2022年解答題----三角函數(shù)與平面向量

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載解答題回憶山東近幾年高考題可發(fā)覺一條高考命題的原就是：穩(wěn)中求進，進中求變細看可發(fā)覺， 每一年的題目都在變化，不管是題型， 題量仍是難度方向都在不斷的調(diào)整所以我們在 2021 年的高考復(fù)習(xí)中，應(yīng)當始終保持明確的目標，清醒的頭腦和有效的計策，能對高考復(fù)習(xí)的課程資源作出正確的判定，恰當?shù)娜∩岷秃侠淼倪\用，在眾多的信息中看到高考命題 的基本規(guī)律， 在學(xué)問和才能， 在基本才能和創(chuàng)新意識、穩(wěn)固和創(chuàng)新等諸多沖突中達到平穩(wěn)把課本內(nèi)容、考綱要求、命題規(guī)律轉(zhuǎn)化為教學(xué)方式中高效復(fù)習(xí)策略近幾年來，山東高考數(shù)學(xué)解答題保持穩(wěn)固題型不變始終為6 個題，命題焦點是三角函數(shù)問題、立體幾何問題、導(dǎo)數(shù)問題、解析幾何

2、問題、概率統(tǒng)計或函數(shù)的應(yīng)用題、數(shù)列問題以及向量在立體幾何、 解析幾何中的工具性的表達方面等前兩題一般難度稍低， 最終兩題難度稍大，通過增加設(shè)問引導(dǎo)同學(xué)正確摸索，多層次、多角度的對不同水平的同學(xué)進行考察，高考試題不再單純是學(xué)問點的掩蓋而是對主干學(xué)問的重點考察解答題都具有肯定的綜合 性，不是在某個單一學(xué)問點挖掘，而是留意多個學(xué)問點與方法的聯(lián)系與有機結(jié)合，在學(xué)問、方法網(wǎng)絡(luò)的交匯點處設(shè)計試題；不是一題一解而是一題多解，特殊是向量的工具性的表達、函數(shù)思想的應(yīng)用等；下面我將高考解答題中歷年的命題焦點依據(jù)題目考察學(xué)問點及基礎(chǔ)回扣、考察類型（每一個類型配例題和變式） 、方法技巧整合、針對性訓(xùn)練四個模塊進行一一

3、解析；一、三角函數(shù)與平面對量的交匯題型三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它和代數(shù)、幾何、平面對量等有著親密的聯(lián)系，是討論其他數(shù)學(xué)學(xué)問的工具之一，在現(xiàn)實生活中也有廣泛的應(yīng)用，也是高考數(shù)學(xué)的一個必考內(nèi)容綜觀山東歷年高考試題，除全面考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)學(xué)問和基本方法，仍重點考查三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的求值、化簡、證明，三角形中的三角函數(shù)問題對于120 分以上的優(yōu)生來說平面對量與三角函數(shù)的綜合性命題、現(xiàn)實生活中的實際問題是復(fù)習(xí)的重點；每份試卷都有一個三角函數(shù)的解答題，一般為第一大題，難度為中檔偏低【回扣基礎(chǔ)考點 】向量具有代數(shù)運算性與幾何直觀性的“雙重身份 ”，即可以象數(shù)一樣滿意 “運算性質(zhì) ”進行代數(shù)形式

4、的運算，又可以利用它的幾何意義進行幾何形式的變換.而三角函數(shù)是以 “角”為自變量的函數(shù)，函數(shù)值表達為實數(shù)，因此平面對量與三角函數(shù)在“角”之間存在著親密的聯(lián)系. 同時在平面對量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣， 解法敏捷， 極富思維性和挑戰(zhàn)性.主要考點如下：1. 考查三角式化簡、求值、證明及求角問題.2. 考查三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像，特殊是y=asinx+的性質(zhì)和圖像及其圖像變換.3. 考查平面對量的基本概念，向量的加減運算及幾何意義，此類題一般難度不大，主要用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、平行問題等.4. 考查向量的坐標表示，向量的線性運算，并能正確地進行運算.5. 考查平面對量的數(shù)量積及運

5、算律包括坐標形式及非坐標形式，兩向量平行與垂直的充要條件等問題 .6. 考查利用正弦定理、余弦定懂得三角形問題.【考察類型 】題型一三角函數(shù)平移與向量平移的綜合三角函數(shù)與平面對量中都涉及到平移問題，雖然平移在兩個學(xué)問系統(tǒng)中講法不盡相同，但它們實質(zhì)是一樣的，它們都統(tǒng)一于同一坐標系的變化前后的兩個圖象中.解答平移問題主要留意兩個方面的確定：1平移的方向； 2 平移的單位 .這兩個方面就是表達為在平移過程中對應(yīng)的向量坐標；【例題】 把函數(shù) y sin2x 的圖象按向量 a 6， 3平移后，得到函數(shù)y asin x2 a 0， 0， | |的圖象，求函數(shù)y asinx的解析式；解：法一：由平移向量知向

6、量平移公式x x 6，即 x x 6，代入 ysin2x 得6y 3 sin2x ，即到 ysin2x 3；y y 3y y 33 法二：由向量 a 6， 3，知圖象平移的兩個過程，即將原函數(shù)的圖象整體向左6平移 6個單位，再向下平移3 個單位，由此可得函數(shù)的圖象為y sin2x 3；【方法技巧整合】此類題型將三角函數(shù)平移與向量平移有機地結(jié)合在一起，主要考查分析問題、解決問題的綜合應(yīng)用才能，同時考查方程的思想及轉(zhuǎn)化的思想.此題解答的關(guān)鍵， 也是易出錯的地方是確定平移的方向及平移的大小.【變式訓(xùn)練】求函數(shù) y 2sin2x 2的圖象按向量 ， 平移后得到圖象對應(yīng)的解析式22y解： y 2sin2

7、x 22sin2（ x2） 2 ，即2y 2sin2x.題型二三角函數(shù)與平面對量平行共線 的綜合此題型的解答一般是從向量平行共線 條件入手，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后再利用三角函數(shù)的相關(guān)學(xué)問再對三角式進行化簡，或結(jié)合三角函數(shù)的圖象與民性質(zhì)進行求解.此類試題綜合性相對較強，有利于考查同學(xué)的基礎(chǔ)把握情形，因此在高考中常有考查.【例題】【方法技巧整合】【變式訓(xùn)練】題型三三角函數(shù)與平面對量垂直的綜合此題型在高考中是一個熱點問題，解答時與題型二的解法差不多，也是第一利用向量垂直的充要條件將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再利用三角函數(shù)的相關(guān)學(xué)問進行求解.此類題型解答主要表達函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想等.【

8、例題】【方法技巧整合】【變式訓(xùn)練】題型四三角函數(shù)與平面對量的模的綜合此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)|a |2 a 2，假如涉及到向量的坐標解答時可利用兩種方法：（ 1）先進行向量運算，再代入向量的坐標進行求解；（ 2）先將向量的坐標代入向量的坐標，再利用向量的坐標運算進行求解.【例題】【方法技巧整合】【變式訓(xùn)練】題型五三角函數(shù)與平面對量數(shù)量積的綜合此類題型主要表現(xiàn)為兩種綜合方式：1三角函數(shù)與向量的積直接聯(lián)系；2利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯，達到與數(shù)量積的綜合.解答時也主要是利用向量第一進行轉(zhuǎn)化，再利用三角函數(shù)學(xué)問求解 .【例題】【方法技巧整合】【變式訓(xùn)練】題型六解斜三角形與向量的綜合在三角形的

9、正弦定理與余弦定理在教材中是利用向量學(xué)問來推導(dǎo)的，說明正弦定理、 余弦定理與向量有著親密的聯(lián)系.解斜三角形與向量的綜合主要表達為以三角形的角對應(yīng)的三角函數(shù)值為向量的坐標，要求依據(jù)向量的關(guān)系解答相關(guān)的問題.【例題】【方法技巧整合】【變式訓(xùn)練】【針對性訓(xùn)練】1、在 abc 中，角 a 、b、 c 的對邊分別為 a、b、c，如 ab·ac ba·bc kk r.（）判定 abc 的外形；（）如 c 2，求 k 的值2、已知向量 m sina,cosa ，n 3, 1，m·n 1，且 a為銳角 . 求角 a 的大?。?求函數(shù) fx cos2x 4cosasinxx r的值

10、域3、在 abc 中，a 、b、c 所對邊的長分別為a、b、c，已知向量 m 1，2sina ，n sina ，1 cosa ，滿意 m n ， b c 3a. 求 a 的大?。?求 sinb 6 的值4、已知 a、 b、c 的坐標分別為 a （ 4， 0）， b（ 0， 4）， c（ 3cos ， 3sin ） .（）如 ，0，且 |ac| |bc|，求角 的大小；（）如ac bc，求 2sin2 sin2 的值1 tan 5、 abc 的角 a、 b、c 的對邊分別為 a、b、c，m 2b c， a，n cosa ， cosc，且m n 求角 a 的大??； 當 y 2sin2b sin2b

11、 6取最大值時，求角b 的大小 .6、已知 a cosx sinx， sinx ，b cosx sinx， 2cosx，（）求證：向量 a 與向量 b 不行能平行；（）如 fx a ·b ，且 x 4,4時，求函數(shù) fx 的最大值及最小值【針對性訓(xùn)練】 參考答案1、【解】（） ab·ac bccosa， ba·bc cacosb，又ab·ac ba·bc， bccosa cacosb，由正弦定理，得sinbcosa sinacosb ，即 sinacosb sinbcosa 0， sina b 0 a b ， a b 0，即 a b， abc

12、為等腰三角形 .（）由（）知 ab ， ab·ac bccosa bcb2c2 a2c2c 2， k 1.·2bc 2 ，2、【解】 由題意得 m·n 3sina cosa 1， 2sina 6 1， sina 1，62由 a 為銳角得 a ，a 6.63 由（）知 cosa1，所以 fx cos2x 2sinx1 2sin2x 2sinx 2sinx 213222 ，由于 x r，所以 sinx 1,1，因此，當sinx1fx時，2有最大值 322當 sinx 1 時， fx 有最小值 3，所以所求函數(shù) fx 的值域是 3， 323、【解】 由m n ，得 2s

13、in2a 1 cosa 0，即 2cos2a cosa 1 0， cosa 1或 cosa 1.a 是abc 內(nèi)角， cosa 1 舍去， a 3.32 bc 3a，由正弦定理， sinb sinc 3sina ，b c 23， sinb sin23 b3 2， 3cosb 3sinb3，即 sinb 322262 4、【解】（）由已知得：3cos 42 9sin2 9cos2 3sin 4 2，就 sin cos ，.由于 ， 0， 34（）由 3cos 4 ·3cos3sin · 3sin 4 0，得sin cos3 ，平方，得4sin2 7.16而2sin2 sin2

14、 2sin2 cos 2sin cos2 71 tan sin cos 2sin cossin2 165、【解】 由m n ，得 m·n 0，從而 2b ccosa acosc 0，由正弦定理得2sinbcosa sinccosa sinacosc 02sinbcosa sina c 0， 2sinbcosa sinb 0，故a 、b 0， ， sinb 0， cosa 12a 3. y 2sin2b 2sin2b 6 1 cos2b sin2bcos6 cos2bsin61 3sin2b 1 cos2b 1sin2b .226由 得， 0 b 2 ，376 2b 6 6 ，當 2b 6 2，即 b 3 時， y 取最大值 2.6、【解】（）假設(shè) a b ，就 2cosxcosx sinx sinxcosx sinx 0，2cos2x sinxcosx sin2x 0， 21 cos2x11 cos2x0，即 sin2x cos2x 3，·sin2x222