“從這則新聞中可以得出哪些結論？有多大把握認為你所得出結論正確？”二、復習預習1三種常用抽樣方法：(1)簡單隨機抽樣；（2）系統抽樣；（3）分層抽樣。2用樣本的數字特征估計總體的數字特征： （1）眾數、中位數；（2）平均數與方差。3頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖。4線性回歸：回歸直線方程。5統計案例：相關系數、獨立性檢驗，6.古典概型：古典概型的兩大特點；古典概型的概率計算公式。7.幾何概型：幾何概型的概念；幾何概型的概率公式；幾種

5、常見的幾何概型三、知識講解考點1 隨機抽樣1.簡單隨機抽樣(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個抽取n個個體作為樣本(nN)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法2. 系統抽樣的步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本(1)先將總體的N個個體編號(2)確定分段間隔k，對編號進行分段，當是整數時，取k.(3)在第1段中用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(lk)(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號l+k，再加k得到第3個個體編號l+2k，依次進行下去，直到獲取整

6、個樣本3. 分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照所占的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣(2)分層抽樣的應用范圍：當總體是由差異明顯的幾部分組成時，往往選用分層抽樣4. 三種抽樣方法的比較類別 共同點 各自特點 相互聯系 適用范圍 簡單隨機抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等 從總體中逐個抽取 總體中的個體數較少 系統抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣 總體中的個體數較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進行抽取 分層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統抽樣

7、 總體由差異明顯的幾部分組成 考點2 統計圖表：頻率分布直方圖與莖葉圖1.作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)(2)決定組距與組數(3)將數據分組(4)列頻率分布表(5)畫頻率分布直方圖2頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得頻率分布折線圖(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數增加，組距減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線3莖葉圖（1）定義：當數據有兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像

8、植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖（2）莖葉圖的注意事項：當數據有三位有效數字，前兩位相對比較集中時，常以前兩位為莖，第三位(個位)為葉(其余類推)當樣本數據較少時，莖葉圖表示數據的效果較好，一是統計圖上沒有原始數據的損失，二是方便記錄與表示，但莖葉圖只便于表示兩位有效數字的數據考點3 樣本的數字特征1. 眾數與中位數(1)眾數：在樣本數據中，頻率分布最大值所對應的樣本數據(或出現次數最多的那個數據)(2)中位數：樣本數據中，將數據按大小排列，位于最中間的數據如果數據的個數為偶數，就取當中兩個數據的平均數作為中位數2. 平均數樣本數據的平均數(x1x2xn)

9、3. 標準差和方差(1)標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離：.(3)方差： (xn是樣本數據，n是樣本容量，是樣本平均數)4. 特別注意：(1)現實中總體所包含的個體數往往較多，總體的平均數與標準差、方差是不知道(或不可求)的，所以我們通常用樣本的平均數與標準差、方差來估計總體的平均數與標準差、方差(2)平均數反映了數據取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小標準差、方差越大，數據的離散程度越大，越不穩(wěn)定考點4 兩個變量間的相關關系(1) 定義 兩個變量間存在著某種關系，帶有不確定性(隨機性），不能用函數關系精確地表達出來，我們說這兩個變量具有相關關系.(2) 相關關

10、系當自變量取值一定,因變量的，取值帶有一定的隨機性（ 非確定性關系)函數關系函數關系指的是自變量和因變量之間的關系是相互唯一確定的.(3) 函數關系與相關關系的區(qū)別：考點5 兩個變量的線性相關(1)正相關在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域對于兩個變量的這種相關關系，我們將它們稱為正相關(2)負相關在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關(3)線性相關關系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線考點6 散點圖以一個變量的取值為橫坐標，另一個變量的相應取值為縱坐標，在直角坐標系

11、中描點，這樣的圖形叫做散點圖考點7 相關性檢驗（1）回歸分析 對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法.（2）相關系數r；計算相關系數r，r有以下性質：|r|1，并且|r|越接近1，線性相關程度越強；|r|越接近0，線性相關程度越弱；|r|>r0.05，表明有95%的把握認為變量x與Y直線之間具有線性相關關系，回歸直線方程有意義；否則尋找回歸直線方程毫無意義考點8 殘差分析 (1)殘差：對于樣本點(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，它們的隨機誤差為eiyibxia，i1,2，n，其估計值為iyiiyixi，i1,2，n，i稱為相應于點(xi，yi)的殘差(2)相關指

12、數R21， R2越大，意味著殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好考點9 獨立性檢驗獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量(2)列聯表：列出兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為2×2列聯表：y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcdK2(其中nabcd為樣本容量)，則利用

13、獨立性檢驗判斷表來判斷“X與Y的關系”考點10 二項式定理：一般地,對于任意正整數有右邊的多項式叫做的二項展開式,共有項,其中各項的系數叫做二項式系數,式中的叫做二項展開式的通項,它是展開式的第項,用表示,即.考點11 二項展開式形式上的特點：(1) 項數為n1.(2) 各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.(3) 字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.(4) 二項式的系數從，一直到，.考點12 二項式系數的性質(1) 在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等(2) 如果二項式的冪指數

14、是偶數，中間項的二項式系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大(3) 二項式系數的和等于2n，即.(4) 二項式展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即.四、例題精析考點一 抽樣方法例1 (2012·山東)采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，首先將他們隨機編號為1,2，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的32人中，編號落入區(qū)間1,450的人做問卷A，編號落入區(qū)間451,750的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷B的人數為()A7B9 C10 D15【規(guī)范解答】從960人中用系

15、統抽樣方法抽取32人，則每30人抽取一人，因為第一組抽到的號碼為9，則第二組抽到的號碼為39，第n組抽到的號碼為an930(n1)30n21，由45130n21750，得n，所以n16,17，25，共有2516110人，選C.【總結與反思】當解決系統抽樣綜合性問題時，要時刻注意并熟知抽樣步驟：假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本(1)先將總體的N個個體編號(2)確定分段間隔k，對編號進行分段，當是整數時，取k.(3)在第1段中用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(lk)(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號l+k，再加k得到第3個個體編號l+2k，依次進行下去

16、，直到獲取整個樣本本題的重點在于：借助數列這一知識點作為基本方法，進行解答。例2 (2013·湖南)某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n()A9 B10C12 D13【規(guī)范解答】由分層抽樣可得，解得n13.答案：D【總結與反思】分層抽樣的原則是：每個個體被被抽到的概率是相等的。例3 (2013·課標全國)為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中

17、三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A簡單隨機抽樣B按性別分層抽樣C按學段分層抽樣 D系統抽樣【規(guī)范解答】因為學段層次差異較大，所以在不同學段中抽取宜用分層抽樣【總結與反思】(1)分層抽樣的操作步驟：將總體按一定標準進行分層；計算各層的個體數與總體數的比，按各層個體數占總體數的比確定各層應抽取的樣本容量；在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣或系統抽樣)(2)分層抽樣的特點適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；更充分地反映了總體的情況；等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都是.考點二 樣本的數字特征及用樣本估計總體的數字特征如圖，樣本

18、A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數分別為A和B，樣本標準差分別為SA和SB，則()A.A>B，SA>SBB.A<B，SA>SBC.A>B，SA<SB D.A<B，SA<SB【規(guī)范解答】由圖可知A組的6個數為2.5,10,5,7.5,2.5,10，B組的6個數為15,10,12.5,10,12.5,10，所以A，B.顯然A<B，又由圖形可知，B組的數據分布比A均勻，變化幅度不大，故B組數據比較穩(wěn)定，方差較小，從而標準差較小，所以SA>SB，故選B.【總結與反思】方差反饋的是數據的波動性及均勻與否.考點三 莖葉圖與頻率分布直方

19、圖例1 (2013·山東)將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91.現場作的9個分數的莖葉圖后來有1個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示：則7個剩余分數的方差為()A. B.C36 D.【規(guī)范解答】答案：B解析：由圖可知去掉的兩個數是87,99，所以8790×291×29490x91×7，x4.s2(8791)2(9091)2×2(9191)2×2(9491)2×2例2 (2013·遼寧)某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為：20,40)，40,

20、60)，60,80)，80,100若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是()A45B50C55 D60【規(guī)范解答】答案B解析由頻率分布直方圖，得低于60分的同學所占頻率為(0.0050.01)×200.3，故該班的學生人數為50.故選B例3、(2013·湖北)從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示(1)直方圖中x的值為_；(2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間100,250)內的戶數為_【規(guī)范解答】答案(1)0.004 4(2)70解析(1)由頻率分布直方圖知200,250)小組的頻率為1(0.002 40.0

21、03 60.006 00.002 40.001 2)×500.22，于是x0.004 4.(2)數據落在100,250)內的頻率為(0.003 60.006 00.004 4)×500.7，所求戶數為100×0.770.考點四 變量間的相關關系例1、下列兩變量中具有相關關系的是（ ）A角度和它的余弦值 B正方形的邊長和面積C成人的身高和視力 D 身高和體重【規(guī)范解答】選D.A選項：為函數關系：B選項：二次函數的關系：C選項：沒有任何關系D選項：正確【總結與反思】判定兩個變量之間是否具有相關關系，首先要排除已經確定的函數關系。此外，根據數學常識排除掉沒有相關關系的變

22、量考點五 最小二乘法及線性回歸方程1、最小二乘法的原理是()A使得yi(abxi)最小B使得yi(abxi)2最小C使得y(abxi)2最小D使得yi(abxi)2最小【規(guī)范解答】答案：D根據回歸方程表示到各點距離之和最小的直線方程，即總體偏差最小，亦即yi(abxi)2最小2、某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，所得數據如下表：x681012y2356則y對x的線性回歸直線方程為()A.2.3x0.7B.2.3x0.7C.0.7x2.3D.0.7x2.3【規(guī)范解答】答案：Cxiyi6×28×310×512×6158，9，4.0.7，4

23、0.7×92.3.故線性回歸直線方程為：0.7x2.3.3、(2013·湖北)四名同學根據各自的樣本數據研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論：y與x負相關且2.347x6.423；y與x負相關且3.476x5.648；y與x正相關且5.437x8.493；y與x正相關且4.326x4.578.其中一定不正確的結論的序號是()A BC D【規(guī)范解答】答案D解析中y與x負相關而斜率為正，不正確；中y與x正相關而斜率為負，不正確故選D.考點六 獨立性檢驗例1有人發(fā)現，多看電視容易使人變冷漠，下表是一個調查機構對此現象的調查結果：冷漠不冷漠總計多看

24、電視6842110少看電視203858總計8880168則大約有多大的把握認為多看電視與人變冷漠有關系()A99% B97.5%C95% D90%【規(guī)范解答】選A可計算K211.377>6.635.例2通過隨機詢問110名性別不同的行人，對過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進行抽樣調查，得到如下的列聯表：男女總計走天橋402060走斑馬線203050總計6050110由K2，算得K27.8.附表：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828對照附表，得到的正確結論是()A有99%以上的把握認為“選擇過馬路的方式與性別有關”B有99%以上的把握認為“選擇

25、過馬路的方式與性別無關”C在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“選擇過馬路的方式與性別有關”D在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“選擇過馬路的方式與性別無關”【規(guī)范解答】解析：選AK27.8>6.635，有99%以上的把握認為“選擇過馬路的方式與性別有關”例3為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯表：理科文科男1310女720已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根據表中數據，得到K24.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為_【規(guī)范解答】解析：k4.844，這表明小概率事件發(fā)

26、生根據假設檢驗的基本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系”成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.答案：5%例4 (2011·湖南)通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 由K2，算得K27.8.附表：P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結論是()A在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”B在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無

27、關”C有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”D有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”【規(guī)范解答】答案：C【解析】K27.8>6.635，有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”，即犯錯誤的概率不超過1%.考點七 二項式定理【例題1】【題干】(其中nN且n6)的展開式中x5與x6的系數相等，則n_.【答案】7【解析】由題意可得，即，即=，解得n7.【例題2】【題干】設a0a1xa2x2a21x21，則a10a11_.【答案】0【解析】a10，a11分別是含x10和x11項的系數，所以a10，a11，所以a10a110.【例題3】【題干】設二項式 (a>0)

28、的展開式中x3的系數為A，常數項為B，若B4A，則a_【答案】2【解析】由題意，得，A(a)2，B(a)4.又B4A，(a)44(a)2，解之得a24.又a>0，a2.五、課程小結1. 簡單隨機抽樣是系統抽樣和分層抽樣的基礎，是一種等概率的抽樣，由定義應抓住以下特點：它要求總體個數較少；它是從總體中逐個抽取的；它是一種不放回抽樣2. 系統抽樣又稱等距抽樣，號碼序列一確定，樣本即確定了，但要求總體中不能含有一定的周期性，否則其樣本的代表性是不可靠的，甚至會導致明顯的偏向3. 抽樣方法經常交叉使用，比如系統抽樣中的第一均衡部分，可采用簡單隨機抽樣，分層抽樣中，若每層中個體數量仍很大時，則可輔之以系統抽樣4. 用樣本頻率分布來估計